Математические аспекты астрономии.

Тема работы:

«Математические аспекты астрономии»

Выполнил

Учащийся 7 класса

Таймасов Святослав Сергеевич

ГБОУ ООШ с.Жигули м.р.Ставропольский

руководитель: Филиппова Т.Г.

Введение.

Астрономия — это наука о космосе и всем, что находится в нем, например, планетах, звездах и галактиках. Математика — наука о числах, формах и пространстве. На первый взгляд может показаться, что эти две науки не имеют между собой прямой связи, однако на самом деле они очень тесно связаны друг с другом. Математика играет ключевую роль в различных астрономических задачах, начиная от расчета трассы полета космических кораблей до изучения свойств галактик и планет.

Запуски искусственных спутников Земли, полеты космических кораблей – все это требует громадных расчетов. Ракета и компьютер – два величайших достижения техники XX века, ставших его символами. Причем компьютеры и математические методы играют важнейшую роль в создании ракетно-космических систем и народнохозяйственном освоении космоса.

Возникновение авиации и космонавтики неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструирования и расчета самолетов и ракет.

Актуальность

Одна из главных ролей математики в астрономии — это использование математических моделей для описания и объяснения наблюдаемых явлений в космосе. Вселенная — это гигантская система, и мы не можем свободно изучать все ее аспекты в прямом смысле этого слова. Поэтому, мы используем математические модели, чтобы описывать и предсказывать те процессы, которые происходят в космосе.

Предмет исследования

Практическое применение математических законов при решении астрономических задач.

Объект исследования

Математика в астрономии.

Цель исследования

Изучить применение математики в астрономии.

Задачи исследования

1. Изучить историю применений математики при решении астрономических задач.

2. Экспериментальное подтвердить третий закона Кеплера.

3. Определить звезду по астрономическим наблюдениям.

При написании исследовательской работы применялись следующие методы:

Теоретический

Аналитический

Измерение

Проектирование

Сравнение

1. Применение математики в астрономии

1.1 Вычисления Кеплера орбит планет

Орбиты планет вокруг Солнца можно объяснить только с помощью математики.

Еще древнегреческие астрономы задавались весьма фундаментальным вопросом: не являются ли наблюдаемые, причем совершенно неизменные для наблюдателя перемещения планет по небу, лишь отражением каких-то “сверхобщих”, то есть глобальных в масштабах вселенной, законов? 

В 1551 году немецкий математик и астроном Эразм Рейнгольд составил, основываясь на гелиоцентрической системе Коперника, таблицы движения планет, названные им «Прусские таблицы». Тем не менее вскоре астрономы обнаружили расхождение “прусских таблиц” с данными наблюдений движения небесных тел – точно также, как ранее находили расхождения с работами более ранних последователей Николая Коперника. 

Иоганн Кеплер в начале 17 века пришел к мысли о неправильности установившегося с древности мнения о круговой форме планетных орбит. Путем вычислений он доказал, что планеты движутся не по кругам, а по эллипсам — замкнутым кривым, форма которых несколько отличается от круга. При решении данной задачи Кеплеру пришлось встретиться со случаем, который, вообще говоря, методами математики постоянных величин решен быть не мог.

Дело сводилось к вычислению площади сектора эксцентрического круга. Если эту задачу перевести на современный математический язык, мы придем к эллиптическому интегралу. Кеплеровский подход к решению важной и сложной практической задачи представлял собой первый шаг в предыстории математического анализа.

Первый закон Кеплера предполагает, что Солнце находится не в центре эллипса, а в особой точке, называемой фокусом. Из этого следует, что расстояние планеты от Солнца не всегда одинаковое. Так как эллипс — плоская фигура, то первый закон подразумевает, что каждая планета движется, оставаясь все время в одной и той же плоскости.

Рис.2 Первый закон Кеплера

Второй закон Кеплера звучит так: радиус-вектор планеты (т. е. отрезок, соединяющий Солнце и планету) описывает равные площади за равные промежутки времени. Этот закон указывает, прежде всего, на изменение скорости движения планеты по ее орбите: чем ближе планета подходит к Солнцу (перигелию), тем быстрее она движется. Но этот закон дает на самом деле больше. Он целиком определяет движение планеты по ее эллиптической орбите.

Рис.3 Второй закон Кеплера

В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. 

Рис.4 Третий закон Кеплера

Где Т1 и Т2 – звёздные периоды обращения планет вокруг Солнца; а1 и а2 – большие полуоси орбиты планет (среднее расстояние от Солнца до планеты).

Законы Кеплера замечательны и тем, что они, если можно так выразиться, более точны, чем сама действительность. Они представляют собой точные математические законы движения для идеализированной «Солнечной системы», в которой планеты — материальные точки бесконечно малой массы по сравнению с «Солнцем». 

В астрономии постоянно работают с математикой, главным образом, с системой координат. Системы небесных координат используются в астрономии для описания положения светил на небе или точек на воображаемой небесной сфере. Координаты светил или точек задаются двумя угловыми величинами (или дугами), однозначно определяющими положение объектов на небесной сфере. Таким образом, системы небесных координат являются сферическими системами координат, в которых третья координата — расстояние — часто неизвестна и не играет роли. Эти системы отличаются друг от друга выбором основной плоскости и началом отсчёта. В зависимости от стоя́щей задачи, может быть более удобным использовать ту или иную систему. Наиболее часто используются горизонтальная и экваториальные системы координат. Реже — эклиптическая, галактическая и другие.

В горизонтальной системе основной плоскостью является плоскость математического горизонта. Одной координатой при этом является либо высота светила h, либо его зенитное расстояние z. Другой координатой является азимут A.

Высотой h светила называется дуга вертикального круга от математического горизонта до светила, или угол между плоскостью математического горизонта и направлением на светило. Высоты отсчитываются в пределах от 0° до +90° к зениту и от 0° до −90° к надиру.

Зенитным расстоянием z светила называется дуга вертикального круга от зенита до светила, или угол между отвесной линией и направлением на светило. Зенитные расстояния отсчитываются в пределах от 0° до 180° от зенита к надиру.

Азимутом A светила называется дуга математического горизонта от точки юга до вертикального круга светила, или угол между полуденной линией и линией пересечения плоскости математического горизонта с плоскостью вертикального круга светила. Азимуты отсчитываются в сторону суточного вращения небесной сферы, то есть к западу от точки юга, в пределах от 0° до 360°. Иногда азимуты отсчитываются от 0° до +180° к западу и от 0° до −180° к востоку. (В геодезии азимуты отсчитываются от точки севера.)

Рис.5 Горизонтальная система координат

В экваториальной системе, как и в первой экваториальной, основной плоскостью является плоскость небесного экватора, а одной координатой — склонение δ (реже — полярное расстояние p). Другой координатой является прямое восхождение α.

Прямым восхождением (α) светила называется дуга небесного экватора от точки весеннего равноденствия до круга склонения светила, или угол между направлением на точку весеннего равноденствия и плоскостью круга склонения светила. Прямые восхождения отсчитываются в сторону, противоположную суточному вращению небесной сферы, в пределах от 0° до 360° (в градусной мере) или от 0 h до 24 h (в часовой мере).

Склонение (δ) в астрономии — одна из двух координат экваториальной системы координат. Равняется угловому расстоянию на небесной сфере от плоскости небесного экватора до светила и обычно выражается в градусах, минутах и секундах дуги. Склонение положительно к северу от небесного экватора и отрицательно к югу.

Рис.6 Экваториальная система координат

2. Практическая часть.

Цель: определить, как расстояние влияет на период обращения планет.

Что потребуется: - палка 39 см;

- палка 152 см;

- пластилин.

Порядок выполнения:

1. Поместим шарики пластилина размером с орех на концы палок;

2. Держим палки вертикально, рядом друг с другом, совместив края без пластилин;

3. Отпускаем одновременно обе палки.

Результаты:

где, а - среднее расстояние от Солнца, а.е;

R - размер палки, м;

Т - сидерический период, годы;

tср - среднее время падения палки, сек.

Вывод:

Пластилиновый шарик на линейке, длина которой пропорциональна расстоянию Солнце – Марс, проходит большее расстояние, чем на более короткой рейке и за большее время. Это подобно движению планет, непрерывно «падающих» на Солнце.

Используя данные о Меркурии и Марсе из справочных материалов, а также экспериментальные данные указанные в таблице, мы можем утверждать о справедливости третьего закона Кеплера:

Цель: Определение звезды по астрономическим наблюдениям.

Что потребуется: - астролябия;

- приложение для мобильных телефонов Stellarium/

Порядок выполнения.

Ознакомиться с методом определения склонения звезды по географической широте и высоте звезды над горизонтом.

Зная широту места наблюдения φ и склонение δ небесного объекта, можно определить его высоту над горизонтом в момент кульминаций. Для наблюдателя в северном полушарии Земли, если δ < φ, объект кульминирует к югу от зенита, его высота в верхней кульминации

hв = 90о – φ + δ.

Если δ > φ, объект кульминирует к северу от зенита, его высота

hв = 90о + φ – δ;

Изготовить астролябию из соломинки для коктейля, транспортира, веревки, болтика и клея.

Понедельник 14 октября 2024 года 18.40.

Направив астролябию на яркую звезду, находящуюся точно на юге (момент верхней кульминации) определим высоту звезды: h=430

Географическая широта с. Жигули φ= 530

Рассчитаем склонение звезды δ= 53-(90-43)=60

Использую справочный материал по характеристикам ярких звезд, определил звезду АЛЬТАИР.

​​​​​​​Для проверки правильности моих расчетов воспользуемся приложением Stellarium.

Вывод: По астрономическим наблюдениям, используя формулы полученные математическим путём, можно определять вид звёзды. А можно, имея заветную звезду и зная ее характеристики, определять своё местоположение. Ведь электронные устройства могут выйти из строя, батарея может разрядиться, сеть может быть недоступна из-за особенностей рельефа и другое.

Таким образом, ориентирование на местности по астрономическим объектам является полезным навыком, освоенным мною. Простейшие методы ориентирования возможно применять самостоятельно, а также совместно с современными электронными устройствами.

Подводя итоги проделанной работы, я могу сказать, что подробно познакомился с математическими аспектами астрономических наблюдений и исследований по некоторым вопросам. Узнал много нового об экспериментальной астрономии. Дальнейшее изучение математики (алгебры и геометрии) позволит мне на более глубоком уровне развивать тему «Математические аспекты астрономии».

Список литературы.

1. Е.П.Левитан. Астрономия. Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение» 2006 – 224с.

2. Д. Ванклив. Эксперименты по астрономии. Москва АСТ «Апрель», 2009-236 с.

3. https://урок.рф/library_kids/orientirovanie_na_mestnosti_po_astronomicheskim_ob_172334.html?ysclid=lnn3umkakw637027082

4. https://elementy.ru/trefil/21152/Zakony_Keplera#:~:text=Третий%20закон%20Кеплера%20позволяет%20сравнить,длится%20

https://mks-onlain.ru/matematika-svyaz-s-astronomiyey-

5. kratko/?ysclid=loebd6rds1525286877