Урок «Область определения и множество значений тригонометрических функций»

Тема урока

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Класс

11 класс

Тип урока

Урок изучения нового учебного материала

Номер урока по данной теме

Первый урок

Цель урока

Введение понятий тригонометрических функций и формирование умения исследовать область определения и множество значений тригонометрических функций

Учитель

Лобанова Виктория Михайловна

Учебник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс (базовый и профильный уровни). Авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Издательство «Просвещение», 2009

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Время

Организационный этап урока

0,5 мин

Здравствуйте, дорогие ребята! Начну урок с высказывания британского физика и механика Уильяма Томсона (лорда Кельвина):

Если Вы в состоянии измерить и выразить то, о чём Вы говорите, в числах, то Вы кое-что об этом знаете, но если вы не можете измерить это и выразить в числах, Ваши знания скудны и неудовлетворительны.

Актуализация опорных знаний

Повторим элементарные функции, изученные в курсе алгебры 7-10 классов.

Вопросы:

Что такое функция?

Что такое область определения функции? Чем является область определения функции геометрически?

Что такое множество значений функции? Чем является множество значений функции геометрически?

Ответы на вопросы:

Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число y, то говорят, что на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают y=f(x).

Областью определения функции называют множество всех допустимых значений переменной x. Геометрически – это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.

2 мин

Индивидуальная работа. Задание 1. На выданных карточках подпишите графики функций соответствующими формулами. Укажите область определения и множество значений каждой функции.

После выполнения задания учитель демонстрирует соответствующие слайды, учащиеся дают ответы, проверяют свои записи.

Пример ответа: формула задаёт показательную функцию, область определения образуют положительные числа, множество значений – все действительные числа; формула задает обратную пропорциональность, область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля, множество значений функции – также все действительные числа, кроме нуля.

6 мин.

Вопрос: Как найти область определения функции, заданной формулой?

Ответ на вопрос: Чтобы найти область определения функции y=f(x), заданной формулой, нужно установить, при каких значениях х выражение f(x) имеет смысл, т. е. выполнимы все действия в правой части формулы.

5 мин.

Задание 2. Фронтальная работа. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Примеры ответов: 1) Действие извлечения корня четной степени выполнимо, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е., в данном случае ; 5) Действие деления выполнимо, когда знаменатель не равен нулю, таким образом, 9) Логарифмом положительного числа b по основанию a, где , называется показатель степени, в которую надо возвести a,чтобы получить b. Значит, имеем

Изучение нового материала

В десятом классе мы изучали логарифмическую функцию, ей обратную показательную функцию, степенную функцию и перешли к изучению важного раздела алгебры – тригонометрии. В этом разделе рассмотрели понятия синуса, косинуса, тангенса, основные тригонометрические тождества, тригонометрические уравнения и неравенства.

Скажите, что еще важно рассмотреть и изучить? Какова цель сегодняшнего урока?

Мы должны изучить тригонометрические функции.

Цель: ввести понятие тригонометрических функций.

1 мин.

А как ввести понятие тригонометрических функций?

Установить взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и значениями их синусов, косинусов, тангенсов.

II. Вспомним, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности (для презентации используются плакаты из книги для учителя «Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе» Федоровой Н. Е., издательство Просвещение, 2009).

Вопрос: Расскажите, как получена точка М? Какая точка получится при повороте точки Р(1; 0) на угол ; ; ; ?

Учащийся отвечает у доски.

Рассмотрим окружность слева. Пусть х>0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь длиной х (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М. В этом случае говорим, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол х радиан.

Рассмотрим окружность справа. Пусть х<0. В этом случае поворот на угол х радиан означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной .

Поворот на 0 радиан означает, что точка остается на месте.

При повороте точки Р на угол получается (0; 1).

При повороте точки Р на угол  получается точка (0; -1).

При повороте точки Р на угол  получается точка (0; -1).

При повороте точки Р на угол получается точка (-1; 0).

4 мин.

Задание 3. Индивидуальная работа (по шаблонам тригонометрической окружности).

Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р(1; 0) вокруг начала координат на угол, равный х радиан, если: 1) х = 1,09; 2) х = - 2,9; 3) х = 4,1; 4) х = - 6.

1) Точка, полученная поворотом точки Р вокруг начала координат на угол, равный х = 1,09 радиан расположена в I четверти;

2) х = - 2,9, точка в III четверти;

3) х = 4,1, точка в III четверти

4) х = - 6, точка в I четверти.

4 мин.

Изобразить на единичной окружности точки, полученные поворотом точки Р (1; 0) на угол х:

1)

2)

3)

4)

Примерный ответ ученика:

1) . При , этому числу соответствует точка М, при , этому числу соответствует точка М1, при , этому числу также соответствует точка М и т. д.

Учитель акцентирует внимание учащихся на том, что каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности, но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Фронтальная работа. Сформулируйте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. На каждой единичной окружности подпишите значения синуса и косинуса точек, отмеченных в предыдущем задании.

Формулируют определения.

2 мин.

Итак, можно ли синус и косинус толковать как функции?

Да. Если х - любое действительное число, то этому числу соответствует определенный угол, измеряющийся числом х, а полученному углу соответствует определенное значение синуса – sin x. В конечном итоге получается соответствие между числами: каждому действительному числу х соответствует определенное действительное число y = sin x. Следовательно, sin x можно толковать как функцию.

1 мин.

Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями.

Какие задачи вы сегодня поставите перед собой?

Изучить свойства тригонометрических функций.

Научиться решать задачи, где требуется знать свойства тригонометрических функций.

2 мин.

Сегодня мы научимся находить область определения и множество значений тригонометрических функций в случае их аналитического задания. На следующих уроках изучим другие свойства по общей схеме исследования и построим графики функций.

Запишите тему урока: «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

Записывают тему урока.

С помощью единичной окружности сделайте выводы об области определения и множестве значений тригонометрических функций. Заполните таблицу.

Делают выводы, заполняют таблицу.

Проанализируйте решение задач №1, №2 учебника стр. 4. Оформите решения в тетради. Решение задачи 2 представьте в виде таблицы, где каждый из способов запишите в отдельный столбец.

Попробуйте сформулировать приемы решения типичных задач.

Какие необходимы умения и навыки при решении задач данного типа? Какие способы нахождения множества значений функции?

Чтобы найти область определения функции, заданной формулой, нужно установить, при каких значениях х выражение в правой части формулы имеет смысл. При этом необходимо уметь решать уравнения известных нам видов.

Чтобы найти множество значений нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т. е. установить при каких значениях параметра а уравнение имеет корни. А можно использовать метод оценки, основанный на применении свойств числовых неравенств.

4 мин.

Физминутка

Кончиками пальцев рук помассировать виски круговыми движениями (12 - 15 сек).

Руки на поясе: поднимая прямые руки вверх - подняться на носочки - вернуться в и.п.

Наклоняясь вперед сделать глубокий выдох - выпрямляясь, руки поднять вверх, вдох;

Руки «в замок»: энергичное вращение кистями в обе стороны (12 - 15 сек).

Руки на поясе: полуприсесть - вернуться в и.п.

Указательный палец «ведущей» руки на расстоянии 20 - 25 см перед глазами: посмотреть на палец - перевести взгляд на классную доску - вновь посмотреть на палец и т.д.

2 мин.

На конкретных примерах оформим способы нахождения множества значений в виде алгоритмов.

1. Найти множество значений функции через уравнение с параметром.

2. Используя метод оценки, найти множество значений функции .

Оформляют в тетради таблицу.

4 мин.

Закрепление. Работа в парах

5,5 мин.

Выполните упражнения № 1 - № 4 (нечетные), обсуждая решение с соседом по парте. Будьте готовы обосновать свое решение.

Выполняют упражнения в тетрадях.

Проверка решения упражнений

№ 1. Найти область определения функции. Решение:

№ 2. Найти множество значений функции.

Решение: [0; 2].

№ 3. Найти область определения функции. Решение:

№ 4. Найти область определения функции f(x) и вычислить её значение в заданных точках.

Решение:

Подведение итогов урока

2 мин.

Что повторили?

Что узнали нового?

Что следует запомнить?

На следующем уроке мы научимся исследовать область определения и множество значений функций, имеющих более сложное аналитическое задание. Вспомним способы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Повторили свойства элементарных функций; повторили, как исследовать свойства функций по графику и формуле.

Ввели понятия тригонометрических функций. Познакомились со способами нахождения области определения и множества значений тригонометрических функций.

Следует запомнить способ исследования множества значений через решение уравнений с параметром и метод оценки.

Рефлексия.

Сегодня я узнал...

было трудно…

я понял, что…

я научился…

я смог…

было интересно узнать, что…

меня удивило…

мне захотелось… .

Каждый ученик выбирает по 1-2 предложения и заканчивает их.

Домашнее задание

Повторить изученные свойства тригонометрических функций. Выполнить упражнения: стр. 6, № 1 - № 4 (четные).

Записывают задание в дневники.

Решение домашних упражнений

№ 1. Найти область определения функции. Решение:

№ 2. Найти множество значений функции. Решение:

№ 3. Найти область определения функции. Решение:

№ 4. Найти область определения функции f(x) и вычислить её значение в заданных точках. Решение:

-