Упражнения по математике на тему «Нестандартные приемы быстрых вычислений без калькулятора»

Асалханов А.В., учитель математики и информатики

МОУ Ново-Николаевская СОШ

«Нестандартные приемы быстрых вычислений без калькулятора»

 (Некоторые практические приемы при вычислениях на ЕГЭ и ОГЭ из элективного курса «Арифметика рациональных чисел»)

Задания на ГИА полны сюрпризов, в частности задачи с параметром, «экономические» задачи, задания первой части ЕГЭ, геометрические задачи и требуют хорошо отработанные вычислительные навыки. Тем проще они будут, тем лучше!

Сразу хочу заметить, что для изучения, отработки метода быстрого счета не требует математического склада ума. Каждый может овладеть им. И такой подход помогает ребятам полноценно и качественно подготовиться к экзаменам по математике, особенно если он проводится в форматке ЕГЭ и ОГЭ.

Рассмотрим некоторые темы занятий курса «Арифметика рациональных чисел».

Тема1. Умножение чисел от 1 до 10: основной алгоритм

Начнем с того, что научимся умножать всевозможные числа от 1 до 10. Алгоритм умножения рассмотрим на примере: 9 × 6.

Запишем 9 × 6 = 54

- -

4

1

 

Рис.1 * =4

=5

Число 10 назовем опорным числом. Рассмотрим первый из множителей,

1 шаг: от 9 до 10 1- вписываем его в первый овал;

2 шаг: от 6 до 10 4- вписываем его во второй овал;

Комментарий: Производим вычитание накрест, в точности

3 шаг: 9-4=5 или 6-1=5 (в дальнейшем вычитание можно производить однажды) – полученная разность 5 является первым числом ответа.

Комментарий: Теперь перемножим числа в овалах.

4 шаг:1*4=4 – полученное число является вторым числом ответа.

Формулируем ответ: 50+4=54

На рисунке 1 изображена схема исполнения данного алгоритма.

Самостоятельная работа:

Советую решить каждый из примеров, даже если вы и так помните таблицу умножения. Ведь речь идет о базовом методе, которым вы будете пользоваться в дальнейшем при перемножении чисел. Особенно обратите внимание на последний пример. Пробуем решить примеры устно.

Тема 2. Умножение чисел, близких к 100

Очевидно, что произведение пары двухзначных чисел от 32 до 99 будет четырехзначное число

Найдем произведение 96*97=

За опорное число принимаем

1 шаг: от 96 до 100 4- вписываем его в первый овал;

2 шаг: от 97 до 100 3- вписываем его во второй овал;

3 шаг: 96-3=93 – полученная разность 93 является первой парой ответа. Вписываем цифры числа 93 в первые две клетки.

4 шаг:3*4=12 – полученное число 12 второй парой. Вписываем цифры числа 12 в третью и четвертую клетки.

Формулируем ответ: 9312 (схема решения на рис. 2)

× 97 =

4

3

 

= 12 Рис. 2

=93

После проведения ряда уроков тренировок становится эффективность данного алгоритма. Самое главное в данном алгоритме – простота и точность.

Самостоятельная работа:

a) 93 × 92 = в) 95 × 95 = д) 99 × 94 = ж) 98 × 93 =

б) 96 × 94 = г) 97 × 93 = е) 95 × 94 = з) 94 × 93 =

Тема 3. Умножение чисел от 10 до 20: основной алгоритм

Рассмотрим, как работает метод для умножения чисел от 10 до 20. В качестве примера возьмем 15 × 17, пусть 10 – опорного число.

И 15, и 17 больше опорного числа 10, поэтому рисуем овалы над множителями. Произведение будет трехзначным числом.

=20 20*10=200

5

3

 

* = 35

15 * 17 = 200+35= 235 Рис.3 Этот пример решили с помощью схемы.

Следует запомнить: Если число, которое перемножаем, больше (выше) опорного, мы помещаем овал над числом. Если число меньше (ниже) опорного, мы рисуем овал под числом.

Сформулируем правило: если числа в овалах выше множителей, мы складываем накрест, если же они ниже, тогда вычитаем накрест.

Самостоятельная работа:

a) 12 × 13 = б) 17 × 15 = в) 12 × 12 = г) 13 × 13 =

д) 13 × 14 = е) 11 × 11 = ж) 14 × 14 = з) 15 × 15 =

Обратите внимание на примеры г), е), ж), з). Что особенного можете выделить. Об этом поговорим на очередном занятии.

Тема 4. Умножение чисел меньших и больших 10

Рассмотрим произведение 9*18=

+9

 

=17 17*10=170 9*(-2)=-12

8 * 19=170-12=158

-2

 

 

Тема 5. Умножение множителями

Легко умножать на 20,30 и т.д., поскольку 20 равно 2 × 10, на которые умножать очень легко. Речь идет об умножении по множителям, а 10 и 2 являются множителями числа 20: 10 × 2 = 20

Рассмотрим пример 27 × 25 = за опорное число принимаем 20

27 и 25 больше, чем опорное число 20, поэтому рисуем овалы над множителями. Воспроизведем то, какие операции совершаем в голове: складываем накрест, как раньше: 27 + 5 = 32. Теперь умножим полученный ответ на опорное число 20. Для этого умножим сначала на 2, а потом на 10:

32 × 2 = 64 64 × 10 = 640. Теперь перемножаем числа в овалах и прибавляем к промежуточному результату 540, получим:

7 × 5 = 35 640 + 35 = 675. Ответ:675

(+7)*(+5)=12

25 × 27 = 27+5=32 32*10= 320

320 *2 = 640 640+35=675 ответ:675

Для быстрых и точных вычислений при решении заданий ЕГЭ (а это задания с нахождением дискриминанта квадратного уравнения, применение теоремы Пифагора, и другие вычисления) нужно знать приемы быстрого извлечения квадратного корня.

Тема 17. Извлечения квадратного корня

Пример: =2