Связь производной функции с промежутками монотонности и точками экстремума функции

Конспект урока «открытия» нового знания по теме «Связь производной функции с промежутками монотонности и точками экстремума функции»

Дидактическая цель: создать условия, позволяющие каждому учащемуся раскрыть свой творческий потенциал, проявить инициативу и самостоятельность в ходе исследовательской работы на установление связи производной с монотонностью функции и точками экстремума.

Задачи:

Обучающая: установить связь производной с монотонностью функции и точками экстремума; составить алгоритм исследования функции на монотонность и точки экстремума с помощью производной.

Развивающая: развивать способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности; формировать умения работать с информацией, самостоятельно выполнять логические операции.

Воспитательная: обучать объективной оценке своих возможностей и успехов; способствовать развитию навыков устной речи, умению грамотно вести диалог и аргументировать свои действия.

Ход урока

Этап 1. Актуализация знаний. Мотивация к исследованию.

В ходе устной работы учащимся можно предложить следующие задания:

Задание 1. По графику функции у = f(х) (рис. 1) ответьте на следующие вопросы:

Рис. 1

- Сколько точек максимума (минимума) имеет эта функция? Назовите эти точки.

- Сколько промежутков возрастания (убывания) у этой функции?

Задание 2. Дан график производной функции у = f ΄(х) (рис. 2), определенной на промежутке [-7; 7]. Можно ли по графику производной у = f ΄(х) определить:

- Количество точек максимума (минимума) функции? Если они есть, то указать их.

- Промежутки возрастания (убывания) функции?

- Длину каждого промежутка возрастания (убывания) этой функции?

Рис. 2

Далее учащиеся высказывают предположения, можно или нельзя по графику производной исследовать поведение функции.

Этап 2. Определение проблемы исследования и вытекающих из неё задач.

Учитель. Сформулируйте проблему, которую нам предстоит решить.

Учащиеся: Как с помощью производной функции определить промежутки монотонности и точки экстремума функции? (проблема фиксируется на доске).

Учитель: Сформулируйте задачу по решению данной проблемы.

Учащиеся: Составить (разработать, создать) правило (алгоритм), с помощью которого можно исследовать функцию на монотонность и точки экстремума по графику её производной.

Этап 3. Исследовательская работа. (Сбор материала, выдвижение гипотез и их проверка).

Класс делится на 3 группы (в каждой группе есть сильные, средние и слабые учащиеся). Для каждой группы предложен план практической работы и каждая группа по окончанию должна сделать выводы по своему вопросу и представить презентацию полученных результатов всему классу. Каждой группе раздаются карточки для фиксации всех полученных результатов исследования.

Задание для 1 группы.

Цель работы: по графикам функции и её производной установить зависимость между свойствами монотонности функции и знаками производной.

Задание. Установите зависимость между свойствами монотонности функции (промежутки возрастания (убывания) функции) и знаками производной.

Указания к выполнению работы:

В программе AdvancedGrapher постройте график функции у = 3х5 – 5х3 +2.

Найдите производную данной функции.

Создайте новый документ в программе AdvancedGrapher и постройте график производной функции.

Рассмотрите внимательно графики и сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого ответьте на следующие вопросы:

а) укажите промежутки возрастания (убывания) функции;

б) названные промежутки рассмотрите на графике производной функции (где они расположены: выше или ниже оси Ох).

5. Задайте формулой какую-нибудь дифференцируемую функцию и для нее проверьте свою гипотезу.

6. Сделайте вывод о зависимости между свойствами функции и знаками производной. Попробуйте описать полученный факт с помощью математических терминов.

Задание для 2 группы.

Цель работы: по графикам функции и её производной установить связь между производной и экстремумами функции.

Задание. Установите связь между производной и точками экстремума (точками минимума и максимума) функции.

Указания к выполнению работы:

В программе AdvancedGrapher постройте график функции у = х3 + 3х2.

Найдите производную данной функции.

Создайте новый документ в программе AdvancedGrapher и постройте график производной функции.

Попробуйте определить точки максимума и минимума функции по графику её производной.

Для этого ответьте на следующие вопросы:

а) в какой точке х функция имеет максимальное (минимальное) значение?

б) изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку?

в) что происходит с графиком функции слева (справа) от этой точки?

г) найдите эту точку на графике производной функции;

д) изменяется ли характер монотонности графика функции при 
переходе через эту точку?

е) изменяются ли знаки производной при переходе через эту точку?
ж) какой знак имеет производная слева (справа) от этой точки?

з) чему равна производная в точке экстремума?

Задайте формулой какую-нибудь дифференцируемую функцию и для нее проверьте свою гипотезу.

Сделайте вывод о точках экстремума. Попробуйте описать этот факт, используя математические термины.

Задание для 3группы.

Цель работы: выяснить геометрическое обоснование связи производной с возрастанием (убыванием) функции, с её экстремумами.

Задание. С помощью энциклопедического словаря юного математика [46] обоснуйте использование производной для исследования функции на монотонность и экстремумы.

Указания к выполнению работы:

В Энциклопедическом словаре юного математика прочтите тему «Возрастание и убывание функции» и ответьте на следующие вопросы:

а) какие рисунки приведены, что можно пояснить с помощью этих рисунков?

б) как геометрически обосновать связь производной с возрастанием функции, с убыванием функции?

В Энциклопедическом словаре юного математика прочтите тему «Экстремум функции» и ответьте на следующие вопросы:

а) какие рисунки приведены, что можно пояснить с помощью этих рисунков?

б) как геометрически обосновать связь производной с экстремумами функции?

Этап 4. Презентация полученных результатов.

По окончанию выполнения исследовательской работы учащиеся из каждой группы представляют свои полученные результаты всему классу по решению поставленной проблемы:

1 группа: если производная функции положительна на промежутке Х, то на этом промежутке функция возрастает. (Если производная функции отрицательна на промежутке Х, то на этом промежутке функция убывает).

2 группа: если производная в точке равна 0 и меняет знак с«+»на«–», то значит эта точка – точка максимума (с «–» на «+», то эта точка –точка минимума).

3 группа: если касательная в каждой точке некоторого промежутка наклонена к оси Ох под острым углом, т.е. производная для этих точек принимает положительное значение, то на данном промежутке функция возрастает; если касательная в каждой точке некоторого промежутка наклонена к оси Ох под тупым углом, т.е. производная для этих точек принимает отрицательное значение, то на данном промежутке функция убывает; если касательная к графику функции параллельна оси Ох, т. е. производная в данной точке равна 0, то в этой точке функция может иметь экстремум.

Этап 5. Коллективная работа по составлению алгоритма исследования функции

Предлагается каждой группе задание по составлению алгоритма исследования функции на монотонность и экстремумы с помощью производной.

Задание для всех групп:

Цель: составить алгоритм (правило) исследования функции на монотонность и экстремумы с помощью производной.

Задание 1. С помощью своих данных исследования и Энциклопедического словаря юного математика сформулируйте алгоритм (правило) исследования функции на монотонность и точки экстремума с помощью производной.

На данном этапе учащиеся в ходе совместной работы формулируют следующий алгоритм исследования функции на монотонность и точки экстремума с помощью производной:

1. Найти производную функции y = f(x).

2. Найти точки, в которых производная функции равна 0.

3. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о монотонности и о точках экстремума функции.

Этап 6. Первичное закрепление

Для уточнения полученного алгоритма следует вернуться к задачам, предложенным в начале урока.

Задание 1. По рисунку 1 определите связь производной с точками экстремума.

Учащиеся приходят к выводу, что существуют точки экстремума, в которых производная не существует. Поэтому в алгоритм добавляется уточнение: найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

По рисунку 2 учащиеся отвечают на поставленные в начале урока вопросы о промежутках возрастания (убывания), об экстремумах, опираясь на график производной функции.

Задание 2. Если бы функция, для которой дан график производной на рисунке 2, была бы определена для всех значений аргумента, то можно ли было утверждать, что в точке х = –7 функция имеет максимум?

Учащиеся предлагают свои варианты продолжения графика функции и приходят к выводу, что условие равенства производной 0 не всегда приводит к выводу о наличии экстремума в данной точке.

Задание 3. Исследуйте на монотонность и экстремум функцию у = х3 + 3х2.

Данное задание выполняется под руководством группы 2; построение графика сравнивается с «компьютерным» вариантом.

Этап 7. Рефлексия.

Учитель предлагает учащимся ответить на следующие вопросы:

Какой учебной проблеме был посвящен урок? (Как с помощью производной функции определить промежутки монотонности и точки экстремума функции?).

Какая задача была сформулирована? (Составить правило, с помощью которого можно исследовать функцию на монотонность и точки экстремума по графику её производной).

Закончите предложение:

«Использование метода учебного проекта помогло мне…».

«Для меня было новым…».

«Я узнал, что…».

«Наибольшие затруднения у меня возникли при …».

«Теперь я могу…».