Конспект «Свойства логарифмов.»

Тема: «Свойства логарифмов.»

• Цель: изучить основные свойства логарифмов.
• Задачи:
  Образовательные: способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении упражнений.
• Развивающие: развивать у студентов технику вычисления.
• Воспитательные: прививать аккуратность и правильность записи математических символов; содействовать воспитанию интереса к математике.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Задачи урока:

образовательная – дать понятии логарифма, основного логарифмического тождества, сформировать умение применять теоретические знаний при решении практических задач;

развивающая – развитие познавательного интереса к предмету, навыков исследовательской деятельности, формирование логического и аналитического мышления;  развитие творческой деятельности, потребности к самообразованию, навыки самоконтроля

воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, учить видеть связь между математикой и окружающей жизнью, продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, чувства ответственности и общематематической культуры..

Знания: знать определение логарифма,  основного логарифмического тождества

Умения:  уметь записывать определение логарифма, уметь применять определение логарифма и основного логарифмического тождества при решении упражнений.

Результаты:

Личностные  -  ставить перед собой цель, планировать деятельность;

 ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры;

Предметные -  умение употреблять понятие «логарифм» в устной и письменной речи;  изучение свойств логарифмов и применение новых знаний в практической деятельности; приобретение способности самостоятельно «усваивать» новое математическое знание.

Метапредметные -  применять знания  знаний в различных ситуациях, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации; получение навыков познавательной деятельности, навыками разрешения проблем;  умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;

Средства обучения: Алимов Ш А, Колягин Ю М и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ М.: Просвещение, 2017.

1. Теоретическая основа
2. Примеры.
3. Самопроверка.
4. Домашняя работа.

1.Изучение материала. Теоретическая основа

Определение. Логарифмом числа b>0  по основанию a>0, a ≠ 1  называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

            Логарифмом числа b  по основанию a обозначается log_ab.

История возникновения логарифма:

         Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). 

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». 

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов  можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением  – нашей десятичной системой нумерации. 

            Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. 

            Рассмотрим примеры:

log₃27=3;   log₅25=2;    log₂₅5=1/2;

 log₅ 1/125=-3;    log_-2 (-8)- не существует;   log₅1=0;   log₄4=1

            Рассмотрим такие примеры:

1⁰. log_a1=0, а>0, a ≠ 1;

2⁰. log_aа=1, а>0, a ≠ 1.

            Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.

            Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log_аb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а степени с равен b: а ^с= b.

            Выведем основное логарифмическое тождество: а ^{log a b} = b. (Доказательство приводит учитель на доске).

            Рассмотрим пример.

5 ^log ₅ ¹³ =13

            Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.

Свойства логарифмов:

3°. log_а ху = log_ах + log_ау.

4°. log_а х/у = log_ах - log_ау.

5°.  log_ах ^p = p · log_ах, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log₂8 + log₂16= log₂ 8∙16= log₂ 128=7

        3 +4           =               7

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log₂8= log₂8³= log₂512 =9

          3∙3         =     9

2. Примеры

а) log ₃ 81 = 4, так как 3⁴ = 81;

б) log ₅ 125 = 3, так как 5³ = 125;

в) log _0,5 16 = -4, так как (0,5)^-4 = 16;

г) , так как ==

Согласно тождеству:

3^log₃5=5;     2^log₂0,7=0,7;3^log₃7=7;10^log₁₀0,4=0,4.

Рассмотрим  =8

Обратите внимание на то, что  является корнем уравнения  , а поэтому =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству: ;

=5;   .

Подчеркнем, что  и  одна и таже математическая модель

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

По определению соотношения y = a^xи x= log_ay при условии, что a> 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием.

Например:

• логарифмируяравенство:,получаем log _1/2 

• потенцируяравенство:,log₂ 8 = 3, будем иметь 2³ = 8

Сравните.

Основные свойства логарифмов 

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a > 0 (a  1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

• log_a 1 = 0.
• log_a a = 1.
• log_a xy = log_a x + log_a y.
• log_a = log_a x - log_a y.
• log_a x^p = p log_a x

для любого действительного p.

3. Самопроверка

Задание 1.  Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

• • • log₆6
• log _0,51
• log₆3+ log₆2
• log₃6- log₃2
• log₄4⁸

Задание 2.

Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

1. log₂32+ log₂2= log₂64=6
2. log₅5³ = 2;
3. log₃45 - log₃5 =  log₃40
4. 3∙log₂4 = log₂ (4∙3)
5. log₃15 + log₃3 = log₃45;
6. 2∙log₅6 = log₅12
7. 3∙log₂3 = log₂27
8. log₂16² = 8.

Задание 3.

               Работа с учебником. №271, 275, 280,290(1,2), 291(1,2)

Какие свойства логарифмов вы запомнили? (Записать на доске).

Сформулировать и записать основное логарифмическое тождество.

Домашняя работа

Занятие 226

Вычислите:

1. log₃27            
2. log₄ 8
3. log₄₉ 7
4. log₅5

Занятие 227

Вычислите:

1. log₄16
2. log₂₅125
3. log₈2
4. log₆6