Доказательство неравенств во внеклассной работе со школьниками

Методическая разработка

«Доказательство неравенств во внеклассной работе со школьниками»

Автор: Морозова В.А.,

учитель математики

МБОУ «СОШ-ДС № 37 им. И.Г.Генова»

Симферополь, 2022

Содержание
Введение…………………………………………………………………………...3
1.Свойства и основные методы доказательства неравенств…………………...6
2.Доказательство неравенств с помощью рассмотрения разности частей и алгебраических преобразований………………………………………………....8
3.Использование известных неравенств………………………………………10
3.1 Неравенство Евклида (8-9 класс)…………………………………………10
3.2 Неравенство Коши (9-10 класс)…………………………………………..13
3.3 Неравенство Бернулли (9-10 класс)…………………………..………….18
3.4 Неравенство Коши- Буняковского (10-11 класс)……………………..…22
3.5 Неравенство Йенсена (11 класс)……………………………………….....25
4.Метод математической индукции ( 8-9 класс)…………………………...….27
5.Метод «оценка+ пример» (8-11класс)……………………………………......29
6.Самостоятельно составленные задачи…………………………………….....33
Заключение……………………………………………………………………….36

ВВЕДЕНИЕ

Задачи на доказательство неравенств занимают очень важное место для математической подготовки учеников. Учащиеся знакомятся с понятием неравенство еще в младшей школе , изучая отношения "больше", "меньше", "равно" и учатся записывать результаты сравнения с помощью знаков , а так же читать полученные неравенства. Далее школьники встречаются с понятием неравенство в 5-6 классах. Они встречаются с такими заданиями:

Какая из точек лежит левее на координатном луче …

Запишите с помощью двойного неравенства.

Я задумала число, оканчивающееся на 5. Оно больше 210 и меньше 220. Назовите его…

Ближе всего знакомятся с доказательством неравенств учащиеся в 8 классе. В рабочей программе по алгебре для 8 класса особое внимание уделяют на следующие темы: «Числовые неравенства и их свойства», «Линейные неравенства с одной переменной», «Системы неравенств с одним неизвестным». Все приобретенные учащимися навыки находят применение при изучении тем «Решение квадратичных неравенств».
Обучающиеся должны знать, хотя бы три способа для решения квадратичных неравенств:

1. На основе разложения квадратного трехчлена на множители, построение эскиза графика квадратного трехчлена и написать ответ.

2. На основе разложения квадратного трехчлена на множители, использовать метод интервалов.

3. Графический метод решения неравенства: ах2 + вх +с>0 ; ах2 > - вх – с.

После детального изучения школьной программы , в части на доказательства неравенств ,учащиеся могут узнать намного больше интересных и познавательных задач на внеурочной деятельности.

Неравенства данной темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств саморазвития , логического мышления. Благодаря специально подобранным задачам, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на обычно решаются способами. Это повод привлечь любопытство найти , как самый простой , но и на такие , которые часто используются при решении самых разных задач.

разрешают воплощать в развитие изучения темы таких заданий: формирование навыков составления алгоритма выполнения; определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата, помогают выполнять простейшие преобразования, излагать выводы; мысли.

В моей методической разработке рассмотрены следующие виды задач:

1. Доказательство неравенств с помощью рассмотрения разности его частей и алгебраических преобразований.
2. Задачи на доказательства с использованием уже доказанных неравенств (неравенство Коши, Коши-Буняковского, Йенсена и др.)
3. Метод математической индукции.
4. Метод «оценка + пример».

Например, доказывать неравенства с помощью математической индукции и Неравенством Евклида можно ученикам 8 класса на внеклассных занятиях.
Неравенства Коши и Неравенства Бернулли рассматривать уже в 9 классе, когда учащиеся владеют достаточными знаниями по данной теме.
С Неравенством Коши-Буняковского можно познакомить учащихся в 10 классе на внеклассной работе. А с Неравенством Йенсена в 11 классе, так как понятие производной в школьном курсе алгебры вводится только в 11 классе. Все вышеперечисленные виды неравенств играют большую роль в курсе алгебры.

Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить.

1. и методы .
неравенств:

К неравенства или отнять

f(x) > ) ) + h(x) > )+ )

Неравенства можно :

f(x) > )
p(x) > h(x) ) + p(x) > g(x)+ )

разных почленно :

  ) > g(x)
) < ) f(x) - p(x) > g(x)- )

Можно умножать и делить на одно и тоже положительное число обе части неравенста:
 ) > g(x) a·f(x) > a·g(x) , a > 0

В случае, когда обе  неравенства  , либо умножить на и тоже , неравенства изменится на :

) > g(x) a·f(x) < a·g(x) , a < 0

О доказательства :
Доказать неравенство - это значит обосновать его истинность при всех допустимых значениях переменных.

Существуют различные методы доказательства неравенств:
1. Рассмотрение разности левых и правых частей.

2. Рассмотрение частного и сравнение с единицей.

3. Метод от противного.

4. Использование уже доказанных неравенств.

2. Доказательство неравенств с помощью рассмотрения разности его частей и алгебраических преобразований.

Задача 1. (Окружной этап всероссийской олимпиады для 9 класса 1992-1993 учебный год)

Докажите, что верно неравенство x2 + xy + y2 ≥ 3(x + y − 1), для любых действительных чисел x и y.

Доказательство:
Разберем данное выражение как квадратный трехчлен относительно x:
x2 + xy + y2 - 3(x + y − 1) = x2 + (y − 3)x + (y2 – 3y + 3)
Посчитаем дискриминант и получим:

−3(y− − 1)2
Итак, дискриминант отрицателен.

Трехчлен допускает только положительные значения и показатель > 0, следовательно x2 +xy+y2 ≥ 3(x+y−1) при любых x и y. Равенство верно, когда x = y = 1.

Задача 2. (Белорусская республиканская олимпиада, 9 класс 1962-1963 учебный год )

Докажите, что наибольшая площадь треугольника равна 1, стороны которого a, b, c заключены в пределах: 0x 1y2z3 ?
Доказательство:
Площадь треугольника находим по формуле: S = xy·sin