ИЗУЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ И КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

ИЗУЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ И КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Аннотация: В работе обсуждается формирование родственных понятий касательная к окружности и касательная к графику функции при обучении математике в школе. Представлены результаты констатирующего эксперимента, которые косвенно свидетельствуют о недостатках методики формировании этих понятий. Предложены некоторые методические рекомендации введения понятия касательная к графику функции, учитывающие связь этого понятия с понятием касательная к окружности.

Abstract: The paper discusses the formation of related concepts tangent to a circle and tangent to a graph of a function when teaching mathematics at school. The results of the ascertaining experiment are presented, which indirectly indicate the shortcomings of the methodology for the formation of these concepts. Some methodological recomm

endations for the introduction of the concept of tangent to the graph of a function are proposed, taking into account the connection of this concept with the concept of tangent to a circle.

STUDY OF THE CONCEPTS TANGENT TO A CIRCLE AND TANGENT TO A GRAPH OF A FUNCTION IN A SCHOOL MATHEMATICS COURSE

Ключевые слова: касательная к окружности, касательная к графику функции, формирование понятий.

Keywords: tangent to the circle, tangent to the graph of the function, formation of concepts.

Современные подходы, реализованные в действующих учебниках, создают ситуацию, когда учащиеся распространяют определение касательной к окружности на касательную к графику функции. Эта ситуация усугубляется тем, что подавляющее большинство иллюстраций в учебниках и в соответствующих заданиях открытого банка задач ЕГЭ представляют фрагмент взаимного расположения графика функции и касательной с единственной общей точкой.

Результаты констатирующего эксперимента подтвердили наше предположение о неполноте представлений о соотношении понятий касательная к окружности и касательная к графику функции. Студентам ИИТиФМО 1 и 2 курсов были предложены вопросы в тестовом формате (см. приложение 1) с целью определить уровень сформированности понятий касательная к окружности и касательная к графику функции. Для повышения достоверности данных эксперимента вопросы были разработаны как в аналитической, так и в графической формах. Каждое задание оценивалось в 1 балл.

Данные, полученные в результате тестирования, представлены на диаграмме. По горизонтали отмечены номера вопросов, по вертикали – количество студентов, которые верно (неверно) выполнили задание.

Качественный анализ результатов тестирования показал, что большая часть студентов имеют неполные представления о касательной к графику функции.

Одна из возможных причин полученных результатов – недостатки методики формирования соответствующих понятий. В связи с этим разработка отдельных аспектов формирования понятий касательная к окружности и касательная к графику функции – актуальный вопрос частной методики обучения математике.

В этой статье остановимся на методике введения понятия касательная к графику функции в точке. Понятие касательной к графику функции в точке возникает хронологически позже, чем понятие касательной к окружности. В связи с этим целесообразно на этапе актуализации не только тщательно повторить линейную функцию и её свойства, но и актуализировать понятие касательной к окружности. Касательная к окружности – это прямая на плоскости, имеющая с окружностью единственную общую точку.

На следующем этапе предлагается «примерить» определение касательной к окружности к ситуациям взаимного расположения графика функции и прямой, а именно рассмотреть различные случаи взаимного расположения графика функции и прямой.

Прямая с графиком функции имеет одну общую точку (рис. 1).

Рисунок 1.

Прямая с графиком функции имеет одну и более общих точек (рис. 2).

Рисунок 2.

Прямая с графиком функции не имеет общих точек (рис. 3).

Рисунок 3.

Итогом анализа и обсуждения возможных случаев взаимного расположения графика функции и прямой станут следующие выводы:

касательная с графиком функции может иметь одну и более общих точек, а у касательной с окружность есть только одна общая точка;

наличие единственной общей точки у графика функции с прямой не является гарантией того, что эта прямая – касательная к графику функции;

прямая, являясь касательной к графику функции в одной точке, может иметь с графиком функции и другие общие точки;

для понятия касательной к графику функции в точке требуется иное определение.

Далее вводится определение касательной к графику функции в точке как прямой, практически совпадающей с графиком функции вблизи точки .

Важность тщательной работы над определением касательной к графику функции определяется, кроме того, ведущей идеей математического анализа, заложенной в этом определении. Идея линеаризации – локальное исследование функции (вблизи некоторой точки) на основе исследования касательной к графику функции в данной точке.

Здесь же обсуждаются вопросы существования касательной к графику функции в точке, дифференцируемости функции в точке, а также связь между возможностью провести касательную к графику функции в данной точке и дифференцируемостью. Это позволяет уточнить содержание понятия касательной к графику функции.

Таким образом, в статье представлена методика введения понятия касательная к графику функции в точке, направленная на минимизацию выявленных недостатков в усвоении понятия. При введении понятия предметом изучения становится его соотношение с ранее изученным понятием, которое имеет такое же название и является тем же геометрическим объектом.

Библиографический список

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Часть 2. Задачник (базовый уровень) / под ред. А. Г. Мордковича. – Москва : Мнемозина, 2013. – 239 с.

Дидактические основы математики в общем образовании : учебное пособие / Э. К. Брейтигам, [и др.]. – Барнаул : АлтГПУ, 2021. – 235 c.

Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 частях. Часть 1. Базовый и углубленный уровень : учебное пособие / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – Москва : Мнемозина, 2012. – 449 с.

Приложение 1

Тест по теме «Касательная к окружности и касательная к графику функции»

1. Что называют касательной к окружности?

Варианты ответов:

прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку;

прямую, имеющую с окружностью две общих точки;

прямую, не имеющую ни одной общей точки;

прямую, удалённую от центра окружности на расстояние радиуса;

прямую, имеющую с окружностью не более одной общей точки;

прямую, имеющую с окружностью не менее одной общей точки.

2. Сколько общих точек может иметь касательная с окружностью?

Варианты ответов:

две и более;

одну;

ни одной;

затрудняюсь ответить или среди вариантов a)-с) нет верного.

3. Перечислите номера графиков, где прямая является касательной к окружности:

Ответ: _________________________.

4. Какую линию называют касательной к графику функции в некоторой точке ?

Варианты ответов:

прямую, имеющую с графиком только одну общую точку;

прямую, практически совпадающую с графиком функции вблизи точки;

прямую, пересекающую график функции в единственной точке;

другой график функции, имеющий с графиком данной функции единственную общую точку;

другой вариант ответа.

5. Сколько общих точек может иметь касательная с графиком функции?

Варианты ответов:

одну;

одну и более;

ни одной;

затрудняюсь ответить или среди вариантов a)-с) нет верного.

6. Перечислите номера графиков, где прямая является касательной к графику функции в некоторой точке:

Ответ: ________________________.

7. Что общего у понятий касательная к окружности и касательная к графику функции?

Ответ: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

8. В чем заключается различие между касательной к окружности и касательной к графику функции в некоторой точке?

Ответ: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

9. Через все ли точки окружности можно провести касательную?

Ответ: __________________________.

10. Через все ли точки графика функции можно провести касательную?

Ответ: __________________________.