Методическая разработка урока «Решение задач на применение основных тригонометрических формул» для студентов 1 курса СПО

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Иркутский государственный университет путей сообщения»

Сибирский колледж транспорта и строительства

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ

по дисциплине ПД.01 Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

 

Тема: Решение задач на применение основных тригонометрических формул.

 

Специальность: 21.02.03 Сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ.

Курс: I

 

 

 

Подготовил:

преподаватель СКТиС

Новикова Т.П.

 

 

 

 

 

Иркутск, 2017г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1. Основная часть. 4

1.1 Подготовительная работа. 4

1.2 План занятия. 4

1.3 Методические рекомендации по проведению занятия. 5

2. Заключение. 12

3. Приложения. 12

4. Литература. 19

 

Введение

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть

этим инструментом Человеческого гения!

В формулах заключено величие и

могущество разума…»

А.А.Марков.

Что такое тригонометрия? «Это куча скучных формул, - скажите Вы. – Сухая математика. Ничего интересного!»

Хочу Вас полностью разубедить в этом. Да, действительно, тригонометрия подразумевает знание большого числа формул, но все они связаны с различными видами одного процесса – периодического. С периодически повторяющимися ситуациями человек сталкивается повсюду – восход и заход солнца, изменение фаз луны, смена времен года, заполняемость городского транспорта, эпидемии гриппа и т.д. Периодические астрономические процессы являются источником многих математических открытий. Астрономия в свою очередь тесно связана с геодезией - наукой о методах и технике производства измерений на земной поверхности. А формулы – это всего лишь инструмент для выполнения этих измерений.

 

Внедрение активных форм обучения – одно из важнейших направлений совершенствования подготовки студентов. Они позволяют  активизировать  учебный  процесс,  побудить  обучаемого  к творческому  участию в нем. 

Данное занятие разработано с использованием одной из активных форм обучения – групповая игра. Результат игры — принятие решений по поставленной цели(целям). Условия ее проведения характеризуются невозможностью полной формализации всей задачи, наличием неопределенностей, конфликтов, рисков.

Групповые игры позволяют совершенствовать коммуникативные навыки —  как в отношении обмена информацией, обоснования своей позиции, так и совместного принятия решений, брать на себя ответственность принятия решения за команду.

Методическая разработка предназначена для преподавателей математики.

Основная часть.

1. Подготовительная работа.

Для проведения занятия были подобраны задания для каждого этапа, приготовлена карта Иркутской области, листы оценивания, карточки с частями формул, задания для индивидуального решения.

 

1. План урока:

Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Курс: I

Специальность: 21.02.03 Сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ.

Тема: Решение задач на применение основных тригонометрических формул.

Вид занятия: практическая работа.

Тип занятия: обобщения и систематизации знаний.

Форма занятия: игра.

Цели занятия:

Образовательная: повторить, обобщить и систематизировать знание основных тригонометрических формул, учить применять их при решении задач.

Развивающая: способствовать развитию математического кругозора, мышления, математической речи, внимания, памяти, и навыков самоконтроля.

Воспитательная: способствовать воспитанию интереса к математике, воспитанию культуры общения через взаимодействие в группах.

 

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

 

 

Ход занятия.

 

Организационный момент – 2 мин.

Постановка цели, мотивация – 3 мин.

Этап актуализации знаний – 15 мин.

Этап решения задач – 60 мин.

Этап подведения итогов и выставления оценок – 8 мин.

Этап постановки домашнего задания – 2 мин.

1. Методические рекомендации по проведению занятия.

Перед началом занятия преподаватель выбирает двух человек – бригадиров, обучающиеся делятся на две команды – бригады. Деление осуществляется следующим образом: бригадиры по очереди набирают себе команду из присутствующих. Сформированные таким образом команды – бригады – рассаживаются за столы на двух разных рядах.

 

1.Организационный момент.

Цель: проверить готовность студентов к занятию.

Преподаватель приветствует студентов, обращает внимание на необходимость отключения сотовых телефонов, отмечает отсутствующих.

 

2.Этап постановки цели, мотивации.

Цель: вызвать познавательный интерес у студентов к изучению темы, настроить на рабочий лад.

Преподаватель: Пожалуйста, откройте свои тетради для практических работ, запишите число и тему сегодняшнего занятия «Решение задач на применение основных тригонометрических формул».

Ваша цель сегодня: учиться применять тригонометрические формулы при решении задач.

Сегодняшнее занятие я хочу начать словами русского математика и академика Андрея Андреевича Маркова:«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом Человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума…»

Сегодня вы – строители газонефтепроводов, сумевшие уже зарекомендовать себя отличными специалистами в области строительства и ремонта газанефтепроводов и газонефтехранилищ.

Вас пригласили сюда, что бы сообщить: срочно нужна ваша квалифицированная помощь. На севере Иркутской области произошла крупная авария – прорыв трубопровода. В связи с резким понижением температуры до -50 С, сильным ветром и метелями, восстановительные работы проходят очень медленно. Люди работают из последних сил, техника на грани выхода из строя. Если не подоспеет помощь, может произойти глобальная экологическая катастрофа.

Готовы ли вы прийти на помощь?

3.Этап актуализации знаний.

Преподаватель: Отлично, тогда вам необходимо пройти подготовку и приняться за работу.

Получите свои маршрутные листы, где прописаны все действия, которые вам необходимо выполнить (раздает листы – см. приложение1). Бригадиры, ваша задача: организовать и контролировать работу вашей бригады, оценивать работу каждого члена вашего коллектива, согласно этапам маршрутного листа.

Подготовка к работе.

Задание 1. На каждую бригаду выдаются по 2 карточки с заданиями. Два человека из бригады выполняют задания у себя в тетради. Выполнив задания, присоединяются к своей команде и продолжают работу.

1 бригада:

Карточка №1

Вычислить по формулам приведения:

1)Sin 120ﹾ =

2)tg =

Карточка №2

Вычислить по формулам приведения:

1)cos 225ﹾ =

2)ctg =

2 бригада:

Карточка №1

Вычислить по формулам приведения:

1)tg 150ﹾ =

2) cos =

Карточка №2

Вычислить по формулам приведения:

1)ctg 300ﹾ =

2)sin =

Задание 2: Перед вами на доске часть тригонометрических формул. Восстановите формулы, подписав недостающие части.

1 бригада:

Sin(- α) = - sin α

Cos(α + β) = cos α · cosβ – sinα · sinβ

Sin(α – β) = sinα · cosβ – cosα · sinβ

tg(-α) = - tg α

sin2α + cos2α = 1

sin 2α = 2sinα · cosα

tgα =

cosα + cosβ = 2cos·cos

2 бригада:

Sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ

Cos(-α) = cosα

Cos( α – β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

Ctg(-α) = - ctg α

Cos2α – sin2 α = cos 2α

Sinα + sinβ = 2sin· cos

tgα · ctgα= 1

ctgα =

 

По окончании работы все проверяют правильность выполнения задания: сначала формулы, затем задания на карточках.

Преподаватель: бригадиры, оценивают работу своей команды!

Вам уже известно, что слово «тригонометрия» произошло от греческих слов «тригонон» - треугольник и «метрео» - измеряю, и означает «измерение треугольников».

А знаете ли вы, что зачатки тригонометрии были обнаружены в древнем Вавилоне. Вавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

 

4.Этап решения задач.

Цель: учить применять тригонометрические формулы при решении задач.

Преподаватель: К сожалению сегодня произошла сильнейшая магнитная буря. Связь со спутником до сих пор не установлена. Навигационные системы вышли из строя, сотовая связь прервана. Удалось получить радиограмму с координатами места катастрофы, но их необходимо расшифровать.

2.Определение местоположения объекта.

 

Задание 3: Вычислите значения тригонометрических выражений и запишите полученные числа в том порядке, в каком записаны сами выражения:

1)2cos – 4sin – 2tg

 

2)(8cos – 6sin – 3ctg): (-2tg)

3)

 

4)

 

5)

 

Ответ: □□ﹾ северной широты, □□□ﹾ восточной долготы.

(55ﹾ северной широты, 106ﹾ восточной долготы – Ковыктинское месторождение – находят на карте)

Преподаватель: Ковыктинское газоконденсатное месторождение (КГКМ) - одно из крупнейших газовых месторождений в мире. Месторождение расположено в Иркутской области Российской Федерации, в 350 км к северо-востоку от г. Иркутска. Ковыктинское месторождение территориально почти полностью входит в северо-восточную часть Жигаловского района, частично в Казачинско-Ленский район. В геологическом плане относится к Лено-Тунгусской нефтегазоносной провинции.

Впервые Ковыктинское месторождение было выявлено в результате сейсморазведочных работ в 1975-1976 годах. Официальной датой открытия Ковыктинского месторождения является 1987 году. Запасы месторождения составляют около 2 трлн. кубометров газа и более 83 млн. тонн газового конденсата. Разведанный потенциал Ковыктинского месторождения может обеспечить добычу более 30 млрд. кубических метров газа в год для потребления на местном рынке и экспорта на срок более 30 лет.

 

3.Поиск неполадок.

Задание 4: Даны высказывания, но в них есть ошибки. Необходимо найти эти ошибки.

1 бригада:

1)Если точка А находится в 4 четверти, то значение синуса будет величиной положительной, т.к. синус – это координата х точки А. (Ответ: отрицательной, т.к. синус – это координата у).

2)Если sin α = , < α < π, то tg α = - Правильность своих рассуждений покажите письменно на доске.(Ответ: - )

2 бригада:

1)Если точка совершила поворот на 190ﹾ,то координата у будет величиной положительной, т.к. точка находится во 2 четверти. (Ответ: отрицательной, т.к. точка попала в 3 четверть).

2)Если cos α = , < α < 2π, то ctg α = . Правильность своих рассуждений покажите письменно на доске.(Ответ: - или -).

Преподаватель: Молодцы! Бригадиры, оценивают работу бригады.

Знаете ли вы, что параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов (в частности, была изобретена астролябия).

4.Совещание:

Преподаватель: Вы нашли неисправности в системе газопровода, необходимо решить, какие меры принять для устранения неполадок.

Задание 5: Каждая команда придумывает по 2 вопроса и предлагает другой команде ответить на них. Вопросы задаются по очереди.

Например: какая окружность называется единичной?

Преподаватель: бригадиры, оценивают работу бригады.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

5. Устранение неполадок.

Преподаватель:

Задание 6:

1 бригада:

1)Доказать тождество:

= tg4α

2)Доказать, что равенство верно:

Sin20ﹾ +sin40ﹾ - cos10ﹾ = 0

3)Упростить выражение:

– sin α (Ответ: sin α)

4)Вычислить:

(Ответ: - 1)

2 бригада:

1)Доказать тождество:

= tg3α tgα

2)Доказать, что равенство верно:

Cos85ﹾ + cos35ﹾ - cos25ﹾ = 0

3)Упростить выражение:

Cos2α – cos 2α ( Ответ: sin2α)

4)Вычислить:

(Ответ: - )

Преподаватель: бригадиры оценивают работу бригады.

 

Отгадайте шараду.

Из чисел вы мой первый слог возьмите,
Второй – из слова «гордецы».
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой,
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой.

(Три-го-но-ме-три-я)

Этап подведения итогов и выставления оценок.

Преподаватель: Бригадиры подводят итоги работы команды, результаты сдают преподавателю.

Преподаватель выводит итоговые оценки, объявляет их группе, комментируя.

Преподаватель: Итак, в начале занятия была поставлена цель учиться применять тригонометрические формулы при решении задач. Была ли достигнута эта цель? (обучающиеся отвечают на вопрос) Какие задачи можно решать, применяя тригонометрические формулы? (Находить значения выражений, выполнять преобразования выражений, доказывать верность равенств).

 

Этап постановки домашнего задания.

 

Дома необходимо выполнить индивидуальное задание №7 (согласно плану).

 

2.Заключение

Использование активных форм обучения позволяет включить в процесс познания всех студентов группы без исключения. Совместная деятельность означает, что каждый вносит свой особый индивидуальный вклад. В ходе работы идет обмен знаниями, идеями, способами деятельности. Организуются индивидуальная, парная и групповая работа. Работа в группе способствует развитию таких умений, как работать в команде, аргументировать свою точку зрения, брать на себя ответственность принятия решения за команду.

Включение в структуру учебного занятия групповой игры способствует созданию среды образовательного общения, которая характеризуется открытостью, взаимодействием участников, равенством их аргументов, накоплением совместного знания, возможность взаимной оценки и контроля.

Использование активных методов в учебном занятии способствует повышению эффективности занятия, формированию и развитию у студентов коммуникативных навыков и умений, эмоциональных контактов между студентами, аналитических способностей, ответственного отношения к принятию решений.

 

3.Приложения

Приложение 1

Маршрутный лист.

1.Подготовка к работе.

2.Определение местоположения объекта.

3.Поиск неполадок.

4.Совещание:

5. Устранение неполадок.

 

 

 

Приложение 2.

Лист контроля

Бригадир______________________________________________________

 

Приложение 3.

1 бригада:

Карточка №1

Вычислить по формулам приведения:

1)Sin 120ﹾ =

2)tg =

Карточка №2

Вычислить по формулам приведения:

1)cos 225ﹾ =

2)ctg =

 

 

2 бригада:

Карточка №1

Вычислить по формулам приведения:

1)tg 150ﹾ =

2) cos =

Карточка №2

Вычислить по формулам приведения:

1)ctg 300ﹾ =

2)sin =

 

Приложение 4.

 

Вычислите значения тригонометрических выражений и запишите полученные числа в том порядке, в каком записаны сами выражения:

 

2cos – 4sin – 2tg

 

(8cos – 6sin – 3ctg): (-2tg)

 

 

 

Ответ: □□ﹾ северной широты, □□□ﹾ восточной долготы.

 

 

Приложение 5.

 

1 бригада:

Даны высказывания, но в них есть ошибки. Необходимо найти эти ошибки.

1)Если точка А находится в 4 четверти, то значение синуса будет величиной положительной, т.к. синус – это координата х точки А.

 

2)Если sin α = , < α < π, то tg α = - Правильность своих рассуждений покажите письменно на доске.

 

2 бригада:

Даны высказывания, но в них есть ошибки. Необходимо найти эти ошибки.

1)Если точка совершила поворот на 190ﹾ,то координата у будет величиной положительной, т.к. точка находится во 2 четверти.

 

2)Если cos α = , < α < 2π, то ctg α = . Правильность своих рассуждений покажите письменно на доске.

 

Приложение 6.

 

1 бригада:

1)Доказать тождество:

= tg4α

2)Доказать, что равенство верно:

Sin20ﹾ +sin40ﹾ - cos10ﹾ = 0

3)Упростить выражение:

– sin α

4)Вычислить:

 

2 бригада:

1)Доказать тождество:

= tg3α tgα

2)Доказать, что равенство верно:

Cos85ﹾ + cos35ﹾ - cos25ﹾ = 0

3)Упростить выражение:

Cos2α – cos 2α

4)Вычислить:

 

Приложение 7.

Отгадайте шараду.

Из чисел вы мой первый слог возьмите,
Второй – из слова «гордецы».
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой,
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой.

Приложение 8.

Дополнительные задания к этапу 4.

1)Доказать тождество:

= tgα

2)Доказать, что равенство верно:

Sin87ﹾ - sin59ﹾ - sin 93ﹾ + sin 61ﹾ = sin1ﹾ

3)Упростить выражение:

4)Вычислить:

a)tg15ﹾ; b) sin15ﹾ · cos15ﹾ; c)cos215ﹾ - sin2 15ﹾ; d) cos2 27ﹾ + sin227ﹾ

 

4.Литература

Основная литература:

Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образвания/ М.И. Башмаков. – 10-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2015. – 256с.

Дополнительная литература:

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие / В Т. Т. Лисичкин И. Л. Соловейчик. – СПб: Издательство «Лань». – 2014. – 464 с.