Методическая разработка «Математика в искусстве»

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №21 г.Волгодонска

Математика в искусстве

Автор:

Шеламова Елена Станиславовна,

учитель математики

Волгодонск

2019 год

Оглавление

Аннотация 3

Введение 4

Глава I. Математика в архитектуре 5

Глава II. Математика в живописи 7

Глава III. Математика в литературе 8

Глава IV. Математика в музыке: 9

темп, ритм, размер 10

счет в хореографии 11

Заключение 11

Литература 12

Приложения 13

Аннотация

Цель исследования: обосновать существование непосредственной и самой тесной связи искусства и математики.

Задачи:

Выявить общие черты искусства и математики.

Обосновать присутствие математики во всех видах искусства.

Раскрыть эстетический потенциал математики.

Привести примеры из мирового искусства, иллюстрирующие его связь с математикой.

Методы исследования: теоретический анализ и синтез, наблюдение, сравнение, аналогия, обобщение, моделирование.

В результате проведенного исследования установлено, что математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней обнаруживается своеобразная красота. Следы математического мышления проявляются во всех видах искусства: музыке, танце, живописи, архитектуре, скульптуре и поэзии.

Вывод: неразрывная связь искусства и математики очевидна:

- они имеют общую историю, являются проявлением человеческой культуры;

- они дают друг другу новые идеи и стимулы, активно влияют друг на друга;

- математика, как и искусство,оказывает на человека воспитывающее действие, дает ему состояние меры и упорядоченности;

- математические расчеты, измерения, построения необходимы человеку в творческой деятельности, а различные геометрические формы, пропорции и законы симметрии задают внутреннюю красоту произведениям искусства.

Введение

Два основных начала в человеческой культуре — наука и искусство, две дополняющие друг друга противоположности, две грани одного и того же процесса — творчества. Науку и искусство можно назвать двумя крыльями культуры. Они требуют от человека одного и того же – фантазии, образного мышления, наблюдательности, творческой смелости.

Особенным уважением среди всех наук всегда пользовалась математика. «Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи). «Основанием этому – считал А. Эйнштейн – служит то единственное обстоятельство, что ее положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положения других наук до известной степени спорны, и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями».

В древности образование человека считалось неполным, если он, наряду с философией, поэзией, музыкой, не овладевал современной ему математикой, не умел ставить и решать задачи, доказывать теоремы. Развиваясь одновременно, вместе они делали первые шаги.

Вопрос о роли математики в искусстве волновал еще древних греков. Имеют ли математическую основу ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи?

Я решила провести исследование и выяснить,существует ли связь между творческим отражением действительности – искусством и «царицей всех наук» – математикой?

Итак, гипотеза исследования: связь между точной наукой, построенной на строгих логических выводах, и искусства, основанного на чувственном восприятии человеком действительности, существует.

Прогнозируемый результат исследования: подтвердить или опровергнуть эту гипотезу.

Актуальность исследования

Математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней обнаруживается своеобразная красота – отточенная и строгая, возвышенно чистая и стремящаяся к подлинному совершенству. Познать её – значит увидеть: за числом – слово, за формулой – мотив. Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись – радовать глаз, поэзия – пробуждать чувства. Но математика способна достичь всех этих целей!

Для меня эта проблема актуальна в связи с моим увлечением математикой и современной хореографией.

Практическая значимость

Работа способствует развитию интереса к изучению математики как фундаментальной науки, методы которой активно применяются во многих областях знаний. Результаты исследования будут полезны для людей, занимающихся творчеством, а также для тех, кто желает расширить свой общекультурный кругозор.

В своей работе я попыталась найти общие черты математики и искусства в его различных видах; выяснить, как они влияют друг на друга, и вместе оказывают воспитывающее действие на человека.

Цель исследования: обосновать существование непосредственной и самой тесной связи искусства и математики.

Задачи:

Выявить общие черты искусства и математики.

Обосновать присутствие математики во всех видах искусства.

Раскрыть эстетический потенциал математики.

Привести примеры из мирового искусства, иллюстрирующие его связь с математикой.

Методы исследования: теоретический анализ и синтез, наблюдение, сравнение, аналогия, обобщение, моделирование.

Математика в архитектуре

Воплощением математических законов являются произведения архитектуры:древние сооружения и современные здания! В древности математика, как и архитектура, относилась к искусствам. Нельзя было провести строгую границу между этими двумя видами искусств. Памятники архитектуры, дошедшие до нас, своей красотой волнуют воображение и чувства человека, как и все произведения искусства.

Однако нельзя забывать, что архитектурные сооружениялюди постоянно используют, что они должны быть прочными, комфортными и безопасными.

«Прочность, польза, красота!» — такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества М.Витрувием. (Рис. 1) А обеспечить сооружению прочность, сделать его полезным невозможно без тесной связи архитектуры с математикой.

Хороший архитектор должен знать её основные разделы. Например, для измерения площади земельного участка необходимы знания формул и единиц измерения площади. А при расчете размеров помещения нужно учитывать средний рост человека. Значит, архитектор должен знать формулу вычисления среднего арифметического. (Рис. 2)

Прочность сооружения обеспечивается конструкцией, которая используется в качестве его основы, а она напрямую связана с геометрической формой, являющейся для него базовой.

Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Они имеют форму правильных четырехугольных пирамид. Существует даже арабская пословица: «Все на свете боится времени, а время боится пирамид». (Рис. 3)

Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения. Пирамиды не только построены, рассчитаны с помощью математики, но и их взаимное расположение определяется математической формулой.

Архитектурные произведения живут в пространстве, вписываясь в определенные геометрические формы. Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры и тела. Например, здание в Белгородской области, построенное в 1790, имеет форму цилиндра. (Рис. 4) Но чаще всего в архитектурном сооружении сочетаются различные геометрические фигуры: прямоугольный параллелепипед, цилиндр, пирамида, конус. (Рис. 5)

Огромную роль в архитектуре играет математическое понятие – симметрия. Во-первых, она является залогом прочности. Почти все здания в мире, во избежание разрушения, строятся исключительно симметрично. А во-вторых, от неё зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение.

Таким образом, пришедшие из математики геометрические формы и симметрия определяют эстетические, эксплуатационные и прочностные свойства архитектурных сооружений разных времен и стилей, делают их красивее, гармоничнее, торжественнее и надежнее. Роль математики в формировании «прочности» и «пользы» архитектуры очевидна.

Математика в живописи

Следы математического мышления проявляются и в живописи. Чтобы максимально естественно и красиво расположить предметы на холсте, художники разных эпох использовали принцип золотого сечения. Это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей его части, как сама большая часть относится к меньшей.

Такое отношение математики древности и средневековья называли «божественной пропорцией». Оно приближенно равно 1,618. Её можно встретить в картинах итальянского художника и учёного, изобретателя, писателя, музыканта, одного из крупнейших представителей искусства Высокого Возрождения Леонардо да Винчи: «Мадонна в скалах», «Дама с горностаем» и др. (Рис. 6)

Художественные произведения, в которых присутствует принцип золотого сечения, приковывают взгляд человека и заставляют восхищаться своей красотой. На знаменитой картине Ивана Шишкина «Сосновая роща» с очевидностью просматриваются его мотивы. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картину по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. (Рис. 7) Слева от главной сосны находится множество сосен – при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же художник создает картину с бурно развивающимся действием геометрическая схема с преобладанием вертикалей и горизонталей становится неприемлемой.

Примером такой картины является другая работа Ивана Шишкина и Константина Савицкого «Утро в сосновом лесу». На картине мы видим несколько поваленных деревьев и маму-медведицу с тремя медвежатами, которые заигрались и не хотят идти дальшев глушь. Однако мать злится, её зубы оскалены. Возможноеё семейству грозит опасность, и она беспокоится, что не успеет увести детей в укромное место. Очевидно, что зрительный центр картины – медведица-мать. А медвежата подсказывают нам, на какие деревья стоит обратить внимание, и какие отрезки в пересечении составляют золотую пропорцию. (Рис. 8) Все отрезки пересекаются в одной точке – на голове матери.

Это яркий пример тесной связи математики с живописью, но я в своем исследовании пошла дальше.

Математика подарила искусству не только пропорцию. Оно буквально пронизано еще одним математическим понятием – симметрия, которую можно увидеть в произведениях всех видов искусства, услышать и даже почувствовать.

Картина Виктора Михайловича Васнецова «Богатыри» построена на основе правила симметрии. Центром композиции является фигура Ильи Муромца. Слева и справа размещены Алеша Попович и Добрыня Никитич. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам неодинаковы, что обусловлено идейным замыслом автора. Но обе они менее мощные по сравнению с фигурой Муромца и в целом придают полное равновесие композиции. (Рис. 9)

Устойчивость композиции вызывает у зрителя чувство уверенности в непобедимости богатырей – защитников земли русской.

Симметрию можно увидеть в скульптуре (Рис. 10) и декоративно-прикладном искусстве: вышивке мастериц, узорной резьбе по дереву, самотканых коврах. (Рис. 11)

Удивительно, но её можно наблюдать даже в литературе!

Математика в литературе

Слова «казак», «шалаш», «кабак» — читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. Таким же свойством обладают фразы: «искать такси», «аргентина манит негра», «ценит негра аргентинец», «Леша на полке клопа нашел», если не учитывать пробелы между словами. Эти симметричные фразы и слова называются палиндромами.

В литературных произведениях существует симметрия образов, мышлений. В романе «Евгений Онегин» Александра Сергеевича Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет был вынужден испытать горечь отвергнутой любви.

Равномерное построение повторов есть даже в устном народном творчестве и искусстве стихосложения.

Мело, мело по всей земле

Во все пределы.

Свеча горела на столе,

Свеча горела.

Как летом роем мошкара

Летит на пламя,

Слетались хлопья со двора

К оконной раме.

Метель лепила на стекле

Кружки и стрелы.

Свеча горела на столе

Свеча горела…

(Борис Пастернак)

Но наиболее тесно математика связана с музыкой.

Математика в музыке

Связь между точной наукой и изящным видом искусства одним из первых установил древнегреческий философ Пифагор. Используя особый инструмент – монохорд, он создал учение о звуке, доказал, что звук имеет математическую основу. (Рис. 12)

Монохорд однострунный – был одним из первых музыкальных инструментов древних греков. Это был длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой для деления струны на две отдельно звучащие части. На деревянном ящике под струной имелась шкала делений, позволявшая точно установить, какая часть струны звучит. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд покажется нам слишком примитивным, однако он был прекрасным физическим прибором и учебным пособием, на котором античные созерцатели постигали премудрости музыкальной грамоты.

Важнейшей характеристикой музыкального звука является его высота – это результат колебания звучащего тела, например, струны. Чем больше частота колебаний струны, тем «выше» представляется нам звук.

Пифагор открыл для нас музыкальные интервалы. Это сочетания двух звуков, которые в одних случаях звучат приятно и благозвучно, а в других, наоборот «режут» слух. Согласованное сочетание двух звуков называется консонансом, несогласованное – диссонансом.

Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4. (Рис. 13) Музыкальные интервалы были названы латинскими порядковыми числительными: прима (означает «первый»), секунда («второй»), терция («третий»), кварта («четвертый»), квинта («пятый»), секста («шестой»), септима («седьмой») и октава («восьмой»). (Рис. 14)

Было замечено также, что наиболее полное слияние тонов дает октава (2/1), затем идут квинта (3/2) и кварта (4/3), т. е. чем меньше число п в отношении вида  тем созвучнее интервал.

Совершенным консонансом является октава. При одновременном звучании этот интервал дает впечатление объемности звука, а при последовательном – ощущение простора и широты. Примером тому является «Песня о Родине» композитора И. О. Дунаевского. В ее запеве («От Москвы до самых до окраин...») дважды звучит восходящая октава, рисуя необъятные просторы нашей Родины.

Мелодии многих революционных песен и гимнов начинаются интервалом восходящей кварты, например, «Интернационал», «Гимн Российской Федерации». Здесь интервал кварты звучит решительно и активно, как призыв к действию.

Особый «этос» у интервала секунды: при последовательном звучании предыдущий звук как бы переливается в последующий, образуя естественное течение мелодии от одного звука к другому. В мелодии интервалы между двумя опорными звуками часто заполняются последовательными секундовыми интервалами. Например, песня «Во поле береза стояла» начинается интервалом квинты, заполненным последовательными секундами, что создает впечатление спокойного и величавого течения мелодии, как величавы и спокойны картины русской природы.

Темп, ритм, размер

В музыке также существуют понятия темпа, ритма, размера. Все они буквально пронизаны математикой.

Темп – это мера времени в музыке. Это скорость движения музыкального произведения, которая тесно связана с его характером.

Ритм – это чередование звуков и пауз разной продолжительности. Звуки в музыке различаются по длительности. Они бывают целыми, половинными, четвертными, восьмыми, шестнадцатыми. Если целую обозначить за единицу (1), остальные будут выражаться соответственно дробями:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16…

Размер – это количественная характеристика, указывающая число долей в такте. Музыкальный размер пишется в начале нотного стана после скрипичного ключа. Запись его представляет собой два числа, которые помещаются одно над другим по типу математической дроби.

Счет в хореографии

С музыкой тесно связан еще один вид искусства, которым я давно увлекаюсь, это – хореография. Основой в любом танце является счет, который также является математическим термином. Танцор должен уметь правильно рассчитывать свои движения, чтобы попадать в ритм музыки. Это не просто, знаю по себе.

Для начинающих танцоров я составила таблицу, которая представлена на слайде. Надеюсь, что она будет полезна им в процессе обучения искусству танца.

Заключение

В результате проведенного исследования установлено, что математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней обнаруживается своеобразная красота. Следы математического мышления проявляются во всех видах искусства: музыке, танце, живописи, архитектуре, скульптуре и литературе.

Математика – это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты и чувства прекрасного. Она раскрывает перед человеком красоту внутренних связей, существующих в природе, и указывает на внутреннее единство мира.

Связь математики и искусства очевидна:

- они имеют общую историю, являются проявлением человеческой культуры;

- они дают друг другу новые идеи и стимулы и вместе оказывают на человека воспитывающее действие;

- математические законы необходимы человеку в творческой деятельности, а их проявления задают внутреннюю красоту бессмертным произведениям искусства!

Литература

Азевич А. И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-Пресс, 1998. – 160с.: ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып.7).

Волошинов А. В. Математика и искусство: Книга для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. 2-е издание, доработанное и дополненное. М. Просвещение, 2000.

Гаспаров М.Л. Очерк истории русского стиха: метрика, ритмика, рифма, строфика. – М.: Просвещение, 1984.

Иконников А.В. Художественный язык архитектуры. – М: Стройиздат, 1992.

Марутаев М.А., Шевелёв И.М., Шмелёв И.П. Золотое сечение. М.: Стройиздат, 1990.

Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – М.: Мысль, 1972.

Энциклопедия для детей. Том 7. Искусство. Часть вторая. Архитектура, изобразительное и декоративное прикладное искусство XVII – XX веков. – М.: Аванта+, 1999

Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П.Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова. - М.: ООО «Фирма» Издательства АСТ», 1999.