Исследовательская работа по теме «Особенные числа и их свойства» (6 класс)

Предметом моего исследования являются особенные числа и их свойства. 

 

Цель данной работы: изучение истории простых чисел и исследование некоторых свойств и видов простых чисел. 

 

Основными методами исследования видов простых чисел являются сбор, изучение, анализ, обобщение исследовательского и теоретического материала, систематизация данных, обработка литературных источников. 

 

Задачи исследования: 1. Собрать и изучить материал по этой теме.

2. Рассмотреть этапы исследования простых чисел.

3. Изучить метод «Решето Эратосфена» для нахождения простых чисел.

4. Выделить интересные виды простых чисел: числа - близнецы, числа Мерсенна и др.

5. Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Они числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Из них с помощью умножения получаются все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается нерешенной. Как сказал Евклид: самого большого простого числа не существует.

Впервые о простых числах я узнал в 6 классе на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Меня заинтересовало понятие «простые числа», и я решил изучить их более подробно.

Актуальность выбора темы

Простые числа образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Гипотеза.

Множество простых чисел является бесконечным. Среди простых чисел встречается ряд особенных чисел.

Теоретическая часть.

1. История возникновения простых чисел.

Сложно, на самом деле сказать, когда люди впервые задумались о простых числах, некоторые ученые предполагают, что это произошло более двадцати тысяч лет назад. На папирусах древних египтян также были найдены ряды простых чисел. Древние греки тоже внесли свой большой вклад в историю возникновения простых чисел. Эрастофен придумал способ нахождения простых чисел, этот метод назвали «Решето Эрастофена». Евклид нашел и доказал различные свойства простых чисел, которые сейчас мы воспринимаем как само собой разумеющееся. Когда римляне завоевали Грецию, они сохранили все их математические исследования и перевели их на латинский язык. Арабские математики, изучив исследования греков, также внесли свой вклад в историю возникновения простых чисел.

Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 в. до н.э. , уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В своей книге Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного.

Мы помним определение простого числа: Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Евклид определял простые числа так: “Простое число есть измеряемое только единицей”. Иными словами, простые числа не имеют других делителей, кроме единицы и самого себя. Если p - простое число, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только следующим образом: p = p*1. Числа, не являющиеся простыми, называются составными. Понятно, что всякое составное число имеет не меньше двух делителей отличных от 1.

Таким образом, простые числа – это как бы “материалы” для строительства всех натуральных чисел.

 

2. Решето Эратосфена.

В 3 в. до н.э. греческий ученый Эратосфен Киренский, хранитель знаменитой Александрийской библиотеки, создал довольно легкий способ поиска простых чисел. Для этого он записывал нужное количество цифр по порядку, а потом начинал вычеркивать – сначала все числа, которые можно делить на два, потом – на три. В результате получался список цифр, которые ни на что не делятся, кроме единицы и себя самого. Этот метод был назван «решето Эратосфена» из-за того, что греки не вычеркивали, а выкалывали ненужные числа на табличках, покрытых воском.

Рассмотрев числовой ряд простых чисел, я обратил внимание, что:

единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица — матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония. Единица и в самом деле — число уникальное по свой­ствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень рав­на тому, же самому числу — единице! После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Единственное чётное простое число 2. Все остальные простые числа нечётные. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.

Как и множество натуральных чисел, множество простых чисел бесконечно.

3. Числа – близнецы.

Внимательно проанализировав ряд простых чисел, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытные из которых связаны с так называемыми числами-«близнецами». Называют их так потому, что они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем.

Числа - близнецы до 500:   3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241;  269-271;  281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463.  (24 пары.)

Числа - близнецы от 500 до 1000:  521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883.  (11 пар.)

Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно. По мере удаления от нуля близнецы встречаются всё реже и реже.

 

Наибольшими известными простыми - близнецами являются числа {\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}

 

Я не могу назвать эти числа, но знаю что в них содержится 388 342 цифры. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid.

4. Простые числа-триплеты.

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6)

Например:

11,13,17 разница между 17 и 11 равна 6

193, 197, 199 разница между 193 и 199 равна 6

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент, наибольшими известными простыми - триплетами являются числа:

(p, p+4, p+6), где p = 6521953289619 × 255555 − 5 (16737 цифр, апрель, 2013, Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW)

5. Квадруплеты простых чисел.

Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …

 

6. Секступлеты простых чисел.

Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

7. Простые числа Мерсенна.

Над поиском максимально больших простых чисел в своё время бились Катальди, Декарт, Ферма, Мерсенн, Лейбниц, Эйлер и многие другие математики. В математике широко известен термин простые числа Мерсенна.

Марен Мерсенн родился в крестьянской семье 8 сентября 1588 год, в посёлке Уазе. Учился в коллеже в Ла-Флеш, вместе с Декартом.В 1611 году он продолжил обучение в Париже. Через два года был рукоположен в священники, но не прекратил обучения, занявшись математикой, музыкой и философией. Совершил несколько путешествий по Европе, побывал в Италии, Германии, Голландии и других странах. Во время поездок приобретал новые знакомства, завязывал переписку, слушал лекции в местных университетах. Затем Мерсенн вернулся в Париж, поселился в монастыре и последующие десятилетия отдал науке и преподаванию философии.

Во время пребывания в Париже у него еженедельно по четвергам происходили собрания математиков и физиков, где ученые обменивались идеями и мыслями, и результатами исследований. Позднее из этого кружка образовалась Парижская Академия наук (1666).

На протяжении первой половины XVII века Марен Мерсенн был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени. Эта переписка имеет огромную научную и историческую ценность. По мимо работ в области математики, известны его работы в акустике и теории музыки. Мерсенн издал перевод на французский язык «Механики» Галилея (1634), редактировал издания Евклида, Архимеда и других античных классиков.

Особенно важным общение с Мерсенном было для Декарта и Ферма. Мерсенн не только сообщал Декарту о новейших научных идеях и достижениях, но также защищал его от нападок и помогал в издании работ. Об открытиях Ферма мы знаем в основном из его переписки с Мерсенном, изданной посмертно.

Мерсенн вёл чрезвычайно оживлённую переписку с известными учеными и философами того времени. В числе его корреспондентов, кроме Декарта и Ферма, были Галилей, Кавальери, Паскаль, Роберваль, Торричелли и многие другие. Деятельность Мерсенна значительно способствовала быстрому прогрессу физико-математических наук. Умер Марен Мерсенн 1 сентября 1648 года, не дожив до 60-летия семи дней.

Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида Mp = 2p - 1

где р — другое простое число.

До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М127=170141183460469231731687303715884105727- простое. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин доказал, что число М61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 простые. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использова­лись механические настольные счетные машины.

Распределённый проект по поиску простых чисел GIMPS был запущен в 1997 году, и ныне считается самым длительным непрерывным процессом распределённых вычислений в истории человечества: он продолжается уже почти 20 лет. Сейчас в пиковые моменты в GIMPS участвует 360.000 процессоров с суммарной производительностью 150 трлн операций в секунду. За время работы GIMPS участники этого проекта нашли 14 простых чисел Мерсенна. Последнее из них 274 207 281-1 было обнаружено 07 января 2016 года. Всего на данный момент известно 49 простых чисел Мерсена. В списке самых больших простых чисел, известных на сегодняшний день, десять первых мест занимают числа Мерсенна.

8. Открытие П.Л. Чебышева

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распреде­лении или нет?

Большой шаг в раз­решении этого вопроса сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что меж­ду любым натуральным числом (не рав­ным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число. 

9. Скатерть (спираль) С. Улама.

Скатерть Улама была открыта случайно — однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1, и, двигаясь по спирали против часовой стрелки, записывал все натуральные числа до 100. Без всякой мысли Улам обводил все простые числа кружками. Каково было его удивление, когда он увидел, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых линий!

Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют “скатерть Улама”), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

Практическая часть

1. Изучив метод Эратосфена, я захотел определить ряд простых чисел до 1000.

Простые числа от 1 до 100:  25 чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97

Простые числа от 101 до 200: 21 число

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,  173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Простые числа от 201 до 300:  16 чисел

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293

Простые числа от 301 до 400: 16 чисел

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397

Простые  числа от 401 до 500: 17 чисел

401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499

Простые числа от 501 до 600: 14 чисел

503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599

Простые числа от 601 до 700: 16 чисел

601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел

701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел

809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887   

Простые  числа от 900 до 1000:  14 чисел

907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

2. Рассмотрим числа близнецы. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73).. В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7.

Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем.

(11+ 13) : 3 = 8

(41 + 43) : 3 = 28

(71 + 73) : 3 = 48 и т. д.

Более того ( за исключением первой пары), при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого – единица.

Все пары простых чисел-близнецов, кроме (3,5) имеют вид:

Проверим, взяв любые пары чисел- близнецов:

( 149-151) 149 = 6 х 25 – 1 ; 151 = 6 х 25 + 1

(239-241) 239 = 6 х 40 – 1 ; 241 = 6 х 40 +1

(821-823) 821 = 6 х 137 -1 ; 823 = 6 х 137 +1

при делении на 30 все пары близнецов, кроме первых двух, дают следующие пары остатков:

11  и  13,

17  и  19,

29  и  1;

по мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше. Так, в пределах первой сотни натуральных чисел существуют восемь пар близнецов, а в пределах пяти сотен с 9501 по 10000 – шесть.

 

3. При делении на 30  все квадруплеты, кроме первого, дают одну и ту же четвёрку остатков :

(11, 13, 17, 19).

При делении на 210  все квадруплеты, кроме первого, мы можем получить одну из этих четвёрок остатков:

(11, 13, 17, 19)

(101, 103, 107, 109)

(191, 193, 197, 199).

Проверю данное утверждение:

191 = 30 х 6 + 11 18041 = 210 х 85 + 191

193 = 30 х 6 + 13 18043 = 210 х 85 + 193

197 = 30 х 6 + 17 18047 = 210 х 85 + 197

199 = 30 х 6 + 19 18049 = 210 х 85 + 199

 

4.  При делении на 210  все секступлеты, кроме первого, дают следующую шестёрку остатков:

(97, 101, 103, 107, 109, 113).

Проверю эту закономерность :

19417 = 210 х 92 + 97
19421 = 210 х 92 + 101

19423 = 210 х 92 + 103

19427 = 210 х 92 + 107

19429 = 210 х 92 + 109

19433 = 210 х 92 + 113

5. Попробовал я коснуться проблемы поиска чисел Мерсенна. Используя формулу Mp = 2p – 1 ,я вычислил несколько первых чисел по формуле и записал их по порядку в таблицу из четырех столбиков.

Составив и рассмотрев таблицу, я заметил:

числа, попадающие в один и тот же столбец, оканчиваются на одну и ту же цифру. Числа, попадающие в первый столбец, оканчиваются на 1, во второй столбец – на 3, в третий столбец – на 7, а в третий – на 5. Связано это с тем, что первая степень числа 2 оканчивается цифрой 2, вторая – цифрой 4, третья – цифрой 8, четвертая – цифрой 6, а дальше идет повторение 2, 4, 8, 6, ровно через 4, а если вычесть 1, то и получатся цифры 1, 3, 7, 5.

числа , попадающие в четвертый столбец делятся на 5, и среди них не может быть чисел Мерсенна.

числа, попадающие во второй столбец делятся на 3. 

Следовательно, простые числа Мерсенна необходимо искать только в первом и третьем столбце, среди тех чисел Мерсенна, которые имеют в окончании цифры 1 и 7. К сожалению, и среди этих чисел редко встречаются простые числа Мерсенна. Так, например, число

M9 = 511 = 7·73

M11 = 2047 = 23·89

M15 = 32767 = 7·31·151.

То есть, числа Мерсенна, имеющие окончания 1 и 7 и в показателе степени двойки (2n ) как простые (p=11), так и составные (n=9, n=15) числа, могут быть составными числами. Поэтому, вопрос сужения диапазона поиска простых чисел Мерсенна является достаточно актуальным.

6. В практической части своей работы я решил проверить теорию Чебышева на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений n. и найдем соответственно значение 2n.

n = 11, 2n = 22; простые числа : 13,17,19

n = 25, 2n = 50; простые числа : 29,31,37,41,43,47

n = 54, 2n = 108; простые числа : 59,61,67,71,73,79,83,89,97

n = 99, 2n = 198; простые числа : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197

n = 124, 2n = 248; простые числа : 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241

Я определил, что для рассмотренных мною примеров теорема Чебышева верна. Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел.

7. При подготовке проекта, мне встречались задачи и головоломки с простыми числами. Вот одна нелегкая математическая головоломка. Оказывается, что между числами 53, 317, 599, 797, 3797, 73331, 739397, 2399333, 37337999 много общего. Первое, что приходит на ум, - они все нечетные. Ну, это не очень интересно. Если подумать еще, то можно заметить, что они все простые (то есть делятся без остатка только на 1 и сами на себя). Уже лучше. Но есть еще одна замечательная особенность у этих чисел, которая сразу незаметна. Так что же особенное скрыто в этих числах? Ответ: Числа эти обладают тем свойством, что после отбрасывания нескольких последних знаков они опять остаются простыми.

Выводы.

Проведя свои исследования и анализируя научно-популярную литературу , я узнал, что очень много ученых занимались изучениям простых чисел. Многие математики искали магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда и ими доказано:

Для простых чисел не существует формулы, по которой их можно вычислить.

Не существует самого большого простого числа, последовательность простых чисел бесконечна.

Многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение темы «Простые числа».

Простые числа не совсем соответствуют значениям и определению слова «простой». По своей сути они очень сложны, многогранны и хранят много тайн, неизвестного.

В настоящее время исследование темы продолжается, ученые делают, и будут делать новые открытия.

Математикам всего мира до сих пор хочется найти формулу, позволяющую хотя бы указать точное число простых чисел на любом интервале числовой оси, но, сколько ни бились математики, им так и не удалось найти желанную формулу. Существуют миллионы простых чисел, имеющих ровно 100 цифр, но пока ни одно такое число не обнаружено. Долгое время рекордно большим среди известных простых чисел являлось число 211231-1. Запись его содержит около 3376 цифр, а обнаружил его в 1963 году с помощью ЭВМ Дональд Б. Джиллис. До того, как были изобретены современные компьютеры, проверка даже шести - или семизначных чисел требовала нескольких недель утомительных вычислений. Эйлер как-то заявил, будто число 1 000 009 - простое, но позднее обнаружил, что оно является произведением двух чисел 393 и 3413..

1 000 009= 393*3413

Итак, в наше время изучение простых чисел продолжается…Современные компьютеры помогают находить большие простые числа, но их возможности тоже ограничены, так как множество простых чисел бесконечно.

Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. При этом следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими замечательными элементами, все еще ждут своих разгадок, многие вопросы имеют не только философское, но и практичное значение

Вообще, поиск новых простых чисел, а особенно чисел Мерсенна, можно сравнить с коллекционированием редких вещей.