Элективный курс «Такая разнообразная тригонометрия» (Алгебра, 10 класс)

Пояснительная записка.

Элективный курс «Такая разнообразная тригонометрия» рассчитан на учащихся десятых классов, может быть использован для подготовки к ЕГЭ. Не смотря на то, что в школьном курсе алгебры темам «Тригонометрические выражения и их преобразования», «Тригонометрические уравнения и неравенства», «Графики тригонометрических функций» уделено достаточно времени, все-таки необходимо постоянно повторять, возвращаться к этим темам, тем более что в школьной программе такого материала, как «Решение уравнений и неравенств с обратными тригонометрическими функциями», «Введение вспомогательного аргумента» нет совсем. А этот материал очень богат и интересен. Задачи по тригонометрии встречаются при сдаче ЕГЭ и при поступлении в высшие учебные заведения. В тригонометрии очень много формул. Необходимо, чтобы учащиеся их не просто заучили, а могли всегда эти формулы выводить и хорошо ориентироваться в них.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных знаний. Он будет идти параллельно с основными уроками по теме «Тригонометрия». Это поможет учащимся лучше понимать и решать задачи.

Цели курса:

Вызвать интерес учащихся к интересу данного курса.

Создать целостные представления о теме и расширить спектр задач посильных для учащихся

Задачи курса:

Развивать творческую активность.

Способствовать сознательному и прочному усвоению материала.

Формировать навыки исследовательской работы.

Учебно-тематический план

Содержание программы.

Тема 1. Тригонометрические преобразования.

На первом занятии учащимся сообщается цель и задачи элективного курса. Повторяются основные формулы, проводится тест с целью выяснения знаний формул учащимися и их применение. Рассматриваются примеры, которые предлагались на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

Тема 2. Обратные тригонометрические функции.

На занятии показывается практическое применение определений. Многие учащиеся не умеют решать уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. В школьных учебниках таких задач практически не встречается. На этом занятии проводится тест-разминка, который показывает готовность учащихся к восприятию темы. Разбираются и решаются задачи по этой теме.

Тема 3. Графики тригонометрических функций.

Строятся графики сложных функций, с модулями, с обратными тригонометрическими функциями.

Тема 4. Введение вспомогательного аргумента.

Решаются уравнения с помощью этого метода. Показывается его применение в задачах на наибольшее и наименьшее значение.

Тема 5. Уравнения, решаемые методом оценок.

Разбираются и решаются несколько уравнений, предлагаемых на экзаменах в вузы.

Тема 6. Уравнения с параметрами.

Решение задач с параметрами вызывает большие затруднения у поступающих. Абитуриента, который берется за подобную задачу, поджидает несколько трудностей. Первая состоит в том, что в школьной программе таких задач нет и среднему школьнику трудно даже понять условия задачи. Вторая существенная трудность – логическая. Правильное логическое мышление от природы не дается, его надо развивать даже людям, способным к математике. И это нелегко. В этой теме рассматривается ряд задач, которые помогут учащимся научиться решать тригонометрические уравнения с параметрами.

Знакомство с литературой по этой теме: В.В.Мочалов, В.В. Сильвестров «Уравнения и неравенства с параметрами»; В.В.Амелькин. В.А.Рабцевич «Задачи с параметрами».

Тема 7. Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений.

Повторяется основной материал по геометрии для таких задач:

соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника;

теорема синусов и косинусов;

формулы вычисления площадей плоских фигур;

выражения сторон правильных вписанных и описанных многоугольников через радиус соответствующих окружностей;

Решаются задачи из книги И.Т.Бородуля «Тригонометрические уравнения и неравенства».

Используемая литература:

Звавич и др. Алгебра и начала анализа 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики

И.Т.Бородуля Тригонометрические уравнения и неравенства.

В.В. Ткачук Математика абитуриенту.

Готовимся к ЕГЭ. Рабочая тетрадь.

Т.Г.Королева Математический тренажер. Алгебра 10-11 классы.

Тесты МГСУ.

Дидактический материал

Тема 1. Тригонометрические преобразования.

Тест – проверка формул.

1. Упростите:

а) sin2 70 – 1 б) (sinα + cos α)2 – sin 2α в) sin2(–300) – cos2(–600)

г) sin4α – cos4α д) sin4α + 2cos2α sin2α + cos4α

sinα + cosα

2. Вычислить:

а) tgα, если sinα = 3/5, 0 < α < π/2

б) sin2 70 + sin2 830

в) sin 150 cos 150

г) sin2 π/8 – cos2 π/8

д) tg π/8

1 – tg2 π/8

3. Сократить дробь

а) sin4х б) cos4х

2 cos2х cos2х – sin2х

4. Упростить:

а) sin2х + sin4х

2 sin3х

б) cos2( 3 π/2 – х) + sin2(π/2 – х)

в) tg23 сtg23 – 1

 

Тема 2. Обратные тригонометрические функции.

Тест-разминка.

1. Найдите область определения функции

а) е)

б) ж)

в) з)

г) и)

д) к)

2. Вычислите:

а) д)

б) е)

в) ж)

г)

Тест- проверка.

Решите уравнения.

а) д)

б) е)

в) ж)

г)

Тема 7. Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений

Тест по планиметрии

Тест – подведение итогов.

1. Выражение равно

а) б) в) г) д)

2. Величина равна

а) б) в) + 2 г) д) 2

3. Дробь равна

а) –1 б) –2 в) tg 540 г) 2 д) 1

4. Число является корнем уравнения

при , равном

а) 0 б) 2 в) 3 г) 0,5 д) 2,5

5. Если , то равен

а) 0,8 б) – 0,8 в) 0,5 г) – 0,96 д) 0,96

6. Угол равен

а) б) в) г) д)

7. Если и , то равен

а) б) в) г) д)

8. Все корни уравнения образуют множество

а) б) в)

г) д)

9. Если и то величина b заключена в промежутке:

а) б) в) () г) д)

10. Дробь при равна

а) б) в) г) д) – 11

11. Если α – угол треугольника и , то этот угол равен

а) 1500 б) 600 в) 300 г) 1200 д) 1350

12. Область определения функции

совпадает с множеством

а) б)

в) г)

д)

13. sin850 равен

а) б) в) г) д)

14. Наименьший положительный период функции равен

а) 1 б) 2 в) 3 г) π д) 2π

15. Сумма корней уравнения , принадлежащих промежутку , равна

а) б) в) г) д)

16. Если и , то величинаравна

а) б) в) г) д)

17. Число решений уравнения ctg x = sin x на промежутке равно

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4 д) 0

18. Корни уравнения равны

а) б) в)

г) д)

19. Множество значений функции равно

а) б) [0;4] в)[3;6] г) д) [3;5]

20. Все углы из промежутка, удовлетворяющие неравенству образуют множество

а) б) в)

г) д)

21. Наименьшее значение функции равно

а)1 б) 2 в) 3 г) 4 д) 5

22. Область определения функции совпадает с множеством

а) б) в) г) д)

23. Дробь равна

а) б) в) г) 1 д) – 1

24. Наибольшее значение функции на промежутке равно а)100 б) 40 в) г) 4 д) 1

25. Множество значений функции равно

а)(–2;-1] б) (–2;1] в) [–1;2) г) [1;2) д)

26. Количество корней уравнения равно

а) 68 б) 69 в) 70 г) 71 д) 1

27. Нуль функции принадлежит промежутку

а) б) в)

г) д)