Обучающая открытая ученическая олимпиада по математике

6 класс

1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда. Через 4 часа между ними было 476 км. Найдите скорость каждого поезда, если у одного из них она на 5 км/ч больше, чем у другого. (1 балл)

2. Большой квадрат разрезали на одинаковые маленькие квадратики. Затем пересчитали все маленькие квадратики, примыкающие к контуру большого квадрата. Их оказалось 44. На сколько маленьких квадратиков был разрезан большой квадрат? (1 балл)

3. Тридцать три богатыря стали в ряд так, что каждый четный по счёту богатырь оказался на 8 см ниже предыдущего, и на 3 см ниже последующего. На сколько сантиметров первый богатырь выше последнего? (3 балла)

4. Девять одинаковых пирожных стоят меньше, чем 10 гривен, а десять таких же пирожных стоят больше, чем 11 гривен. Сколько стоит одно такое пирожное? (3 балла)

5. На математической олимпиаде участникам было предложено 10 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывали 5 баллов, а за каждую нерешенную или решенную неверно – отнимали 3 балла. Один участник получил 34 балла. Сколько задач он решил правильно? (4 балла)

7 класс

1. Цена книги была сначала снижена на 15%, а затем еще снижена на 4 грн. После двух снижений книга стоит 30 грн. Сколько стоила книга первоначально? (1 балл)

2. На рисунке изображена башня, состоящая из квадрата, прямоугольника и равностороннего треугольника. Известно, что периметры всех трех фигур равны. Сторона квадрата – 9 см. Найти ширину прямоугольника. (1 балл)

3. Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 10. Какое наибольшее возможное значение может принимать самое большое из этих чисел? (3 балла)

4. Старший брат идет от дома до школы 12 минут, а младший – 16 минут. Сколько минут потребуется старшему брату, чтобы догнать младшего, если тот вышел на одну минуту раньше? (3 балла)

5. Имеются три числа. Известно, что произведение первого числа на второе оканчивается на ноль, а произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье оканчиваются не на ноль. Может ли сумма всех трёх чисел оканчиваться на 3? (4 балла)

8 класс

1. Известно, что и . Чему равно ? (1 балл)

2. Мальчик записывает на доске одно за другим числа. Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Известно, что четвертое число равно 6, а шестое – равно 15. Чему равно седьмое число? (1 балл)

3. Для нумерации страниц задачника потребовалось 1224 цифры. Сколько страниц в книге? Нумерация начинается с первой страницы. (3 балла)

4. В треугольнике АВС АС = 1 см, АВ = 2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок, проходящий через точку О, параллельно стороне ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках К и М соответственно. Найдите периметр треугольника АКМ. (3 балла)

5. Трехзначное число делится на 9 без остатка. Когда это число поделили на 9, в частном получилось новое число, у которого сумма цифр на 9 меньше, чем сумма цифр исходного числа. Сколько трехзначных чисел обладает этим свойством? (4 балла)

9 класс

1. Решить уравнение: . (1 балл)

2. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, большая диагональ – 17 см, а высота – 8 см. Найти периметр трапеции. (1 балл)

3. Поливочная машина двигается с постоянной скоростью. Каждую минуту из неё вытекает одно и то же количество воды. Если увеличить скорость движения в 2 раза, а скорость вытекания воды увеличить в 3 раза, то содержащейся в машине воды хватит на то, чтобы полить 4 км дороги. Сколько километров дороги удастся полить, если начальную скорость движения увеличить в 3 раза, а начальную скорость вытекания воды увеличить в 2 раза? (3 балла)

4. Пусть и - корни уравнения . Не решая уравнения, найти значение выражения . (3 балла)

5. На доске записали десять последовательных натуральных чисел. Затем одно из них стерли, а оставшиеся девять чисел сложили. Сумма оказалась равна 2015. Какое число стерли? (4 балла)

10 класс

1. Решить неравенство: . (1 балл)

2. Найдите все пары натуральных чисел (x, y), для которых выполнено равенство . (1 балл)

3. Точки A, B, C, D – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что . Сколько сторон у этого многоугольника? (3 балла)

4. Можно ли числа 1, 2, ..., 20 расставить в вершинах и серединах ребер куба так, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось среднему арифметическому чисел, стоящих на концах этого ребра? (3 балла)

5. Парабола на координатной плоскости называется красивой, если её вершина и две точки пересечения с осью абсцисс образуют равносторонний треугольник. Доказать, что дискриминанты квадратных трехчленов, графиками которых являются красивые параболы, равны. Найти значение этих дискриминантов. (4 балла)

11 класс

1. Решить неравенство: . (1 балл)

2. Решить уравнение: . (1 балл)

3. При каких значениях а уравнение имеет ровно одно решение? (3 балла)

4. Дана функция Найдите значение (знак функции используется 2014 раз). (3 балла)

5. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию с ненулевой разностью. Докажите, что ровно один угол этого треугольника больше . (4 балла)