aleksus

Элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» (10–11 класс)

Материал опубликован 9 May 2018 в группе

Сообщество учителей математики и информатики

Элективный курс

«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Пояснительная записка.

Предлагаемый элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики», автор А.Н.Земляков, ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку. Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе большое число сложных задач, многие из которых понадобятся, как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменов. Структура курса представляет собой шесть логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников.

Курс рассчитан на 70 часов.

Цель курса:

повторить и обобщить курса алгебры и основ анализа;

создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к ЕГЭ учебе, в высшей школе.

Задачи курса:

реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;

выявление и развитие их математических способностей;

обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач и уравнений. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;

формирование и развитие аналитического и логического мышления.

расширение математического представления учащихся по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.

развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация.

Структура курса.

Тема 1 Логика алгебраических задач (7 часов).

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2 Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов).

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:

теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3 Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов).

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости, Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 4 Рациональные алгебраические системы (17 часов)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виета с тремя переменными.

Тема 5 Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными.

Тема 6 Алгебраические задачи с параметрами (8 часов).

Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

Замена в задачах с параметрами.

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

Системы с параметрами.

Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.

Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.

Замена при использовании метода «Оха».

Задачи с модулями и параметрами.

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Требования к подготовке учащихся.

Настоящая программа предполагает следующие требования:

иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;

получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым содержанием;

иметь представление о структуре решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;

уметь решать прикладные задачи;

. иметь представление о методе интервалов при решении иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;

. иметь представление о методе подстановки, методе исключения переменной, о равносильных линейных преобразованиях систем.

ЛИТЕРАТУРА И СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.

Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.

Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.

Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ:

1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение. - 252с.

2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение. - 252с.

3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 - 11 кл. сред. шк. - 3-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1990-160с: ил.

4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 - 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.

5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд. стереотип. - М.: Дрофа, 2000 - 416с: ил.

6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г. Розов. - 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2001. - 672с: ил.

7. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.-319 с.ил.

Адреса образовательных Интернет ресурсов:

1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .

2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика. Функции и их графики.

3. WWW.allmath – Вся математика.

4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.

5. WWW.matematik.ru Математика для абитуриентов.

6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.

7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.

8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика

Ожидаемый результат изучения курса

В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и модулями, с графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением производной.

В результате изучения курса учащиеся должны: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при анализе и решении задач.

Календарно-тематическое планирование.

№	Тема			Коли чество часов		Цели к уроку	Дата
10 класс

Логика алгебраических задач. 7 часов
1	Элементарные задачи как предложение с переменными. Следование и равносильность задач.			1		Формировать понятие следование и равносильность задач.
2	Уравнение с переменными			1		Формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.
3	Уравнение с переменными.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.
4	Алгебраические задачи с параметрами.			1		Формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.
5	Алгебраические задачи с параметрами.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.
6	Логические задачи с параметрами.			1		Формировать умения и навыки решения логических задач с параметрами.
7	Логические задачи с параметрами.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения логических задач с параметрами.	с/р
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения. 14 часов
8	Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу.			1		Формировать понятие теорема Безу и следствия из нее.
9	Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая т.Виета.			1		Формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.
10	Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая т.Виета.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.	с/р
11	Элементы перечислительной комбинаторики.			1		Формировать понятие элементы перечислительной комбинаторики.
12	Квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение.			1		Формировать понятие квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение.
13	Квадратные неравенства. Кубические многочлены.			1		Формировать умения и навыки решения квадратных неравенств.
14	Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени.			1		Продолжать формировать решения квадратных неравенств.
15	Угадывание корней и разложение.			1		Продолжать формировать решения квадратных неравенств.	с/р
16	Куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.			1		Формировать понятие куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.
17	Графический анализ кубического уравнения.			1		Формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.
18	Неприводимый случай (три корня и необходимость комплексных чисел.			1		Продолжать формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.
19	Уравнение степени 4.			1		Формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
20	Биквадратные уравнения.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
21	Представление о методе замены.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.	с/р
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства. 7 часов
22	Представление о рациональных алгебраических выражениях.			1		Формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
23	Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.			1		Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
24	Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.			1		Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.	с/р
25	Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.			1		Формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
26	Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
27	Неравенства с двумя переменными.			1		Формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
28	Множество решений неравенства на координатной плоскости.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
Резерв. 7 часов
29	Повторение. Решение задач по теме «Алгебраические задачи с параметрами»			1		Разбор заданий ЕГЭ
30	Повторение. Решение задач по теме «Уравнение степени 4»			1		Разбор заданий ЕГЭ
31	Повторение. Решение задач по теме «Биквадратные уравнения»			1		Разбор заданий ЕГЭ
32	Повторение. Решение задач по теме «Дробно-рациональные алгебраические уравнения»			1		Разбор заданий ЕГЭ
33	Повторение. Решение задач по теме «Дробно-рациональные алгебраические неравенства»			1		Разбор заданий ЕГЭ
34	Повторение. Решение задач по теме «Неравенства с двумя переменными»			1		Разбор заданий ЕГЭ
35	Повторение. Решение задач.			1		Разбор заданий ЕГЭ

11 класс
Рациональные алгебраические системы. 13 часов
36	Уравнение с несколькими переменными.			1		Формировать умения и навыки решения уравнение с несколькими переменными.
37	Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки.			1		Формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.
38	Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.
39	Однородные системы уравнений с двумя переменными.			1		Формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.
40	Замена переменных в системах уравнений.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.
41	Симметрические выражения от двух переменных.			1		Формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
42	Теорема Варенга - Гаусса.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
43	Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
44	Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.			1		Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
45	Метод разложения при решении систем уравнений .			1		Формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .
46	Метод разложения при решении систем уравнений .			1		Продолжать формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .
47	Системы с тремя переменными.			1		Формировать умения и навыки решения системы с тремя переменными.
48	Системы с тремя переменными.			1		Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.
49	Системы Виета с тремя переменными.			1		Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.	с/р
Иррациональные алгебраические задачи. 10 часов
50	Представление об иррациональных алгебраических функциях.			1		Формировать умения и навыки решения иррациональных алгебраических уравнений.
51	Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.			1		Продолжать формировать умения решения иррациональных алгебраических уравнений.
52	Уравнения с квадратными радикалами.			1		Формировать умения и навыки решения уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
53	Замена переменной.			1		Продолжать формировать умения решения уравнения с квадратными радикалами.
54	Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы			1		Формировать умения и навыки решения уравнения с модулями
55	Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы			1		Формировать умения и навыки решения уравнения с модулями
56	Метод интервалов при раскрытии модулей.			1		Формировать умения и навыки использования метода интервалов при раскрытии модулей
57	Метод интервалов при раскрытии модулей.			1		Формировать умения и навыки использования метода интервалов при раскрытии модулей	с/р
58	Иррациональные алгебраические неравенства.			1		Формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
59	Дробно-иррациональные неравенства.			1		Продолжать формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
Алгебраические задачи с параметрами. 8 часов
60	Рациональные задачи с параметрами.			1		Формировать умения и навыки решать рациональные задачи с параметрами.
61	Иррациональные задачи с параметрами.			1		Формировать умения и навыки решать иррациональные задачи с параметрами.
62	Задачи с модулями и параметром.			1		Формировать умения и навыки решать задачи с модулями и параметром.
63	Метод интервалов в неравенствах с параметрами.			1		Формировать умения и навыки решать неравенства с параметрами.
64	Системы с параметрами.			1		Формировать умения и навыки решать системы с параметрами.
65	Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами.			1		Формировать понятие метода координат.
66	Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.			1		Формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.
67	Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.			1		Продолжать формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.	с/р
Резерв. 3 часов
68		Повторение. Решение задач.	1		Разбор заданий ЕГЭ
69		Повторение. Решение задач.	1		Разбор заданий ЕГЭ
70		Повторение. Решение задач.	1		Разбор заданий ЕГЭ