Практическая тетрадь по алгебре на тему «Тригонометрия» (10–11 классы)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Тригонометрия»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Тригонометрия» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: ТРИГОНОМЕТРИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1)Значение тригонометрических функций

2)Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в каждой из координатных четвертей.

Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и

котангенса

 

+ + - + - +

 

- - - + + -

3) sin(-α) = -sinα нечетная функции

tg (-α) = -tgα нечетная функции

ctg (-α) = -ctgα нечетная функции

cos (-α) = cosα} – четная функция

Формулы тригонометрии

 

Тема: ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Решите уравнение:

1. arcsin(-a) = -arcsin a arcsin = ; arcsin(- ) = -

2. arccos(-a) = π – arccos a arccos = ; arccos(- ) = π - = π

3. arctg(-a) = -arctg a arctg1 = ; arctg(-1) = -

4. arcctg(-a) = π – arcctg a arcctg1 = ; arcctg(-1) = π - = π

5. sin (arcsin a) = a

cos (arccos a) = a

6. arcsin (sin х) = х

arccos (cos х) = х

7 .tg (arctg a) = a

arctg (tg х) = х, если х€

 

Найдите значение выражения:

a) arcsin 1 г) arctg 0 ж) arccos (-)

б) arcsin (- ) д) arctg (-) з) arcctg (-)

в) arccos е) arcctg ()

Тема: ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x =a называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Любое другое тригонометрическое уравнение с помощью преобразований можно привести к простейшим.

 

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Решите уравнения:

1. cos x = 7. sin x = -0,6

2. cos x = -1 8. cos (-4x )= 0

3. sin(- x) = 0,5 9. cos = -

4. 2 sin x = 0 10. tg( x+π/4) =

5. ctg х + 1 = 0 11. 2 sin x + = 0

6. sin 3x = 12. cos x = 3

Тема: РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Уравнения, сводящиеся к квадратным

(Виды уравнений: а sin2x + b sinx + c= 0, а cos2x + b sinx + c = 0)

 

Алгоритм решения:

а) Выполнить преобразования, приводящие к уравнению с одной функцией

б) Решить квадратное уравнение относительно данной функции

в) Решить простейшие тригонометрические уравнения

Пример: 2 sin2 x + 5 sin x – 3 = 0

Замена: sinx = t , |t| ≤ 1

2 t2 + 5 t – 3 = 0 , t = -3

t = Обратная замена: sin x=-3 нет решения,

sinx = (простейшее уравнение)

(см. таблицу)

 

2) Уравнения вида a sinx + b cosx = 0 (однородное уравнение первого порядка)

Решается делением на sin x ≠ 0 или cos х ≠ 0

Например: поделим на cos x, получим уравнение а tgx + b = 0

tgx = - (простое тригонометрическое уравнение)

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители, если справа 0

(левую часть уравнения раскладываем на множители, затем каждый из сомножителей приравниваем к нулю)

а sin2x + b sinxcosx = 0 (вынесем за скобки sin х)

sinx (a sinx + b cosx) = 0 (данное уравнение распадается на 2 уравнения:

1) sinx = 0 (прост. триг. уравнение) . 2) а sinx + b cosx = 0 (однородное триг. уравнение 1-го порядка, смотри пункт 2)

4) Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка

а sin2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 Примечание: если уравнение имеет вид

а sin2 x + bsinx cosx + c cos2x = d, то правую часть

уравнения умножаем на 1, т.е.

Решается делением на сos2 х≠ 0

a tg2x + b tgx + c = 0 (смотри пункт 1)

замена: tgx = t

at2 + bt + c =0 …

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Решите уравнение

1.2 cos2x + 9 sinx + 3 = 0, (указание: заменить на 1-sin2x) 2. sinx + cosx = 0

 

Ответ: - + πn, n€z Ответ: (-1)n+1 + πn, n€z

3. 2sin cosx – sinx = 0 4. 3 sin2x + sinxcosx = 2cos2x

 

Ответ: x = - + πn, x = arctg + πn, n€z Ответ: x = ± + 2πn, n€z, x = πn, n€z

 

ТЕСТ № 1

1. Решите уравнение: sinx =

А) (-1)k + πk, k€z B) ± + 2πk C) (-1)k + πk D) (-1)k + 2πk

2. Решите уравнение: 2 cos2x =

A) + 2πk B) ± + πk C) + πk D) ± + 2πk

3. Решите уравнение: 3tg3x = 3

A) + k B) - + πk C) k D) +

4. Решите уравнение: 2cos2x – 5cosx = -3

A) 2πn, n€z B) нет решения C) πn, n€z D) π + 2πn, n€z

 

5. Решите уравнение: sin2x – 2sinx = 0

A) πn, n€z B) (-1)k + πк C) ± + 2πn D) π + 2πn, n€z

6. Решите уравнение:

A) нет решения B) C) D) ± + 2πn, n€z

 

7. Решите уравнение: 2sin + = 0

A) (-1)k + 2πk B) (-1)k + 1 + 2πk C) (-1)k + πk D) (-1)k + 1 + πk

8. Решите уравнение: sinx – cosx = 0

A) + πn B) + πn C) ± +2 πn D) ± + πn

9. Решите уравнение: sin2 + sin cos = 0

A) - + 2 πn, n€z, 2πn, n€z B) + 2 πn, n€z C) + πn, n€z D) - + πn, n€z, πn, n€z

10. Решите уравнение: 3tg6x + = 0

A) + πn, n€z B) + 6 πn, n€z C) + 3 πn, n€z D) - n, n€z

 

ТЕСТ №2

1. Решите уравнение:

А) В) С) D)

2. Решите уравнение если

А) В) С) D)

3. Решите уравнение:

А); В);

С); D).

4. Решите уравнение: .

А); В); С); D).

5. Найдите корень уравнение принадлежащий []

А)300; В)450; С)200; D)150.

6. Решите уравнение: .

А) В) С) D)

7. Решите уравнение:

А) В) С) D)

8. Решите уравнение: .

А); В); С) ; D).

9. Решите уравнение: .

А); В) ;

С) ; D).

10. Решите уравнение:

А) ; В) ;

С) ; D) .