Задачи с экономическим содержанием

ЭЛЕКТИВНОЕ ЗАНЯТИЕ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (профиль).

Тема: Задачи с экономическим содержанием.

(две задачи с разбором и две для самостоятельного решения)

Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100 деталей второго типа. Для 16‐квартирного дома требуется 110 и 150, а для дома на 21 квартиру нужно150 и 200 деталей первого и второго видов соответственно. Всего имеется
900 деталей первого и 1300 деталей второго вида. Cколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир в них было наибольшим?

Решение:

На один большой дом требуется 150 и 200 деталей первого и второго типа.
Для двух маленьких домов требуется 140 = 70·2 и 200 = 100·2 деталей.
Таким образом, деталей хватит, и 10 деталей первого типа останется.
Для того, чтобы квартир оказалось больше, бригада вместо большого дома построит два маленьких. 2·12 > 21.
Для двух средних домов потребуется 220 = 110·2 и 300 = 150·2 деталей.
Для трёх маленьких домов требуется 210 = 70·3 и 300 = 100·3 деталей.
И снова деталей хватит, и опять 10 деталей первого типа останется.
Для того, чтобы квартир оказалось больше, бригада вместо двух средних домов построит три маленьких. 3·12 > 2·16.
Итак, большие дома строить нецелесообразно, а средних домов может быть максимум один, так как каждые два строители заменят тремя маленькими.
Исходя из условия задачи, можно составить систему неравенств:



Здесь x, y и z - число маленьких, средних и больших домов соответственно.
Если нет ни средних, ни больших, то деталей хватит лишь на 12 маленьких.
В итоге квартир получится 12·12 = 144.
Однако, один маленький можно заменить на один средний (х = 11, y = 1).
Число домов не изменится, но число квартир увеличится 11·12 + 16 = 148.
Ответ: 11 маленьких и 1 большой

Анатолий взял кредит в банке 331000 рублей на три месяца под 10% в месяц.  Существуют две схемы выплаты кредита:
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%). затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи). По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга
каждый месяц уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей составит эта выгода?

 

Решение:

Схема номер 1. Всю сумму кредита обозначим через х рублей (х = 331000).
Каждый из трёх равных платежей обозначим через а рублей.





Анатолий вернёт банку (3а) рублей и переплатит в итоге (3а - х) рублей.



Таким образом, Анатолий переплатит банку 68300 рублей.

Схема номер 2 (схема двух карманов).
Цель Анатолия - уменьшать каждый раз долг на треть всей суммы, равной 331000.
В левый карман он кладёт три одинаковые пачки денег, в каждой (x/3) рублей.
В правом кармане у Анатолия три пачки поменьше. К тому же они разные.
В самой большой пачке 10% от начальной суммы, т.е. (0,1(3х/3)) рублей.
В следующей пачке 10% от оставшейся суммы, т.е. (0,1·(2х/3)) рублей.
В последней пачке 10% от нового остатка, т.е. (0,1(х/3)) рублей.

Основная сумма лежит в левом кармане, переплата банку - в правом.
Таким образом, Анатолий переплатит банку 66200 рублей.

Очевидно, что во втором случае Анатолий переплатит меньше на 2100 рублей.

Алексей взял в банке кредит 10 млн. рублей под 10% годовых.
По договору Алексей возвращал кредит ежегодными платежами. В конце каждого года к оставшейся сумме долга добавлялось 10% этой суммы и своим ежегодным платежом Алексей погашал эти добавленные проценты и уменьшал сумму долга. Ежегодные платежи подбирались так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый год (на практике такая схема называется "схемой с дифференцированными платежами"). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь период кредитования, оказалась 15 млн. рублей. Определите,  на сколько лет Алексей брал кредит в банке.

Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже p% годовых.
В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки р.