Задания по математике «Квадратная решётка, координатная плоскость»

Тематические задания по подготовке к ЕГЭ по математике Квадратная решётка, координатная плоскость

Единый государственный экзамен по математике является обязательным испытанием для всех выпускников российских школ. Абсолютно все 11-классники должны сдавать ЕГЭ по математике базового уровня, а если выпускник планирует после окончания школы поступать в вузы на специальности, где требуются результаты экзамена по математике, ему необходимо сдать ЕГЭ профильного уровня. С каждым годом экзамены меняются, усложняются и совершенствуются задания. Поэтому в ходе подготовки к испытаниям необходимо учитывать все нюансы и подводные камни предстоящего ЕГЭ. 

Все задачи с кратким ответом на самом экзамене (профильный уровень) безошибочно решает лишь небольшая часть сдающих, а именно около 25 процентов.

Найдите синус угла  В ответе укажите значение синуса, умноженное на 

Решение.

Проведем высоту  из точки  на продолжение стороны  Тогда:

Ответ: 1.

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение.

Достроим угол до треугольника OBA, OB = BA. BK делит основание OAпополам, значит, BK — высота. Из рисунка находим 

Примечание.

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.

Ответ: 1.

3. Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.

Решение.

Достроим угол до треугольника  Из рисунка находим: , ,  Воспользуемся теоремой косинусов:

Тогда:

Поэтому угол  равен 135°, а его тангенс равен −1.

Ответ: −1.

4. На клетчатой бумаге с размером клетки   изображён четырёхугольник ABCD . Найдите его периметр.

Решение.

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами заданного четырехугольника, имеем:

тогда периметр равен 

Ответ: 30.

5.

На клетчатой бумаге с размером клетки   изображён квадрат. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение.

радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Ответ: 2.

6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на продолжение стороны AB.

Решение.

Формулировка задания некорректна: на сторону АВ высоту опустить нельзя. Из точки С можно опустить перпендикуляр к прямой, содержащей сторону АВ. Этот перпендикуляр будет являться высотой треугольника АВС, его длина равна 3.

Ответ: 3.

7. Найдите радиус окружности, вписанной в изображенный на рисунке треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы. Заметим, что в треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза равна 5, откуда

Ответ: 1.

8. На клетчатой бумаге с размером клетки   изображён треугольник. Найдите радиус его описанной окружности.

Решение.

Найдём радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, по теореме Пифагора:

Ответ: 5.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника и двух одинаковых треугольников, площади которых равны половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому

10.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали изображенного на рисунке четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 1. Поэтому длины диагоналей равны  , а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь четырехугольника равна 1.

Ответ: 1.

11. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого  см. Поэтому

 см2.

Ответ: 12.

12.

 На клетчатой бумаге с размером клетки 1  1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.

Ответ: 2,5.

13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда

Поэтому

Ответ: 3.

14. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Выполним дополнительное построение и из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 найдем квадрат радиуса круга:  см2 (см. рис. 1). Площадь фигуры равна трем восьмым площади этого круга (см. рис. 2). Поэтому

 см2.

Ответ: 7,5.

15. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6, радиус внутреннего равен 3. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса наименьшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

Ответ: 3.

16.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

Решение.

Заметим, что  Тогда  поэтому  Поэтому площадь сектора равна  от площади круга. Следовательно, площадь круга равна 3 · 32 = 96.

Ответ:96.

17. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Решение.

Площадь закрашенной фигуры равна разности площади большого и маленького ромбов. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

Ответ: 24.

18.

Найдите площадь ромба, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

Решение.

Площадь четырехугольника равна разности площади квадрата 4х4, четырех равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и 3 и двух равных квадратов 1х1. Поэтому

 см2.

Ответ: 8.