Научно-исследовательская работа «По дороге к фракталам»

Актуальность:Важной задачей образовательного процесса в современном цифровом обществе является формирование информационно – коммуникационной компетентности обучающихся и их подготовка к последующей профессиональной деятельности. Одним из путей решения этой задачи является реализация обучающимся своих интеллектуальных и творческих способностей в процессе создания новых, интересных информационных моделей.

Цель: познакомить обучающихся с понятием фракталаи возможностями его применения в компьютерной графике, развивать творческие способности студентов.

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познать окружающий его мир. Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма.Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Зачастую понять ускользающую закономерность природных форм нам помогают фракталы - объекты, в точности или приближённо совпадающие с частью себя самого.

Действительно, очень многие органические и неорганические формы в природе подчиняются принципу повторения аналогичных элементов. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — на первый взгляд случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом повторения подобных объектов. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее.

В отличие от устойчивости, неустойчивость устойчива.

В. И. Арнольд

Мандельброт и все-все-все

Любое математическое понятие, которое сегодня хорошо известно школьникам, прошло через десятилетия или даже века уточнений. До XIX века математики имели дело только с функциями, которые задают гладкие кривые. Действительно, обычный здравый смысл подсказывал, что любая функция, которая может быть задана аналитически (т.е. представимая в виде суммы сходящегося ряда), безусловно, задает такую кривую. Однако 18 июля 1872 г. Карл Вейерштрасс в Королевской Академии наук Пруссии представил работу, в которой,используя определение производной как предела, доказал, что отношение приращения функции к приращению аргумент может становиться сколь угодно большим при увеличении индекса суммирования.

Идея функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей нашла свое развитие вмножествах Кантора, кривых Пеано, теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной им в 1919 году. Однако слово «фрактал» стало«модным» благодаря французскому математику Бенуа Мандельброту, сотрудника корпорации IBM, который в 1975 годуиздалкнигу "ThefractalGeometryofNature".

Рис.1. Бенуа Мандельброт, основоположник фрактального исчисления

Именно в его работах понятиефрактала приобретает смысл множества, обладающего свойством самоподобия, то есть объекта, у которого целое имеет ту же форму, что и одна или более из его частей. И хотя подобные объекты довольно широко распространены в нашем мире, настоящий интерес к ним появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта. Он и его ученики открыли много фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов.

В определенном смысле одним из эталонных фрактальных множеств стало множество Мандельброта.Это множество такихточек С на комплексной плоскости, которые подчиняется условиям:

c = x + i ∙ y

Z0 = 0

Z1 =Z20+ c = x + i ∙ y

Z2 =Z21+ c = (x + i ∙ y)2 + x + i ∙ y = x2 + 2∙i ∙x∙ y – y2 + x + i ∙ y = x2– y2 + x + (2 ∙x∙ y+ y)∙i

Z3 = Z22 + c = …

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений - сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально.Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график и получил изображение, которое называл "своей подписью". Это связано с простотой описывающей это множество функции, что, в свою очередь, приводит к его универсальности - многие процессы могут быть описаны при помощи этого фрактала

Рис.2 Графическое изображение фрактала Мандельброта

С легкой руки Мандельброта фракталы нашли широкое применение в современной машинной графике. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. Фрактальная геометрия стала незаменима в алгоритмах генерации форм облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Применение фракталов

Фракталы применяются во многих науках, например физике, биологии, нефтехимии и других. Мы остановим наше внимание на применении фракталов в компьютерной графике.Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики

Фрактальнаяграфика очень реалистична. Происходит это потому, что ее детали и элементы постоянно встречаются в окружающем мире – горы, облака, морские берега, различные природные явления. Часть из них остается постоянно в одном и том же состоянии, вроде деревьев, каменистых участков. Остальные же непрерывно меняются, как мерцающее пламя или кровь, двигающаяся по сосудам.

. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых «родителей» геометрических свойств,к объектам-наследникам. Это особенно удобно для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхность моря и т. д.

Фрактальная графика, так же как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие и преимущество заключается в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в файле фрактального изображения сохраняются только алгоритмы и формулы.

Программные средствадля работы с фрактальной графикой нацелены на автоматическую генерацию изображений путем математических расчетов. Создание фрактальной художественной композиции состоит не в рисовании или оформлении, а в программировании.

Также спомощью фракталов созданы алгоритмы для сжатия изображения. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.

Рис.3. Изображение, построенное помощью программного обеспечения Ultrafractal.

Принцип фрактального сжатия информации использует система назначения IP-адресов в сети Netsukuku для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка. Создатель фракталов — это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице.

Заключение

Фрактальные технологии на современном этапе – одна из бурно прогрессирующих областей науки и не только в компьютерной графике. Сегодня фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Создана теоретическая база для новых направлений их применения, таких как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и других.

Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть. Осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать фрактальную графику и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений, завораживающих взгляд. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и, может быть, фракталы помогут понять еще не разгаданныетайны Вселенной

Список литературы

Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство // Математика в школе. 2005. №4. С.76 - 78.

Митенева С.Ф. Об изучении фрактальной геометрии в школе // Материалы Всероссийской научно-методической конференции «Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А.Н. Колмогорова» (7-9 декабря 2011 г.). Кострома: изд-во КГУ, 2011. С. 36-37.

Митенева С.Ф. Информационные технологии в школьном образовании // Материали за 11-а международна научна практична конференция «Образованието и науката на XXI век». Том 5. Педагогически науки. Психология и социология. София: «БялГРАД-БГ» ООД, 2015. stran.34-35.

Секованов В.С. Что такое фрактальная геометрия? М.: ЛЕНАНД. 2016. 272 с.

Трайнев В. А. Новые информационные коммуникационные технологии в образовании. М: Дашков и К, 2009. 320 c.