Математика Древнего Египта

Исследовательская работа на тему: « Математика Древнего Египта » Выполнил: Хара Дмитрий Сергеевич учащийся 6-А класса МОУ «Школа №80 г. Донецка» Руководитель: Лапко Ирина Валентиновна учитель математики 2020 г.

СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………..………….....………...3 Глава 1. Древнеегипетская система мер….…….……...…………5 Глава 2. Математические папирусы –источники знаний о математике Египта............................................................................7 Глава 3. Арифметические вычисления у египтян…………...…..11 3.1. Система счисления……...………….………………11 3.2. Сложение и вычитание....………...…………………12 3.3 . Умножение (через удвоение и сложение)…………….13 3.4. Деление…………………………………………….14 3.5. Египетские дроби…………………………………..15 Глава 4. Практическая часть. Современный метод решения задач Древнего Египта...……………………………….………….…..17 4.1. Задачи на исчисление «аха»………...………..………17 4.2. Задачи на прогрессии…………………........………..20 4.3. Задачи о делении хлебов на равные части.…...………22 4.4. Задачи на «песу»………………………...…….……..23 Заключение……………………………………………….….…24 Список использованной литературы………………….…………25 2

ВВЕДЕНИЕ Всегда интересно заглянуть в глубину веков, узнать о людях, которые умерли тысячи лет назад, попытаться понять их, почувствовать, чем они жили. Великие народы прошлого оставили нам бесценное наследие. Минули тысячелетия, но живой интерес к истории Древнего Египта не иссяк. Напротив! Только после дешифровки иероглифов перед нами обрисовалась во всём своём величии могучая цивилизация, процветавшая, уже пять тысяч лет  тому назад на берегах Нила. Изучая школьный курс «Истории Древнего мира», меня заинтересовала эта тема. Мне захотелось расширить свои представления о Древнем Египте, а именно, о развитии математики, о возникновении чисел, дробей. Любая наука, и математика в особенности, строится на фундаменте знаний, добытых в предшествующие эпохи. «Камни истории служат ступенями, ведущими в будущее»,-  писал Н.К. Рерих. В своей исследовательской работе я лишь чуть-чуть приоткрою завесу над прошлым, в котором еще столько  тайн, а также много увлекательного и неизведанного… 3

Предмет исследования – старинные математические задачи древних египтян. Цель исследования – изучить таинственный и прекрасный мир математики Древнего Египта. Задачи исследования: Изучить литературу по данной теме; Узнать какими системами счета пользовались древние египтяне; Выяснить происхождение старинных задач Древнего Египта, знать их авторов; Выбрать более интересные задачи и решить их; Показать развитие математической мысли с древнейших времён; Проанализировать, сравнить и обобщить полученные данные. 4

1. ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ СИСТЕМА МЕР С древних времен все народы создавали мифы. Египтяне тоже верили, что боги обитают повсюду: и на земле, где живут люди, и в другом невидимом мире, куда они отправляются после смерти. Египтяне поклонялись множеству богов, в их честь строили храмы и совершали жертвоприношение. Вот некоторые из них: Ра, Осирис, Исида, Гор, Сет, Анубис, Хнум, Хатор, Хари, Себек, Птах и Тот. Например, Тот – бог мудрости и знаний. Он изобрёл счёт, письменность и числа. И поэтому на древних рельефах его часто изображали с телом человека и головой священной птицы ибиса, чей шаг равнялся в точности одному «кубиту», то есть мере длины, которая применялась при строительстве священных сооружений.  5

Основной мерой длины у древних египтян считался «локоть». Он был равен 52,3см. Локоть делится на 7 ладоней, ладонь – на 4 пальца,  таким образом, локоть состоял из 28 пальцев. Встречались и большие меры длины, например, «хет» (жердь). Она состояла из 100 локтей, то есть 10,5 км. Мерой веса у древних египтян был «дебень», равный примерно 91 грамму. По многим направлениям деятельности древних египтян прослеживается определенный, математический, порядок. Так, длина папирусов, которые использовались для письма школьниками, была строго определена и составляла 10 пальцев, или 16,6 см. Основу определения расстояний составляли шаг, шем, древнеегипетский фарсах (парасанга) и царская мера реки. Длина вычислялась с учетом длины пальца (джеба) и пальмы (этот иероглиф также расшифровывают как ладонь руки с растопыренными пальцами). 6

Имм 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПАПИРУСЫ -ИСТОЧНИКИ ЗНАНИЙ О МАТЕМАТИКЕ ЕГИПТА Народы Древнего востока на протяжении многих веков сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь. Знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 г. до н.э. и на нескольких небольших отрывках. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Материалы, содержащиеся 7

в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы ещё только начинают выделяться из практических задач и целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений ещё примитивна, методы решения задач не единообразны. Существуют следующие источники, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян: Во-первых, это Папирус Ахмеса или папирус Ринда (Райнда), названный так по имени своего первого владельца. Написан около 1650 г. до нашей эры. Он был найден в 1858 году, расшифрован и издан в 1870 году. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью- Йорке. Все задачи из папируса Ахмеса имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и тому подобное. 8

Они сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметической прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным. Во-вторых, Московский математический папирус - его в декабре 1888 г. приобрёл в Луксоре русский Египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. Московский папирус был переписан неким учеником между 1800 и 1600 гг.до н.э. с более древнего текста, примерно 1900 г.до н.э. 9

В-третьих, "Кожаный свиток египетской математики" (размер 25 × 43 см), с большим трудом расправлённый в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Эти рукописи относятся к эпохе Среднего царства (ХХ-ХУII вв.до н.э). Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. В папирусах есть задачи на вычисление - образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д. 10

3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ У ЕГИПТЯН 3.1. Система счисления Уже в период Древнего царства (третье тысячелетие до н.э.) математические знания в Египте стояли на значительной высоте. У древних египтян сформировалась десятичная система нумерации, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. 11

Повторяя эти знаки и располагая их один возле другого, египтяне выражали любое число. Одинаковые знаки объединялись в группы. Писали справа налево, начиная с меньших разрядов. Например, число 3215 будет: 3.2. Сложение и вычитание Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф: Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Эти действия выполнялись как и у нас –поразрядно. Для упрощения счёта использовалась счётная доска –абак с камешками (прообраз русских счётов). 12

3.3. Умножение (через удвоение и сложение) Для умножения чисел составлялась табличка из двух столбцов. В 1-й строке правого столбца записывалось множимое, а в левом столбце ставилась единица. Каждая последующая строка получалась из предыдущей удвоением обоих чисел предшествующей строки. Последнее число левого столбца не должно было превышать множитель. Затем в левом столбце наклонной чертой выделялись числа (начиная с нижнего), сумма которых равнялась множителю. После этого складывались числа правого столбца, находящиеся в помеченных строках. Найденная сумма записывалась внизу в правом столбце: это и было искомое произведение. 13

Например, выполнить умножение: 1) 12 х 12; 2) 12 х 11; 3) 15 х 18; 4) 16 х 16. 3.4. Деление Оно осуществляется тоже удвоением, но в обратном направлении. Рассмотрим это на примерах: 1) 1120 : 80 (двумя способами); 2) 288 : 16 и 3) 270 : 18. 14

3.5. Египетские дроби У египтян не было понятия дроби в современном понимании. Дроби у них возникали при делении площади поля на части. В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Также используется название основные дроби или единичные дроби. 15

Остальные дроби, если это возможно, выражались через аликвотные дроби и дробь 2/3. Например: 3/4 = 1/2 + 1/4 , 3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28, 5/6 = 1/2 + 1/3. Также были составлены таблицы разбиения дробей вида 2/n (где n –нечётное число) на сумму аликвотных дробей. Такая таблица имеется в папирусе Ринда для всех нечётных n (от n=3 до n=101). Заметим, что такое разбиение осуществляется не единственным образом. С помощью этих таблиц египтяне выполняли деление целых чисел ( в случае, когда делимое не кратно делителю). 16

17 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. СОВРЕМЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРЕВНЕГО ЕГИПТА 4.1. Задачи на исчисление«аха» Вряд ли школьнику, решающему задачу на квадратные уравнения, приходит в голову вопрос: кто их придумал, где и как давно это было, как давно человечество освоилось с идеей уравнения? Пожалуй, он удивится, если узнает, что были люди, занимавшиеся составлением и решением уравнений четыре тысячи лет тому назад! Эх, хорошо живётся нам –нынешним школьникам! Мы владеем алгеброй –наукой о решении уравнений, и удобными современными обозначениями и формулами! Для нас «иксы» и «игреки» -это лучшие друзья! А бедные египтяне -уравнений не учили, «иксов» у них не было. Но они не сидели зря и

18 придумали иероглиф, произносимый «аха», что обозначает «неизвестная куча, груда чего-то, неизвестное количество». В Московском папирусе есть много задач, каждая из которых имеет цель: найти неизвестную величину. Способ нахождения «аха», применяемый египтянами, можно назвать методом проб. Чтобы выяснить суть этого метода, рассмотрим задачу из папируса Райнда. Задача 1 . Из папируса Райнда Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найди количество и его четверть. Решение Египетское решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Затем производится деление 15:5=3 и в заключение умножение 4·3=12. Требуемое «количество» будет, таким образом, 12, его четверть 3, а сумма 15. Следует учесть, что в папирусе все тексты, числа, знаки действий представлены в виде иероглифов. Используя современную символику, выделим основные этапы этого решения. Искомое «аха» обозначим через х. Тогда имеем уравнение вида: х + 1/4 х = 15 5/4 х = 15 х =15 ∙ 4 : 5 х = 12

19 Следовательно, четвертая часть: 12 : 4 = 3. Ответ: количество -12, четверть -3. Задача 2. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н.э.) Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»   Пастух  отвечает: «Я привожу две трети от трети скота». Сочти, сколько быков в стаде? Решение             Пусть х –число голов скота во всём стаде. Тогда: 2/3 ∙ 1/3х = 70 2/9х = 70 х = 70 ∙ 9 : 2 х = 315 Ответ: 315 быков в стаде. Задача 3 .Из Акмимского папируса

20 Решение В рукописи дробная часть ответа даётся в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2+ 1/8 + 1/48 + 1/96. Мы же можем решить данную задачу другим способом:           4.2. Задачи на прогрессии Среди арифметических задач в папирусах встречаются и задачи (выражаясь в современных терминах) на арифметическую и геометрическую прогрессию. Вероятно, для удовольствия и тренировки учащихся в Древнем Египте составлялись задачи развлекательного характера, не имевшие практического значения. Вот пример такой задачи -на геометрическую прогрессию. Задача 4. Из папируса Райнда

21 Решение             Переведя условие задачи на математический язык, мы видим, что она имеет геометрическую прогрессию. 5 членов со знаменателем 7: 7, 7 ∙ 7 = 49, 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343, 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 2401, 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 16807. 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607 Или подсчитаем сумму пяти членов геометрической прогрессии по формуле: S5=(a5g – a1 ) / (g-1) S5 =(16807·7 – 7) / (7-1) = 19607

22 Решение Можно решить задачу так: каждый из данных хлебов разрезать на 8 равных частей и каждому человеку дать по 1/8 части от каждого из 7 хлебов. При этом каждый получит 7 ∙ 1/8 = 7/8 части. Но при таком решении придётся сделать много разрезов. Если резать каждый хлеб на 8 частей, то придётся провести 49 разрезов.             Ответ: 19607. 4.3. Задачи о делении хлебов на равные части В папирусе Райнда имеется ряд задач, решение которых является прямой иллюстрацией к действиям над дробями. Задача 5. Из папируса Райнда

23             А по-египетски эта задача решалась так: дробь 7/8 записывали в виде долей: 7/8 = 1/2+1/4+1/8. Из этого следует, что каждому человеку надо дать пол хлеба, четверть хлеба и восьмую часть хлеба; поэтому 4 хлеба разрезаем пополам, 2 хлеба на 4 части и 1 хлеб на 8 долей, после чего каждому даём его часть. Всего будет 17 разрезов. Ответ: каждый получит 7/8 части хлеба. 4.4. Задачи на «песу» В Московском папирусе среди 25 задач имеется 10 задач на «песу», связывающее количество зерна с количеством изготовленных из него хлебов (или кружек пива). Точнее: технический термин «песу» (припёк) означает количество хлебов (или кружек пива), которое можно приготовить из одного шефеля зерна. Задача 6. Из Московского папируса Имеется 10 мер зерна. Сколько может быть наварено единиц (кружек) пива, «песу» которого есть 2 ? Решение По существу здесь мы имеем дело с задачами на прямую пропорциональную зависимость двух переменных величин и на нахождение неизвестного члена пропорции. Количество хлебов = количеству зерна х «песу» 10 ∙ 2 = 20 единиц Ответ: 20 кружек пива.

24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Самые ранние математические задачи, решение которых требовала повседневная жизнь, появились в Древнем Египте. Ведь без расчетов невозможно построить здание, будь-то дворец или просто склад для зерна, поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами и т.д. Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться и приобретать более абстрактные черты. Но, к сожалению, в них полностью отсутствовали какие бы то ни было объяснения или доказательства решения древнеегипетских вычислений. Искомый результат либо давался прямо, либо приводился краткий алгоритм его вычисления. В результате проведения исследовательской работы я изучил таинственный и прекрасный мир математики Древнего Египта; узнал какими системами счета пользовались древние египтяне; выяснил происхождение старинных задач; выбрал более интересные задачи и решил их современным методом; проанализировал, сравнил и обобщил полученные данные. Мой интерес к истории  Древнего Египта на этом не заканчивается. Хотелось бы как можно больше узнать об этом талантливом и трудолюбивом народе, о его достижениях не только в области науки математики, но и других не менее точных наук. Ведь ясно одно, что труд египтянина заслуживает удивления и уважения!