ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Десятичные логарифмы и их свойства
За основание логарифмов часто принимают число 10. Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для обозначения десятичных логарифмов обычно используют знак lg, а не log; при этом число 10, указывающее основание, не пишут. Например, вместо log10105 пишут просто: lg 105; вместо log102 пишут lg 2 и т. д.
Десятичным лосарифмам присущи все те свойства, которыми обладают логарифмы при основании, большем 1. Например, десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших 1, положительны, а чисел, меньших 1, отрицательны; из двух положительных чисел большему соответствует и больший десятичный логарифм и т. д. Но, кроме того, десятичные логарифмы обладают и рядом специфических свойств, которыми и объясняется, почему в качестве основания логарифмов удобно выбирать именно число 10.
Прежде чем рассмотреть эти свойства, введем следующее определение.
Целая часть десятичного логарифма числа а называется характеристикой, а дробная — мантиссой этого логарифма.
Характеристика десятичного логарифма числа а обозначается как [lg а], а мантисса как {lg а}.
Известно, например, что lg 2 ≈ 0,3010. Поэтому
[lg 2] = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.
Известно* также, что lg 543,1 ≈ 2,7349. Следовательно,
[lg 543,1] = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.
* В дальнейшем мы научимся находить десятичные логарифмы положительных чисел по таблицам.
Точно так же из равенства lg 0,005 ≈ — 2,3010 заключаем, что
[lg 0,005] = — 3, {lg 0,005} = 0,6990.
Теперь перейдем к рассмотрению свойств десятичных логарифмов.
Свойство 1. Десятичный логарифм целого положительного числа, изображенного единицей с последующими нулями, есть целое положительное число, равное количеству нулей в записи данного числа.
Например, lg 1000 = 3,
lg 1 000000 = 6.
Вообще, если
то а = 10n и потому
lg a = lg 10n = n lg 10 = п.
Свойство 2. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с предшествующими нулями, равен — п, где п — число нулей в записи этого числа, считая и нуль целых.
Например, lg 0,01 = — 2,
lg 0,00001 = — 5.
Вообще, если
,
то a = 10—n и потому
lg a = lg 10—n = —n lg 10 = —п
Свойство 3. Характеристика десятичного логарифма положительного числа, большего 1, равна количеству цифр в целой части этого числа без одной.
Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 75,631 равна 1.
Действительно, 10 < 75,631 < 100. Поэтому
lg 10 < lg 75,631 < lg 100,
или
1 < lg 75,631 < 2.
Значит,
lg 75,631 = 1 + α,
где α — некоторая правильная положительная дробь. Но тогда
[lg 75,631] = 1,
что и требовалось доказать.
2) Характеристика логарифма lg 5673,1 равна 3. Действительно,
1000 < 5673,1 < 10 000. Поэтому
lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,
или
3 < lg 5673,l < 4.
Следовательно,
[lg 5673,1] = 3.
Вообще, если целая часть положительного числа а, большего единицы, содержит пцифр, то
10n —1 < а < 10n.
Поэтому
lg 10n —1 < lg а < lg 10n.,
или
n — 1 < lg a < n.
cледовательно,
[lg a] = n — 1.
Свойство 4. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей 1, равна — п, где п — число нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и нуль целых.
Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 0,0015 равна — 3.
Действительно,
0,001 < 0,0015 < 0,01.
Поэтому
lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,
или
— 3 < lg 0,0015 < — 2.
Значит, lg 0,0015 = — 3 + α, где α — некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае
[lg 0,0015] = — 3.
2) Характеристика логарифма lg 0,6 равна — 1. Действительно.
0,1< 0,6 < 1.
Поэтому
lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,
или
— 1 < lg 0,6 < 0.
Следовательно,
lg 0,6 = —1+ α,
где α — некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае
[lg0,6] = —1.
Вообще, если первой значащей цифре правильной десятичной дроби α предшествуетп нулей (считая в том числе и нуль целых), то
или
— n < lg a < — (n — 1).
Следовательно,
[lg a ] = — n.
Свойство 5. При умножении числа на 10n десятичный логарифм его увеличивается на п.
Действительно, по теореме о логарифме произведения
lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.
Например,
lg (579,13 • 100) = lg 579,13 + 2;
lg (16 • 1000) = lg 16 + 3.
Перенос запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо равносилен умножению этой дроби на 10n. Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм увеличивается на п.
Свойство 6. При делении числа на 10n десятичный логарифм уменьшается на п.
Например,
lg 1,57/1000 = lg 1,57—3;
lg 0,63/100 = lg 0,63 — 2.
При переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм уменьшается на п.
Например, lg 0,3567 = lg 35,67 — 2;
lg 0,00054 = lg 0,54 — 3.
Учащимся предлагается самостоятельно доказать эти утверждения.
Все доказанные до сих пор свойства десятичных логарифмов относились к их характеристике. Теперь обратимся к мантиссе десятичных логарифмов.
Свойство 7. Мантисса десятинного логарифма положительного числа не изменяется при умножении этого числа на 10n с любым целым показателем п.
Действительно, при любом целом п (как положительном, так и отрицательном)
lg (а • 10n) = lg a + lg 10n = lg a + п.
Но дробная часть числа не изменяется при прибавлении к нему целого числа.
Перенос запятой в десятичной дроби вправо или влево равносилен умножению этой дроби на степень числа 10 с целым показателем п (положительным или отрицательным). Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не изменяется.
Например, {lg 0,0067} = {lg 0,67} = {lg 0,0000067}.
Упражнения
1. (У с т н о.) Найти десятичные логарифмы чисел:
1; 10; 100; 1000; 10 000;
0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001.
2. (У с т н о.) Найти характеристики десятичных логарифмов чисел:
2,00; 57,38; 632,70; 3402,99;
0,17; 0,99; 0,023; 0,0100; 0,0003.
3. Известно, что lg 2 ≈ 0,3010, lg 3 ≈ 0,4771.
Найдите характеристики и мантиссы следующих логарифмов:
a) lg 6; б) lg 15; в) lg 32; г) lg 30; д) 1/12.
