Элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»

Тема 1 Логика алгебраических задач (7 часов).

Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2 Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов).

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:

теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3 Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов).

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости, Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 4 Рациональные алгебраические системы (17 часов)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виета с тремя переменными.

Тема 5 Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

 Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными.

Тема 6 Алгебраические задачи с параметрами (8 часов).

Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

Замена в задачах с параметрами.

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

Системы с параметрами.

Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».

Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.

Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.

Замена при использовании метода «Оха».

Задачи с модулями и параметрами.

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Требования к подготовке учащихся.

Настоящая программа предполагает следующие требования:

иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;

получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым содержанием;

иметь  представление  о структуре решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;

уметь решать прикладные задачи;

. иметь  представление  о методе  интервалов при решении иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;

. иметь  представление  о методе  подстановки, методе  исключения переменной, о равносильных линейных преобразованиях систем.

ЛИТЕРАТУРА И СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.

Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.

Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.

Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.

ЛИТЕРАТУРА   ДЛЯ   УЧИТЕЛЯ:

1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: Просвещение. - 252с.

2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение. - 252с.

3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 - 11 кл. сред. шк. - 3-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1990-160с: ил.

4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 - 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.

5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд. стереотип. - М.: Дрофа, 2000 - 416с: ил.

6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г. Розов. - 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2001. - 672с: ил.

7. А.Н. Земляков.  Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.-319 с.ил.

Адреса образовательных Интернет ресурсов:

1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .

2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика.  Функции и их графики.

3. WWW.allmath –  Вся математика.

4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.

5. WWW.matematik.ru  Математика для абитуриентов.

6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.

7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.

8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика

№

Тема

Коли

чество

часов

Цели к уроку

Дата

10 класс

Логика алгебраических задач. 7 часов

1

 Элементарные задачи как предложение с переменными. Следование и равносильность задач.

1

Формировать понятие следование и равносильность задач.

2

 Уравнение с переменными

1

Формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.

3

 Уравнение с переменными.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.

4

 Алгебраические задачи с параметрами.

1

Формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.

5

 Алгебраические задачи с параметрами.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.

6

 Логические задачи с параметрами.

1

Формировать умения и навыки решения логических  задач с параметрами.

7

 Логические задачи с параметрами.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения логических задач с параметрами.

с/р

Многочлены и полиномиальные алгебраические  уравнения. 14 часов

8

 Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу.

1

Формировать понятие теорема Безу и следствия из нее.

9

 Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая т.Виета.

1

Формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.

10

 Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая т.Виета.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.

с/р

11

 Элементы перечислительной комбинаторики.

1

Формировать понятие элементы перечислительной комбинаторики.

12

 Квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение.

1

Формировать понятие квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение.

13

 Квадратные неравенства. Кубические многочлены.

1

Формировать умения и навыки решения квадратных неравенств.

14

 Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени.

 1

Продолжать формировать решения квадратных неравенств.

15

 Угадывание корней и разложение.

 1

Продолжать формировать решения квадратных неравенств.

с/р

16

 Куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.

1

Формировать понятие куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.

17

 Графический анализ кубического уравнения.

1

Формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.

18

 Неприводимый случай (три корня и необходимость комплексных чисел.

 1

Продолжать формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.

19

 Уравнение степени 4.

1

Формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.

20

 Биквадратные уравнения.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.

21

 Представление о методе замены.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.

с/р

Рациональные алгебраические уравнения и неравенства. 7 часов

22

 Представление о рациональных алгебраических выражениях.

1

Формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.

23

 Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.

 1

Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.

24

 Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.

 1

Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.

с/р

25

 Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

1

Формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

26

 Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

27

 Неравенства с двумя переменными.

1

Формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.

28

 Множество решений неравенства на координатной плоскости.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.

Резерв. 7 часов

29

Повторение. Решение задач по теме «Алгебраические задачи с параметрами»

1

Разбор заданий ЕГЭ

30

Повторение. Решение задач по теме «Уравнение степени 4»

1

Разбор заданий ЕГЭ

31

Повторение. Решение задач по теме «Биквадратные уравнения»

1

Разбор заданий ЕГЭ

32

Повторение. Решение задач по теме «Дробно-рациональные алгебраические уравнения»

1

Разбор заданий ЕГЭ

33

Повторение. Решение задач по теме «Дробно-рациональные алгебраические неравенства»

1

Разбор заданий ЕГЭ

34

Повторение. Решение задач по теме «Неравенства с двумя переменными»

1

Разбор заданий ЕГЭ

35

Повторение. Решение задач.

1

Разбор заданий ЕГЭ

11 класс

Рациональные алгебраические системы. 13 часов

36

 Уравнение с несколькими переменными.

1

Формировать умения и навыки решения уравнение с несколькими переменными.

37

 Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки.

1

Формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.

38

 Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.

39

 Однородные системы уравнений с двумя переменными.

1

Формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.

40

 Замена переменных в системах уравнений.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.

41

 Симметрические выражения от двух переменных.

1

Формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.

42

 Теорема Варенга - Гаусса.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.

43

 Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.

1

Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.

44

 Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.

45

 Метод разложения при решении систем уравнений .

1

Формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .

46

 Метод разложения при решении систем уравнений .

 1

Продолжать формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .

47

 Системы с тремя переменными.

1

Формировать умения и навыки решения системы с тремя переменными.

48

 Системы с тремя переменными.

 1

Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.

49

 Системы Виета с тремя переменными.

 1

Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.

с/р

 Иррациональные алгебраические задачи. 10 часов

50

 Представление об иррациональных алгебраических функциях.

1

Формировать умения и навыки решения иррациональных алгебраических уравнений.

51

 Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

 1

Продолжать формировать умения решения иррациональных алгебраических уравнений.

52

 Уравнения с квадратными радикалами.

1

Формировать умения и навыки решения уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.

53

 Замена переменной.

 1

Продолжать формировать умения решения уравнения с квадратными радикалами.

54

 Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы

1

Формировать умения и навыки решения уравнения с модулями

55

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы

1

Формировать умения и навыки решения уравнения с модулями

56

 Метод интервалов при раскрытии модулей.

1

Формировать умения и навыки использования метода интервалов при раскрытии модулей

57

 Метод интервалов при раскрытии модулей.

 1

Формировать умения и навыки использования метода интервалов при раскрытии модулей

с/р

58

 Иррациональные алгебраические неравенства.

1

Формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.

59

 Дробно-иррациональные неравенства.

 1

Продолжать формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.

Алгебраические задачи с параметрами. 8 часов

60

 Рациональные задачи с параметрами.

1

Формировать умения и навыки решать рациональные задачи с параметрами.

61

 Иррациональные задачи с параметрами.

1

Формировать умения и навыки решать иррациональные задачи с параметрами.

62

 Задачи с модулями и параметром.

1

Формировать умения и навыки решать задачи с модулями и параметром.

63

 Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

1

Формировать умения и навыки решать неравенства с параметрами.

64

 Системы с параметрами.

1

Формировать умения и навыки решать системы с параметрами.

65

 Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами.

1

Формировать понятие метода координат.

66

 Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

1

Формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.

67

 Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

 1

Продолжать формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.

с/р

Резерв. 3 часов

68

Повторение. Решение задач.

1

Разбор заданий ЕГЭ

69

Повторение. Решение задач.

1

Разбор заданий ЕГЭ

70

Повторение. Решение задач.

1

Разбор заданий ЕГЭ