Учебно-исследовательская проектная работа «Золотое сечение Углича»

II муниципальная учебно-исследовательская конференция школьников

Угличского муниципального района

Ярославской области

Золотое сечение Углича

Учебно-исследовательская проектная работа

Авторы – Крутенко Маргарита Романовна и Хаустова Полина Алексеевна

Обучающиеся 6А класса

Средней школы №7 г. Углича

Научный руководитель -

Павлова Инна Владимировна,

Учитель математики

средней школы №7 г. Углича

Углич 2016 г

Оглавление:

Список использованных источников и литературы стр. 2

Введение стр. 2

Понятие золотого сечения стр. 3

История возникновения понятия золотого сечения стр. 4

Применение принципов золотого сечения в различных сферах жизни стр. 4

Золотое сечение в архитектуре стр. 5

Исследование памятников древней архитектуры Углича на соответствие пропорциям золотого сечения. стр. 6

Исследование построения прямоугольника группой школьников стр. 8

Исследование выбора места на скамейке группой школьников стр. 8

Заключение стр. 9

Список использованных источников и литературы:

А. Соколов. Тайны золотого сечения: [текст] / А. Соколов// Техника – молодежи.- 1978 - №5.

Э. М. Сороко. Структурная гармония систем: [текст] / Э. М. Сороко. // Наука и техника.- 1984 - №5.

Энциклопедический словарь [текст] / главный редактор Б.А.Введенский, т.1 А-Й; государственное научное издательство «Большая советская энциклопедия» - М.: 1953, -720 с: ил.

Энциклопедический словарь юного математика / Составитель А.П. Савин. -М.: Педагогика, 1989, -322 с. : ил.

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / главный редактор М.Д. Аксенова.- М: Аванта +, 2000, -688с: ил.

http://samlib.ru/s/shkrudnew_f_d/osnovy-30.shtml (20.03.2016 года)

Введение:

  Человека с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам и формулам.

В курсе математики 6 класса мы познакомились с понятием отношения и пропорции. Данные понятия очень актуальны для познания законов красоты. Любого человека отталкивают проявления уродливого и безобразного и притягивают спокойные, совершенные и гармоничные формы.

Мы хотим выяснить - на каких законах математики основывается гармония в окружающем пространстве, то есть хотим установить – «нельзя ли алгеброй гармонию поверить?»

Золотое сечение наукой изучено, а вот соединение в одну проблему золотого сечения и архитектуры Углича – уникально. Мы первые, занявшиеся изучением данного вопроса – оценкой памятников древней архитектуры Углича с точки зрения математики.

Объясним актуальность данной проблемы. Нам принадлежит будущее. Сделать мир вокруг нас гармоничнее и совершеннее можно только в том случае, если знать и понимать законы красоты. В дальнейшем это поможет не только видеть красивое и совершенное, но и создавать его, изменяя мир вокруг нас в лучшую сторону.

Изучив статьи математических энциклопедических словарей, журналов, источников в интернете (смотри список использованных источников и литературы стр.2),мы поставили цель работы и задачи.

Цель работы:

Выявление соответствия между отношением размеров различных частей памятников древней архитектуры Углича и канонами золотого сечения, а также проверка гипотезы о врожденном чувстве гармонии

Задачи:

Изучение принципов золотого сечения

Изучение применения золотого сечения в различных областях жизни человека

Исследование памятников древней архитектуры Углича на соответствие с пропорцией золотого сечения

Исследование построения группой школьников прямоугольника

Исследование выбора места на пустой скамейке группой школьников

Основная часть:

Что такое золотое сечение?

   В математике пропорция - это равенство двух отношений: a : b = c : d.

   Отрезок АВ можно разделить на две части точкой С двумя способами:

на две равные части (поставив С посередине АВ)

на две неравные части, поставив точку С на отрезке произвольно (такие части пропорции не образуют)

  В единственном случае, когда положение точки С таково, что АС : АВ = СВ : АС, получается верная пропорция.

  Это отношение и названо золотым сечением.   Золотое сечение - это такое деление отрезка на неравные части, при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Или обратное отношение: меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Это отношение приближенно равно или 0,618…

Обратное отношение приближенно равно 1,6180339887…

Эту пропорцию называют по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой". Очевидная причина такого названия – в единственности положения точки С на отрезке, в гармоничности подобного деления.

История возникновения понятия золотого сечения

   Принято считать, что понятие о золотом сечение ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик. Предполагают, что Пифагор свое знание золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

   В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого сечения. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого сечения. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом сечении.

Применение принципов золотого сечения в различных сферах жизни

Принцип золотого сечения заложен во многих объектах живого и неживого мира. Природа сама осуществила деление на золотые пропорции. Только перечисление различных областей, где прослеживается принцип золотого сечения, занимает много места:

Объекты животного и растительного мира

Живопись

Архитектура

Музыкальные произведения

Поэзия

Бытовые предметы

Физические параметры внешней среды (громкость звука, влажность воздуха, давление воздуха и др.)

Объекты космоса

Тело человека и его отдельные органы (включая биоритмы и функционирование головного мозга и зрительного восприятия)

Естественно, этот список можно продолжить.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека мы воспринимаем как гармоничные.
Скульптор и теоретик искусства  Поликлет в своем трактате "Канон" установил законы пропорциональности человеческого тела. Так, пупок делит рост человека в отношении золотого сечения.

Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского воплотившую представление древних греков о красоте. Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения, то точка деления придется на пупок. Если то же самое проделать с частью тела от пупка до макушки, то точка деления расположится на «адамовом яблоке». Деление можно продолжать для других частей тела (смотри Приложение 1 стр.11)

Золотое сечение в архитектуре

   Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н. э.). Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада.

Пропорции здания можно выразить через различные степени числа 0,618...

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники". 

Золотое соотношение можно увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал "золотое сечение".    Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных проектах жилых домов и усадеб. Например, "золотое сечение" можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле.

Исследование памятников древней архитектуры Углича на соответствие пропорциям золотого сечения.

   Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все "на глазок", без особых математических расчетов. Но от большинства таких зданий невозможно оторвать взгляд. Поэтому, скорее всего русские архитекторы хорошо знали золотые математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов.

Мы живём в красивейшем городе с прекрасными памятниками древней архитектуры. Мы задали себе вопрос – не заложены ли принципы золотого сечения в размеры этих зданий?

Гипотеза:  

Размеры различных частей многих памятников древней архитектуры Углича соответствуют золотой пропорции.

Методика исследования:

Для измерения различных частей зданий рулетка не подойдет. Для исследования мы нашли новый способ, который при решении таких проблем не использовался. Мы решили использовать возможности компьютерной программы Paint. Положение каждой точки на рабочем листе программы задается двумя координатами, но не в сантиметрах или миллиметрах, а в пикселях. Мы взяли фотографии нужных зданий (часть нашли в интернете, часть сделали сами). Поместив фото в Paint, провели с помощью инструмента «линия» нужные вертикальные и горизонтальные отрезки. Нашли координаты концов отрезков в пикселях. Для нахождения длин горизонтальных отрезков мы вычли абсциссы концов отрезка, для вертикальных отрезков вычли ординаты концов. Таким образом, была найдена длина всех интересующих нас отрезков. Далее мы находили приближенное значение отношений длин отрезков (смотри Приложение 2 стр.12-16). Приводим результаты вычислений (длины отрезков даны в пикселях):

1.Церковь Царевича Димитрия «на крови».

1.1 Высота трапезной: 218

Высота колокольни: 317

Отношение высот трапезной и колокольни: 0.688

1.2 Длина трапезной: 300

Длина летней церкви: 183

Отношение длины трапезной к длине летней церкви: 0,61

1.3 Высота летней церкви: 253

Высота купольной части: 159

Отношение высот летней церкви и купольной части: 0,628

1.4 Высота барабана: 91

Высота купола: 59

Отношение высоты барабана к куполу: 0,648

1.5 Ширина окна: 48

Высота окна: 29

Отношение ширины окна к высоте: 0,604

2. Корсунская церковь.

2.1 Высота летней церкви: 238

Длина фасада: 367

Отношение высоты летней церкви к длине фасада: 0,649

3. Успенская (Дивная) церковь:

3.1 Длина фасада: 265

Высота фасада: 432

Отношение длины фасада к высоте: 0,613

4. Дом купцов Истоминых (ныне Дом детского творчества)

4.1 Высота фасада: 474

Длина фасада: 284

Отношение высоты фасада к длине: 0,599

Вывод: Для всех рассмотренных памятников старинной архитектуры Углича отношение частей практически близко к каноническому значению золотой пропорции – 0,618... Таким образом, математической формулой золотой пропорции, заложенной в размеры этих зданий, наверное и объясняется их красота, гармония и спокойствие. Недаром жители Углича и многочисленные туристы смотрят на эти памятники и не могут насмотреться. Оказалось, что математическими законами можно измерить гармонию, спокойствие линий и совершенство.

Исследование построения прямоугольника группой школьников

Гипотеза:  

Если среднестатистическому человеку предложить построить произвольный прямоугольник, то отношение его длины к ширине будет близко к значению золотого сечения, так как человеку присуще врожденное чувство гармонии.

Методика исследования:

Для проверки выдвинутой гипотезы мы провели эксперимент. Группе учащихся из 9 человек было предложено на чистом листе бумаги начертить прямоугольник произвольных размеров. Затем длина и ширина прямоугольника были измерены в миллиметрах. На последнем этапе эксперимента мы нашли отношение ширины прямоугольника к длине.

Вывод:

Среднее арифметическое значение найденного отношения 0,614

Оно практически совпадает с каноническим значением «золотого сечения» - 0,618…

Эксперимент показал, что учащимся нашего класса присуще врожденное чувство золотого сечения.

Исследование выбора места на скамейке группой школьников

Если обычному человеку предложить сесть на пустую скамейку – какое место он выберет? Посередине? Ближе к краю?

Гипотеза:

Среднестатистический человек на пустой скамейке неосознанно выбирает место, соответствующее золотому сечению, так как человеку присуще врожденное чувство гармонии.

Методика исследования:

В ходе эксперимента мы предложили группе учащихся нашего класса сесть на пустую гимнастическую скамейку – куда хочется. С помощью рулетки была измерена длина скамейки. Для каждого школьника измерялась длина меньшей части отрезка (за отрезок принимаем длину всей скамейки). Длина большей части отрезка находилась вычитанием. После этого мы для каждого школьника нашли два отношения - большей части ко всему отрезку и меньшей части к большей. Затем нашли среднее арифметическое значение найденных отношений. Приводим результаты измерений и вычислений:

Длина скамейки АD = 401см, большая часть АС, меньшая часть СD.

Вывод:

Среднее арифметическое отношения АС к АD приближенно равно 0,640

Среднее арифметическое отношения СD к АС приближенно равно 0,565

Эти средние значения близки к каноническому значению золотого сечения 0,618…, значит учащимся нашего класса присуще внутреннее чувство гармонии.

Заключение

В ходе проведенных исследований мы смогли «поверить алгеброй гармонию» и пришли к выводу, что гармония и красота окружающего мира основываются на принципе золотого сечения. Закону золотого сечения подчиняются многие пропорции памятников архитектуры нашего города. Поэтому Углич – город золотого кольца, город золотой древней архитектуры, можно назвать городом золотого сечения, то есть трижды золотым. Нам, молодому поколению, также присуще внутреннее чувство гармонии.

Мы думаем, что уникальность нашей работы в том, что мы – первые, решившие проверить: соответствуют ли пропорции памятников архитектуры родного города канону золотого сечения. Наши измерения и вычисления доказали это соответствие. Вычисленные нами средние значения очень близки к каноническому значению золотого сечения - числу 0,618…

Также достоинством своей работы мы считаем то, что смогли найти интересный способ измерения размеров различных частей зданий без использования привычных измерительных инструментов (рулетки и т.д.), используя возможности компьютерной программы Paint.

Интересной мы считаем и ту часть своей работы, где решили проверить гипотезу о том, что среднестатистическому человеку свойственно врожденное чувство гармонии. И проверяли мы эту гипотезу на своих одноклассниках. Наши измерения и вычисления доказали, что часть учеников нашего класса обладает врожденным чувством гармонии. Вычисленные нами средние значения измеренных отношений очень близки к каноническому значению золотого сечения - числу 0,618…

Возможные направления дальнейшей работы:

В здании Парфенона золотое сечение встречается несколько раз. В здании церкви царевича Димитрия « на крови» мы уже нашли пять золотых пропорций. Возможно рассмотрение этого вопроса глубже – найти план здания, проверить – нет ли золотых сечений не только снаружи, но и внутри. Это исследование может показать, что наш древний памятник с этой точки зрения не уступает зданию Парфенона.

Исследовать современную архитектуру Углича на наличие золотых сечений.

Предложение по практическому использованию результатов:

Итогом своей работы мы сделали информационную листовку «Углич – трижды золотой город», которую можно разместить на сайте туристического информационного центра «Углич» с целью еще большего привлечения туристов в наш город. (Смотри Приложение 3 стр.16)

Использовать полученные результаты и возможные направления дальнейшей работы для внеклассных занятий по математике.

 

Приложение 1

 

 

Приложение 2

 

 

Приложение 3
 

Углич - трижды золотой город.

Город «Золотого кольца» с золотой архитектурой и золотым сечением в пропорциях церквей и храмов.

В нашем городе, кроме монастырей и церквей с золотым сечением, есть храм науки, в котором у детей присутствует природное чувство гармонии.

Посетив наш древнерусский город, вы сможете окунуться в мир гармонии совершенства.