Публикация «Подготовка к ЕГЭ. Решение планиметрических задач 1 части профильного уровня»

Грибанова Татьяна Ивановна, учитель математики МКОУ Шишовская СОШ, Бобровский район, Воронежская область

Подготовка к ЕГЭ. Решение планиметрических задач 1 части профильного уровня

 

ПРЕЗЕНТАЦИЯ

 

Что я считаю самым важным при подготовке к ЕГЭ?

Первое – это вычислительные навыки. Об этом нельзя забывать ни 5 классе, ни уже в 11.

Второе условие успешной подготовки к ЕГЭ – это обязательное знание правил и формул в нужном для выпускника объеме.

Третьим условием успешной подготовки к ЕГЭ является необходимость внести в программу некоторые коррективы. Так как мы может до 20% изменять программу, то за счет часов, выделенных на повторение, я увеличиваю количество часов на изучение некоторых очень важных тем, добавляя задания из КИМов.

Четвертое условие , на мой взгляд, самое главное, у ученика должно быть желание учиться.

Если все эти условия выполнить, со сдачей ЕГЭ проблем не будет.

Для каждого выпускника существует своя планка, которую ему надо преодолеть. Некоторым достаточно и 27 баллов, большинство же желает большего.

Но каждый из них должен хорошо решать как минимум 7 – 8 заданий 1 части. Одно из этих заданий – практико-ориентированная планиметрическая задача

« Вычисление площади многоугольника»

Поэтому тему своего мастер – класса я выбрала следующую:

Мастер – класс по теме «Решение планиметрических задач 1 части профильного ЕГЭ по математике. Площадь многоугольника»

Проблема: найти площадь произвольного многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги с клетками размером 1 см Х 1 см. ( на слайде дан произвольный многоугольник на клетчатой бумаге)

 Для решения задачи воспользуемся проблемно – поисковым методом.

Мы будем искать всевозможные способы вычисления площади одного и того же многоугольника и среди этих способов выберем один - оптимальный.

Добиваемся следующего:

Время, затраченное на решение этого задания, было минимальным;

применение минимума теоретического материала ( необходимо, чтобы этот теоретический материал смог запомнить ученик с любым уровнем знаний);

результат должен быть точным.

 

Итак, итог работы: алгоритм вычисления площади представленного многоугольника.

наглядно представить результат своей деятельности в виде информационного листа по теме «Площадь многоугольника».

 

Мастер: Для решения поставленной задачи разобьемся на 4 группы. Каждая группа будет работать со своим материалом и решать свою поставленную задачу.

Чтобы успешно решить нашу общую задачу, нам необходима теоретическая база.

Без нее не обойтись. Поэтому часть класса будет у нас заниматься актуализацией знаний ( т.е. выделением из массы знаний тех знаний, которые важны сегодня и сейчас) и их систематизацией ( осмыслением, переработкой и применением на практике ) этих знаний, а 2 часть класса будет пытаться пробудить интерес к теме у себя, а затем у остальных членов мастер-класса. Вы будете заниматься поиском занимательной информации и нестандартного способа решения задачи.

 

1 группа.

Мастер. Для решения любой задачи нужна теоретическая база. 1 группа будет делать выборку теоретического материала по теме «Площадь многоугольника»

1 ГРУППА

ЗАДАНИЕ. Представьте себе, что каждому из вас было дано задание: подобрать теоретический материал, необходимый для вычисления площади многоугольника: это определения, свойства и т.д. Вы справились с этим заданием, но материала оказалось слишком много: много лишнего.

Ваша задача: Из большого объема материала по теме выбрать только то, что действительно, на ваш взгляд, необходимо для решения поставленной задачи.

Отчет:

Оборудование: ватман, клей 2 шт, ножницы 2 шт, материал на листах формата А4, разные фигуры.

2 группа.

Мастер. 2 группа продолжит систематизацию знаний. Для вычисления площади любой фигуры нужны соответствующие формулы.

2 ГРУППА

ЗАДАНИЕ. Ваша задача: вспомнить формулы площади многоугольников ( квадратов, треугольников, четырехугольников и т.д.) , выписать их на доске и выделить те, без которых, на ваш взгляд, не обойтись для решения поставленной задачи. Какие из этих формул невозможно применить и почему?

Оборудование: доска, мел

Отчет: письменный отчет с демонстрацией формул и записью основных формул в информационном листке

3 группа.

Мастер. Для развития интереса к математике ввожу в урок исторический материал или нестандартный метод решения.

3 группа займется подбором исторического материала по данной теме, а 4 группа найдет в Интернете материал по формуле Пика, изучит его, рассмотрит применение этой формулы на конкретном многоугольнике.

3 ГРУППА

ЗАДАНИЕ. Вам предоставлена математическая литература. Ваша задача: найти сведения об измерении площади многоугольников в древней Руси и показать нахождение площади фигуры этим способом.

Отчет: устный отчет с демонстрацией материалов

1) ознакомить класс с найденным материалом. Выделить отдельно метод нахождения площади многоугольника .

2) показать на примере правило нахождения площади многоугольника представленным в книге способом.

3) Сделать вывод о возможности применения этого метода для решения задачи В3.

Оборудование: многоугольник; линейка; фломастер или карандаш; книга И.Депман. Рассказы о математике стр 45.( Иван Яковлевич Депман (1885- 26 июля 1970) - учёный, профессор, историк математики, педагог – математик, создал историко – методическую школу, подготовил многих творчески работающих учеников, оставил многочисленные труды и библиотеку.).

4 группа.

Есть один способ вычисления площади многоугольника, который мы не изучали на уроках математики. Этот способ существенно может облегчить нам решение нашей проблемы при определенных условиях, поэтому его необходимо рассмотреть. Это вычисление площади многоугольника по формуле Пика ((Георг Алекса́ндр Пик (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника)

4 ГРУППА

ЗАДАНИЕ: В сети Интернет найти материал по формуле Пика, изучить его, рассмотреть применение этой формулы. ( желательно открыть ссылку: Формула Пика. Задание В3).

Отчет: устный отчет с демонстрацией материалов

1)кратко описать суть этой формулы;

2) Правило пользования этой формулой показать на конкретном многоугольнике;

3) Сделать вывод о возможности применения формулы.

Оборудование: нетбук с выходом в Интернет; многоугольник на клетчатой бумаге; фломастеры разных цветов; ( при необходимости материал о формуле Пика в бумажном варианте).

Формула Пика 1

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна 
S = В + Г/2 − 1, где 
В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

 

Во время работы групп Мастер отвечает на вопросы участников групп, направляет их работу.

ОТЧЕТЫ ГРУПП.

Отчет 1 группы.

Нашей группе было дано задание: выбрать теоретический материал, который, на наш взгляд, необходим для решения поставленной задачи и оформить отчет в виде информационного листка.

( перечислить этот материал)

Мастер: Подведем итог: Участники 1 группы выделили несколько основных положений, без применения которых почти невозможно решить поставленную задачу.

Любую фигуру можно разбить на части, тогда площадь фигуры равна сумме площадей этих фигур: Sф = S1+ S2+…+Sn ( показать на конкретном примере или на слайде)

От любого прямоугольника можно отрезать прямоугольные треугольники или прямоугольники так, чтоб получился многоугольник. Тогда площадь фигуры можно вычислить по формуле: S мн = S пр – ( S1+ S2+…+Sn)

( показать на примере или на слайде)

К любому многоугольнику можно присоединить прямоугольные треугольники и прямоугольники так, чтоб получился прямоугольник ( показать на конкретном примере или на слайде), тогда Sпр = S мн + ( S1+ S2+…+Sn) и

ВЫВОД: Фактически мы рассмотрели с вами 2 алгоритма решения поставленной задачи. Но у нас нет пока необходимых формул для вычисления площади. Сейчас выясним, какие формулы будем использовать и можно будет решать задачу.

 

Отчет 2 группы:

Мы вспомнили и записали формулы, с помощью которых можно найти площади разных фигур ( треугольников, квадратов, прямоугольников, произв.четырехугольников и т.д.).

Мастер: на какие из этих формул нужно обратить особое внимание и какие останутся невостребованными и почему?

Отчет: будем применять формулы площади прямоугольника, квадрата и площади прямоугольного треугольника. Остальные формулы нам не пригодятся.

( нет инструментов для вычисления углов и таблиц для нахождения результатов тригонометрических функций, возможность получения приближенного результата, что невозможно: результат должен быть точным).

Мастер: Немного изменю формулы. Ученику, не достигшему значимых результатов в математике, легче запомнить формулы таким образом : Sпр.треуг=а*в/2; S кв = а*а

ПОСЛЕ ЭТОГО ВЕРНУТЬСЯ К МНОГОУГОЛЬНИКАМ И НАЙТИ ИХ ПЛОЩАДИ С ПОМОЩЬЮ ПОЛУЧЕННЫХ РАНЕЕ ПРАВИЛ.

Мастер. Мы практически справились с решением поставленной задачи. Площадь фигуры найдена двумя способами. Но есть еще 2 способа. Ими занимались 3 и 4 группа.

Отчет 3 группы:

1)В книге Ивана Депмана «Рассказы о математике» есть рассказ «Геометрические сведения в старых русских памятниках». В нем мы нашли сведения о том, как вычисляли площадь многоугольника на Руси 500 лет назад. ( прочитать частично, показать на примере).

Вывод: правила вычисления площадей треугольников и трапеций неверны. По этим формулам площадь можно посчитать площадь многоугольника, но только приближенно, что нас не устаивает. ( результат должен быть точным).

Отчет 4 группы: Формула Пика. Нахождение площади т фигуры по формуле Пика дает такой же результат.

Вывод: площадь многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами по этой формуле вычислять можно.

Мастер. Мы рассмотрели несколько вариантов нахождения площади многоугольника. Нужно выбрать самый или самые оптимальные. Какие будут предложения? ( на слайде с вариантами сделать ссылки на слайды с данными алгоритмами для выбора оптимального).

1 АЛГОРИТМ

Разбить фигуру на прямоугольные треугольники, прямоугольники и квадраты.

Найти площадь каждой фигуры

Сложить результаты

Записать ответ

2 АЛГОРИТМ

Добавить к многоугольнику прямоугольные треугольники, квадраты, прямоугольники так, чтобы получился прямоугольник.

Найти площадь прямоугольника

Найти площадь каждой добавленной фигуры по формулам S тр = а*в/2; S пр = а*в; S кв = а * а.

Из площади прямоугольника вычесть площади этих фигур S мн = S пр – ( S1+ S2+…+Sn)

Записать ответ

 

3 АЛГОРИТМ

Посчитать количество В целочисленных точек ( узлов клетки) внутри многоугольника

Посчитать количество Г целочисленных точек ( узлов клетки) на границе многоугольника

Подставить В и Г в формулу S = В + Г/2 – 1 и посчитать результат

Записать ответ

ВЫВОД: мы предложили несколько способов. Ученик вправе сам выбрать каким способом решать задачу. Самое главное, чтоб она была решена правильно.

Мастер. Поскриптум: площадь многоугольника должна быть выражена целым числом или десятичной дробью, в дробной части которой обязательно стоит 5 десятых. Другого быть просто не может.

Спасибо за внимание всех присутствующих. Спасибо всем участникам моего мастер – класса.

Приложение №1

Формула Пика 1

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна 
S = В + Г/2 – 1, где 
В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Пример.  

 

В = 10, Г = 6, 

В + Г/2 – 1  =   10 + 6:2 – 1 = 12

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см ×1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

Решение:

Целочисленные точки внутри многоугольника В = 18.

Целочисленные точки на границе многоугольника Г = 7.

Применяем формулу: 18 + 7:2 – 1 = 20,5.

Формула Пика

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный — любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема Пика. Пусть В — число целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на его границе, S — его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S = В + Г / 2 – 1

Пример. Для многоугольника на рисунке В = 23 (желтые точки), Г = 7 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 23 + 7 / 2 -1= 25,5 квадратных единиц.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому для произвольного многоугольника формула Пика остается верной.

 

 

 

 

Приложение №2

 

1 ГРУППА

ЗАДАНИЕ. Представьте себе, что каждому из вас было дано задание: подобрать теоретический материал, необходимый для вычисления площади многоугольника: это определения, свойства и т.д. Вы справились с этим заданием.

Ваша задача: Из большого объема материала по теме выбрать только то, что действительно, на ваш взгляд, необходимо для решения поставленной задачи.

Отчет: начать оформление информационного листка по теме «Площадь многоугольника».

Оборудование: ватман, клей 2 шт, ножницы 2 шт, материал на листах формата А4, разные фигуры.

 

2 ГРУППА

ЗАДАНИЕ. Ваша задача: вспомнить формулы площади многоугольников ( квадратов, треугольников, четырехугольников и т.д.) , выписать их на доске.

Отчет: 1) выделить формулы, без которых, на ваш взгляд, не обойтись для решения поставленной задачи. Записать эти формулы в информационный лист.

2) Ответить на вопрос: Какие из этих формул невозможно применить и почему?

 

3 ГРУППА

ЗАДАНИЕ. Вам предоставлена математическая литература. Ваша задача: найти сведения об измерении площади многоугольников в древней Руси и показать нахождение площади фигуры этим способом.

Отчет: 1) ознакомить класс с найденным материалом. Выделить отдельно метод нахождения площади многоугольника .

2) показать на примере правило нахождения площади многоугольника представленным в книге способом.

3) Сделать вывод о возможности применения этого метода для решения задачи В3.

Оборудование: многоугольник; линейка; фломастер или карандаш; книга И.Депман. Рассказы о математике стр 45.( Иван Яковлевич Депман (1885- 26 июля 1970) - учёный, профессор, историк математики, педагог – математик, создал историко – методическую школу, подготовил многих творчески работающих учеников, оставил многочисленные труды и библиотеку.).

4 ГРУППА

Есть способ вычисления площади многоугольника, не включенный в школьную программу по математике. Этот способ существенно может облегчить нам решение задачи при определенных условиях, поэтому его необходимо рассмотреть. Это вычисление площади многоугольника по формуле Пика ((Георг Алекса́ндр Пик (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника)

 

ЗАДАНИЕ: В сети Интернет найти материал по формуле Пика, изучить его, рассмотреть применение этой формулы. ( желательно открыть ссылку: Формула Пика. Задание В3).

Отчет:

1)кратко описать суть этой формулы;

2) Правило пользования этой формулой показать на конкретном многоугольнике;

3) Сделать вывод о возможности применения формулы.