Доклад «Как научить решать задачи на движение» (5 класс)

Как научить решать задачи на движение в 5 классе

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания, но, до сих пор, пожалуй, единственным методом такого обучения были показ способов решения определенных видов задач и значительная , порой, изнурительная практика по овладению ими. (1)

Общепризнано, что задачи являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний , умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики , одним из основных средств их математического развития . От эффективности использования задач в обучении математике в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей за обучением деятельности в любой сфере народного хозяйства и культуры.(2)

Целью моей работы является:

- изучение различных типов задач на движение;

- исследование методики работы над задачей;

- выявление новых подходов к решению задач на движение;

- обобщение и систематизирование знаний по теме «Задачи на движение».

 

Научить решению таких задач , показывая образцы решения , нельзя. «Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или ирге на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно тренируясь… если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их» - слова Д. Пойя . И хотя методы и приемы решения задач усваиваются практически, однако , отсюда не следует, что учитель добьется успеха, если будет требовать от учащихся решать побольше задач, давать им ответы и показывать образцы решения. (2). Ученик должен видеть алгоритм решения, определив вид задачи, проанализировав условие .

В задачах данной темы считается, что движение является равномерным. Это значит, что объекты движутся с постоянными скоростями.

Скоростью называется расстояние, пройденное за единицу времени.

Многие величины в математике имеют специальные обозначения.

В частности, общепринято, что: путь обозначается буквой S;

скорость – буквой V;

время – буквой t.

S = V · t (расстояние равно скорости, умноженной на время).

Это равенство называется формулой пути. Оно устанавливает зависимость между тремя основными величинами, характерными для движения любого объекта.

Из формулы пути (по правилу нахождения неизвестного множителя) следует,

что: V = S : t (скорость равна расстоянию, деленному на время),

t = S : V (время равно расстоянию, деленному на скорость).

Как правило, в задачах рассматривается движение, по крайней мере, двух объектов. Поэтому удобно ввести следующие условные обозначения:

S – расстояние между пунктами, из которых начато движение объектов (пешеходов, автомобилей и т.д.);

S1 – расстояние, пройденное первым объектом до встречи (или за определенное время); V1 – скорость движения первого объекта;

t1 – время движения первого объекта;

S2, V2, t2 – аналогичные характеристики для второго объекта;

V сближ. – скорость сближения объектов;

V уд. – скорость удаления объектов;

t встр. – время, через которое произошла встреча объектов.

 

Задачи на движение можно решать с помощью двух способов арифметического и алгебраического. Рассмотрим только один из этих способов. Арифметический способ заключается в том, что задача решается отдельными арифметическими действиями. Значение неизвестной величины определяется через известные по условию задачи величины. При этом необходимо выяснить, какая из трех основных величин (пройденный путь, скорость, время) неизвестна, и с помощью какого арифметического действия можно определить эту неизвестную величину.

Задача 1. Стоянка геологов находится на расстоянии 340 км от города. Чтобы добраться до стоянки, геологи сначала ехали из города 4 часа на машине со скоростью 75 км/ч, затем 3 часа ехали на лошадях со скоростью 8 км/ч, а после этого 4 часа шли пешком. С какой скоростью они шли пешком?

Решение.

Решим задачу арифметическим способом, используя все способы оформления.

а) Вопрос – действие

1) Сколько километров проехали геологи на машине? 75 · 4 = 300(км)

2) Сколько километров они проехали на лошадях? 8 · 3 = 24 (км)

3) Сколько километров проехали геологи на машине и на лошадях вместе?

300 + 24 = 324 (км)

4) Сколько километров они прошли пешком?

340 – 324 = 16 (км)

5) С какой скоростью они шли пешком?

16 : 4 = 4 (км/ч)

б) Действие – пояснение

1) 75 · 4 = 300 (км) – проехали на машине.

2) 8 · 3 = 24 (км) – проехали на лошадях. 6

3) 300 + 24 = 324 (км) – проехали на машине и на лошадях вместе.

4) 340 – 324 = 16 (км) – прошли пешком.

5) 16 : 4 = 4 (км/ч) – с такой скоростью они шли пешком.

в) С помощью числового выражения

(340 - (75 · 4 + 8 · 3)) : 4 = (340 – (300 + 24)) : 4 = 16 : 4 = 4 (км/ч).

 

Виды задач на движение, изучаемые в курсе математики 5класса:

 

1.Встречное движение

2. Противоположное движение

3. Движение в одном направлении (вдогонку)

4.Движение в одном направлении (с отставанием)

Встречное движение

При решении задач на встречное движение существенной характеристикой является скорость сближения движущихся объектов. Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называют скоростью сближения.

При встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей движущихся объектов, т. е. V сближ. = V1 + V2.

Расстояние между пунктами определяется по формуле S = V сближ. · t встр.

Рассмотрим решение задачи на встречное движение.

Задача . Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через какое время они встретятся?

Решение.

 

Какой путь, который прошел скорый поезд, двигаясь один в течение двух часов?

1)80*2=160(км)

Как найти расстояние, где поезда одновременно двигались до встречи?

2) 720 – 160 = 560 (км)

А теперь решаем простейшую задачу на встречное движение.

3) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость сближения поездов.

4) 560 : 140 = 4 (ч) – время до встречи.

Другой способ решения задачи – с помощью составления уравнения.

Обозначим t встр. = x ч.

Применив формулу пути S = V · t и используя факт, который легко видеть:

v1 t1 +v2t2=s общ можно составить уравнение 80 · 2 + 80x + 60x = 720.

160 + 140x = 720

140x = 560

x = 560 : 140

x = 4

Ответ: через 4 ч.

Задача.

Из двух мест, расстояние между которыми 243 км, выбежали одновременно навстречу друг другу два атлета, один из которых бежал со скоростью 13 км/ч. Сколько километров в час пробегал другой, если известно, что они встретились через 9 часов?

Решение.

Решим задачу с помощью уравнения. Возьмем за x скорость движения второго атлета и составим уравнение: 13 · 9 + 9x = 243 Решим его. 117 + 9x = 243 9x = 243 – 117 9x = 126 x = 126 : 9 x = 14 км/ч Ответ: 14 км/ч

Противоположное движение

При решении задач такого типа суммарная скорость имеет другое название. Расстояние, на которое удаляются движущиеся предметы за единицу времени, называют скоростью удаления. При движении в противоположных направлениях скорость удаления равна сумме скоростей движущихся объектов, т.е. V уд. = V1 + V2.

Задача .

В 8 ч с аэродрома вылетели одновременно в противоположных направлениях два самолета. В 11 ч расстояние между ними было 3540 км. Один из них летел со скоростью 620км/ч. С какой скоростью летел другой самолет?

Решение Легко определить время, за которое самолеты вместе преодолели расстояние в 3540 км: 11 – 8 = 3 (ч).

А теперь легко наметить план решения задачи и осуществить его:

1) Находим S1:

620 · 3 = 1860 (км)

2) По дополнительному условию определяем S2:

3540 – 1860 = 1680 (км)

3) Находим V2:

1680 : 3 = 560 (км/ч)

Ответ: 560 км/ч.

 

Задача . Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости составляли 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 715 км?

Решение.

t - одинаковое

V1 = 620 км/ч

V2 = ? км/ч

S = 3540 км

Р1) 60 + 70 = 130 (км/ч) – скорость сближения поездов.

2) 715 : 130 = 5,5 (ч) Ответ: 5,5 ч или 5 ч 30 мин.

Движение в одном направлении (вдогонку)

При движении в одном направлении (вдогонку) скорость сближения объектов равна разности их скоростей: Vсближ. = V1 – V2 (V1 > V2).

Задача

Сережа заметил идущий на остановку автобус в 180 м позади себя. Чтобы не опоздать, он побежал и через 12 с прибежал на остановку одновременно с автобусом. С какой скоростью пришлось бежать Сереже, если известно, что автобус движется со скоростью 19 м/с?

Решение.

I способ.

1) 180 : 12 = 15 (м/с) – скорость сближения.

2) 19 – 15 = 4 (м/с) – скорость, с которой бежал Сережа.( При выполнении второго действия применяем формулу V сближ. = V1 – V2, откуда V2 = V1 – V сближ. )

Очевидно, что задачу можно было легко решить и с помощью уравнения, обозначив скорость Сережи через x м/с

. II способ.

(19 – x) · 12 = 180

19 – x = 5

x = 4

Ответ: 4 м/с.

Задача .

Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение.

Определяя разницу между скоростями, мы из большей скорости вычитаем меньшую. Этим же действием мы находим скорость сближения объектов, следовательно, 1,5 км/ч – скорость сближения пешеходов.

Находим время по формуле t = S : V: 300 : 1,5 = 0,2 (ч)

Ответ: 0,2 часа или 12 минут.

Задача .

Со станции вышел товарный поезд со скоростью 50 км/ч. Через 3 ч с той же станции вслед за ним вышел электропоезд со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после своего выхода электропоезд догонит товарный поезд?

Решение.

Решим задачу алгебраическим способом.

Пусть время в пути электропоезда = х ч. Время в пути товарного поезда (х + 3) ч. Электропоезд проедет до встречи с товарным 80х км. Товарный поезд до встречи проедет 50 · (х + 3) км.

Составим уравнение и решим его.

80х = 50 · (х + 3)

80х = 50х + 150

30х = 150

х = 5

Ответ: 5 ч.

Таким образом, рассмотрены виды зада на движение в математике 5 класса и методика работа над ее содержанием

 

Список используемой литературы

1.Л.М. Фридман, Е.Н.Турецкий Как научиться решать задачи М. «Просвещение». 1989

2.Н.П.Кострикова Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов. М. «Просвещение» 1986

3. Д. Пойя «Математическое открытие» , М.,1976 г., с. 13