12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
Ульянова Светлана71 Ульянова Светлана Николаевна, учитель математики высшей категории, победитель конкурса Лучших учителей РФ Россия, Мордовия респ., Саранск Материал размещён в группе «УРОК.РФ: группа для участников конкурсов» |
Программа элективного курса «Решение планиметрических задач в рамках подготовки к ЕГЭ по математике» для учащихся 10-11 классов
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Луховский лицей»
Республика Мордовия, г.о. Саранск, р.п. Луховка
Программа элективного курса
«Решение планиметрических задач в рамках подготовки к ЕГЭ по математике»
для учащихся 10-11 классов
Составитель: учитель математики высшей категории Ульянова Светлана Николаевна
Аннотация программы.
Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Учащиеся, изучившие элективный курс «Решение планиметрических задач в рамках подготовки к ЕГЭ», систематизируют знания, умения и навыки решения планиметрических задач, углубят свои знания во всех разделах планиметрии, так как систематически будут знакомится с геометрическим материалом, не изучающимся в школьном курсе геометрии.
Изучение в 10-11 классах данного элективного курса будет благоприятно влиять на успехи в усвоении курса стереометрии, так как в ходе работы над планиметрическими задачами учащиеся будут заниматься исследовательской работой, связывающей планиметрию со стереометрией.
Работая с дополнительной литературой, учащиеся продолжат формирование общеучебных умений и навыков, таких как, умение анализировать, сравнивать, обобщать, сопоставлять геометрические факты, составлять схемы, опорные конспекты, навыки самоконтроля и взаимоконтроля.
Форма занятий будет способствовать развитию логического, абстрактного и ассоциативного мышления, развитию речи обучающихся. Оформляя отчеты по исследованиям, учащиеся будут формировать навыки работы с ПК. Нестандартные формы занятий будут способствовать повышению мотивации обучающихся к изучению предмета, что непосредственно повлияет на результаты итоговой аттестации, а также на дальнейшее самоопределение обучающихся.
Данный курс освещает основные разделы курса планиметрии, основные методы решения геометрических задач, связь с курсом стереометрии.
Данный материал можно использовать при организации итогового повторения в конце 8, 9 класса.
Творческая работа будет способствовать увеличению количества учащихся, ориентированных на поступление в учебные заведения, где профилирующим предметом будет математика.
Пояснительная записка.
Геометрическая линия курса математики предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представление, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физики, черчения и т.д.) и курса стереометрии. Данный курс предназначен для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы, рассчитан на 34 часа (17 часов в 10 классе, 17 часов в 11 классе).
С другой стороны, необходимость усиления геометрической линии обуславливается следующей проблемой: задание частей В и С единого государственного экзамена предполагает решение геометрических задач. Итоги экзамена показали, что учащиеся плохо справлялись с этими заданиями или вообще не приступали к ним. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. Данный курс предполагает систематизацию и обобщающее повторение ключевых тем планиметрии: решение треугольников, вписанные и описанные окружности, четырехугольники, правильные многоугольники с использованием компьютерных технологий.
Целями данного курса являются:
Систематизировать знания учащихся о свойствах геометрических фигур, восполнить пробелы основного курса планиметрии.
Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе.
Повысить мотивацию учащихся к изучению предмета и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
- научить учащихся решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем, сложности;
- овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;
- приобрести определенную математическую культуру;
- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Для развития общеучебных умений и навыков предполагается организация самообразовательной деятельности обучающихся, в частности работа с дополнительной литературой, составление тестов, подготовка докладов, доказательство свойств, не изучаемых в школьном курсе планиметрии, подбор задач и т.д.
Для развития навыков контроля и самоконтроля используются различные формы организации работы: работа в парах, работа в группах, фронтальная работа, самостоятельная работа, работа с обучающими программами на ПК, контрольное тестирование с помощью ПК
Требования к уровню усвоения курса
Учащиеся должны знать:
Ключевые теоремы, формулы курса планиметрии в разделе «Окружность», «Треугольники», «Четырехугольники», «Правильные многоугольники», некоторые геометрические факты, позволяющие решать задачи более рациональным способом, не входящие в обязательный уровень подготовки учащихся.
Основные алгоритмы решения треугольников, различные способы решения вычислительных задач.
Учащиеся должны уметь:
Применять имеющиеся теоретические знания при решении задач.
Использовать возможности персонального компьютера для самоконтроля и отработки основных умений, приобретенных в ходе изучения курса.
Осуществлять отбор задач, решаемых по одинаковой схеме, взаимно обратных задач.
Контроль осуществляется в виде тестов с помощью программы «Планиметрия», которая включает в себя проверку теоретических сведений и решение одношаговых и многоплановых задач, самостоятельных работ. В конце каждого года обучения по данному элективному курсу предполагается контроль в виде игр: «Геометрическая карусель» и «Геометрический аукцион», где учащиеся самостоятельно подбирают задачи по пройденным темам и предлагают своим товарищам решить их в ходе игры. Необходимо соблюдать условие: для участия в игре допускаются задачи, которые учащиеся решили самостоятельно. Список задач для самостоятельной работы предлагается в начале изучения каждой темы.
Программа предполагает дифференцированный подход и учет индивидуальных особенностей обучающихся, чередование фронтальной работы с работой в парах, в группах. Материал к занятиям необходимо оформлять в виде презентаций, что создаст условия для индивидуальной работы учащихся и дополнительных занятий с учащимися, требующими коррекцию знаний и умений.
В ходе реализации предлагаемой программы предполагается:
- увеличение числа учащихся, выполнивших геометрические задания на экзамене;
- улучшение качества обучения по курсу стереометрии;
- повышение мотивации к изучению геометрии и стереометрии и самореализация учащихся в процессе учебной деятельности;
- развитие логических приемов мышления, образного и ассоциативного мышления.
Учебно-тематический план.
№ п/п | Тема занятия | Кол-во часов | Форма занятий | Самообразовательная деятельность учащихся | ||||
Самостоятельная работа | Исследовательская работа | Работа с литературой | Творческие задания. | Использование ИКТ | ||||
1. | Вводное занятие «Аксиоматика планиметрии и стереометрии» | 1 ч | Круглый стол, работа в группах | Повторение аксиом планиметрии и стереометрии. | Работа с учебниками различных авторов, сравнение аксиоматических линий. | Подготовка докладов, кроссвордов по теме «История геометрии в лицах» | Создание презентации «Аксиомы геометрии». | |
I глава. Треугольники (8часов) | ||||||||
1. | Классификация треугольников и их основные свойства и признаки. | 1 ч | Работа в группах, индивидуальная работа по решению задач | Составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами | Работа с книгой «Геометрия в таблицах. 7 – 11 классы» | Составление теста по теоретическому материалу. | Работа с тестами программы «Планиметрия» | |
2. | Замечательные линии и точки в треугольнике. | 1 ч | Круглый стол, работа в парах. | Повторение определений медианы, высоты, биссектрисы, серединного перпендикуляра, средней линии и их свойств. | Работа с «Большим энциклопедическим справочником школьника по математи ке». | Доклады с теоретическими фактами, не изучающимися в школьном курсе математики (теорема Чевы, Менелая, Стюарта, о центре вневписанных окружностях). | Работа с программой «600 задач» (СД-тренажер). | |
3. | Признаки равенства и подобия треугольников. Симметрия и равенство треугольников. | 1 ч | Работа в группах. Круглый стол. | Анализ и сравнение теоретических фактов по равенству и подобию треугольников | Исследовательская работа по теме «Симметрия и равенство треугольников» | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9», Работа с книгой «Геометрия в таблицах. 7 – 11 классы». | Составление тестовых заданий на истинность или ложность высказываний. | Отчет по исследовательской работе в форме презентации. |
4. | Площади. | 1 ч | Работа в группах, Геометрический форум. | Повторение основных формул для вычисления площадей треугольников, составление опорных схем. | Исследовательская работа по теме «Некоторые соотношения площадей треугольников» | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Подбор задач по теме «Площади» из вариантов ЕГЭ. | Отчет по исследовательской работе в форме презентации. |
5. | Соотношения между элементами треугольников. | 1 ч | Работа в группах, Решение задач в парах, презентация творческих работ учащихся по теме «Треугольники» | Повторение основных соотношений в треугольниках, самостоятельная работа в парах с использованием ПК. | Исследовательская работа по теме «Треугольники, их свойства и признаки в курсе стереометрии». | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Составление кроссворда по теме «Треугольники», теста для проверки теоретических знаний. | Отчет по исследовательской работе в форме презентации. |
6. | Итоговое занятие по теме «Треугольники» | 2 ч | Игра «Геометрическая карусель» | Индивидуальное решение задач | Использование опорных конспек- тов, схем. | Подбор задач к игре. | ||
II глава. Многоугольники ( 9 часов) | ||||||||
1. | Классификация и их основные свойства и признаки. | 1 ч | Работа в группах, Геометрический форум. | Составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Подбор задач на применение основных свойств и признаков | ||
2. | Замечательные линии и точки многоугольников. | 1 ч | Работа в группах, Решение задач в парах. | Составление конспекта по теоретическому материалу, не изучавшегося в школьном курсе планиметрии. | Работа с книгой «Геометрия в таблицах 7 – 11 классы». | |||
3. | Равенство многоугольников. | 1 ч | Работа в группах. | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Формулировка и доказательство признаков равенства четырехугольников и правильных многоугольников | |||
4. | Площади многоугольников. | 1 ч | Решение задач в парах. | Составление опорных конспектов, схем | Исследовательская работа по теме «Соотношение площадей фигур, связанных с трапецией» | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Отчет по исследовательской работе в форме презентации | |
5. | Соотношения между элементами многоугольников. | 1 ч | Работа в группах, Решение задач в парах. | Составление опорных конспектов, схем | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Составление теста по данной теме. | Теоретическое тестирование по программе «Планиметрия» | |
6. | Вписанные и описанные окружности. | 2 ч | Конференция. | Повторение изученного материала по данной теме. Решение задач ЕГЭ по данной теме. | Работа с материалами сайта ФИПИ по подготовке к ЕГЭ . | Подбор задач, связывающих вписанные и описанные окружности с вычислением элементов и площадей многоугольников. | ||
7. | Итоговое занятие по теме «Многоугольники» | 2 ч | Игра «Геометрический аукцион» | Индивидуальное решение задач. | Подбор задач к игре. | |||
III глава. Окружность (8 часов) | ||||||||
1. | Окружность и ее элементы. | 1ч | Круглый стол | Решение одношаговых задач на вычисление элементов окружности. | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | Составление теста по теоретическому материалу. | ||
2. | Теоремы, связанные с элементами окружности | 2 ч | Работа в группах. | Обучающая самостоятельная работа | Исследовательская работа по теме «Прямая и окружность» | Работа с «Большим энциклопедическим справочником школьника по математике». | Сочинение «Что я знаю об окружности и круге?» | Отчет по исследовательской работе в форме презентации |
3. | Окружность и углы. | 1ч. | Геометрический форум. | Решение задач на вписанные и центральные углы. | Работа с книгой «3000 конкурсных задач по математике» | Подбор задач по теме. | ||
4. | Круг. Сектор. Сегмент. | 1 ч | Работа в группах | Составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами | Исследовательская работа по теме «Окружность и ее элементы в курсе стереометрии» | Работа с «Большим энциклопедическим справочником школьника по математи- ке». | ||
5. | Длина окружности, длина дуги окружности. | 1 ч | Работа в парах. | Работа с книгой «Геометрия в таблицах 7 – 11 классы», | Составление кроссворда по теме «Окружность» | Работа с пособием «600 задач» на СD | ||
6. | Площадь круга, сектора и сегмента. | 1 ч | Круглый стол | Решение задач на вычисление площади круга , сектора и сегмента. | Работа с книгой «3000 конкурсных задач по математике» авторов Е.Д. Куланина др. | Подбор задач для круглого стола | ||
7. | Итоговое занятие по теме «Окружность» | 1 ч | Геометрический бой. | Индивидуальное решение задач по теме «Окружност» | Работа с книгой «3000 конкурсных задач по математике» авторов Е.Д. Куланина др. | Подбор задач для математического боя. | ||
IV глава . Методы решения геометрических задач (9 часов) | ||||||||
1. | Алгебраический метод | 1ч | Работа в группах. | Отбор задач, решаемых алгебраическим методом. | Работа с материалами сайта ФИПИ по подготовке к ЕГЭ . | Составление задач на, решаемых алгебраическим методом. | ||
2. | Метод «от противного» | 1 ч | Работа в группах. | Решение задач на доказательство методом «от противного» | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9» | |||
3. | Метод геометрических мест. | 1 ч | Работа в группах. | Составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами | Исследовательская работа «метод геометрических мест в стереометрии» | Работа с книгой «Геометрия в таблицах 7 – 11 классы», Работа с «Большим энциклопедическим справочником школьника по математике». | ||
4. | Метод доказательств. | 1 ч. | Работа в группах. | Доказательство геометрических фактов, данных в учебниках как задачи. | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9», «10-11» | Подбор задач, решаемых методом доказательств. | ||
5. | Векторный метод. | 1 ч | Работа в группах. | Разбор задач, решенных векторным методом. | Исследовательская работа «Решение задач векторным методом в стереометрии» | Работа с книгой «Геометрия в таблицах 7 – 11 классы». | Отчет по исследовательской работе в форме презентации | |
6. | Метод координат | 1 ч | Работа в парах. | Повторение основных формул, связывающих координаты с геометрическими фигурами. | Работа с учебником Л.Атанасяна «Геометрия 7-9», «10-11» | Подбор задач, решаемых методом координат. | ||
7. | Итоговое занятие по теме «Метод решения геометрических задач» | 1 ч | Командная игра «Геометрическое колесо» | Решение задач различными методами. | Использование схем и таблиц. | Подбор задач к игре. | ||
8. | Итоговая контрольная работа | 2 ч | Письменная контрольная работа в тестовой форме. | Решение тестовых заданий. |
Содержание обучения
Включенный в программу материал может применяться для разных групп учащихся, что достигается обобщенностью включенных в нее заданий, их отбором в соответствии с задачами профильной подготовки.
Вводное занятие предполагает повторение аксиом планиметрии и стереометрии, работу с учебниками различных авторов, сравнение аксиоматических линий, создание презентации «Аксиомы геометрии».
Глава 1. Треугольники (8 часов)
Предполагает составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами по классификации треугольников и их основных свойств и признаков. Повторение определений медианы, высоты, биссектрисы, серединного перпендикуляра, средней линии треугольника и их свойств, анализ и сравнение теоретических фактов по равенству и подобию треугольников, основных формул для вычисления площадей треугольников, основных соотношений в треугольниках: синус, косинус и тангенс острых углов прямоугольного треугольника, теорема косинусов, теорема синусов. Изучение теорем Чевы, Менелая и Стюарта.
Глава 2. Многоугольники (9 часов)
Предполагает составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами по классификации многоугольников и их основных свойств и признаков. Изучение свойств замечательных линий и точек в многоугольниках, формулировку и доказательство признаков равенства многоугольников. Повторение формул для вычисления площадей многоугольников, соотношений, связывающих элементы многоугольника, свойств вписанных и описанных многоугольников. Проведение исследовательской работы по теме «Соотношение площадей фигур, связанных с трапецией».
Глава 3. Окружность (8 часов)
Предполагает решение одношаговых задач на вычисление элементов окружности, повторение теорем, связанных с элементами окружности, решение задач на вписанные и центральные углы, составление опорных схем, таблиц с геометрическими фактами, связывающими круг, сектор, сегмент. Формулы длины окружности, длины дуги окружности и площади круга. Проведение исследовательских работ по теме «Окружность и ее элементы в курсе стереометрии», «Прямая и окружность».
Глава 4. . Методы решения геометрических задач (9 часов)
Предполагает изучение различных методов решения задач: алгебраический метод, метод «от противного», метод геометрических мест, метод доказательств, векторный метод, метод координат. Проведение исследовательских работ по темам: «Метод геометрических мест в стереометрии», «Решение задач векторным методом в стереометрии».
В ходе работы по программе предполагается контроль по окончании изучения каждой главы в игровой форме «Геометрическая карусель», «Геометрический аукцион», «Геометрический бой», задания к которым подбираются самими учащимися из числа решенных на занятиях или используя учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся к ЕГЭ.
По итогам курса предполагается провести итоговую контрольную работу в тестовой форме (Приложение 1).
Оценивание результатов работы учащихся.
Я предлагаю следующую форму оценивания результатов работы учащихся:
- если учащиеся активно участвуют в подготовке и проведении занятия, подбирают задачи, участвуют в исследовательской работе, то они получают оценку «З ++» (зачет с двумя плюсами);
- если учащиеся активно работают на занятии, но не подбирают задачи и не участвуют в исследовательской работе, они получают оценку «З +» (зачет с одним плюсом);
- если учащиеся решают готовые задания на занятии, то получают только оценку «З» (зачет);
- если учащиеся по каким-либо причинам не готовы к занятию, плюсы автоматически аннулируются, т. е. учащийся получает оценку «зачет - » (зачет с минусом) или «З --» (зачет с двумя минусами).
По итогам работы по всему курсу оценки суммируются и если учащийся получает оценку «З++», то в аттестат можно сделать запись о прохождении факультативного курса по данной теме.
5. Учебно-методическое обеспечение элективного курса.
Реализовать данную программу можно, используя учебники:
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ - М.: Просвещение. 2001.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.
Гайштут А., Литвиненко Г., Планиметрия: задачник к школьному курсу. – М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр – S, 1998;
Методические пособия:
Материалы ФИПИ для подготовки к ЕГЭ.
Сборники задач и тестов:
Е.Д. Куланин и др. 3000 задач по математике. 2-е изд., испр. и дополн. – М.: Рольф. АЙРИС-ПРЕСС, 1998.
Шамшин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 2-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2003.
6. Литература.
Для учащихся:
Гайштут А., Литвиненко Г., Планиметрия: задачник к школьному курсу. – М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр – S, 1998.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.
Звавич Л.И., Рязановский А. Р. Геометрия в таблицах 7 – 11 кл.: Справочное пособие/ - М.: Дрофа, 1997.
Шамшин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 2-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2003.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ - М.: Просвещение. 2001.
Г.М. Якушева и др. Большой энциклопедический справочник школьника по математике. – М.: Филол.о-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС Образование, 2005.
Е.Д. Куланин и др. 3000 задач по математике. 2-е изд., испр. и дополн. – М.: Рольф. АЙРИС-ПРЕСС, 1998.
CD-ROM «600 задач по математике», ОЛМАмедиагрупп, Образовательная серия, «Руссобит-Паблишинг», 2005.
Интернет-сайт: https://www.problems.ru., https://www.fipi.ru
Для учителя:
Гайштут А., Литвиненко Г., Планиметрия: задачник к школьному курсу. – М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр – S, 1998.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.
Алтынов П.И. Геометрия. Тесты. 7 – 9. – М.: Дрофа, 1998.
Шамшин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 2-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2003.
CD-ROM «600 задач по математике», ОЛМАмедиагрупп, Образовательная серия, «Руссобит-Паблишинг», 2005.
Интернет-сайт: //www.problems.ru.
Приложение 2
Контрольный тест.
Вариант 1.
Задания | Варианты ответов |
А1. Площадь треугольника равна 6, а радиус вписанной окружности удовлетворяет соотношению r2 – 21r + 20 = 0, тогда полупериметр треугольника равен … | 1) 6; 2) 12; 3) 4; 4) 3; 5) другой ответ |
В1. В равнобедренном треугольнике АВС высоты АD и СЕ, опущенные на боковые стороны, пересекаются в точке М, образуют угол АМС = 1320, тогда угол АВС (в градусах) равен | |
В2. В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М на расстояние МD = АМ. Если АВ = 3, то СД равно | |
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН = 4√5/5 на гипотенузу ВС. Если АС = 4, то площадь треугольника АВС равна | |
В4. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной, равной 5, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Периметр отсеченного реугольника равен | |
В5. Боковые стороны трапеции АВСD АВ = 7, СD = 11, о основания – ВС = 5, АD = 15. Прямая ВК | | СD и отсекает от трапеции треугольник АВК, периметр которого равен | |
В6. В параллелограмме АВСD высота ВМ = 2, опущенная из вершины тупого угла параллелограмма, делит противоположную сторону пополам, угол ВАD = 300, тогда диагональ ВД равна | |
В7.Диагональ ВD четырехугольника АВСD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Если ВD = 2, АВ = 1, угол АВD : углу ВDC = 4 : 3, то диагональ АС (ответ округлите до ближайшего целого числа) равна |
Контрольный тест.
Вариант2.
Задания | Варианты ответов |
А1. В прямоугольном треугольнике внешний угол при основании равен 1200, тогда отношение гипотенузы и катета, перпендикулярного основанию, равно | 0,5; 2) √2 /2; 3) 2/ √3; 4) 2; 5) другой ответ. |
В1. Два угла треугольника равны 100 и 700, тогда угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла (в градусах), равен | |
В2. В прямоугольном треугольнике АВС угол ВАС – прямой, проведена медиана АМ. Если < ВАМ : < САМ = 1 : 2, то угол МВА (в градусах) равен | |
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН на гипотенузу ВС. Если СН = 1, а АС = 2, то угол СВА (в градусах) равен | |
В4. Две окружности касаются друг дуга внутренним образом, причем два радиуса большей окружности касаются меньшей окружности и образуют угол, равный 600. Тогда отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности равно | |
В5. Если высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам, то тупой угол ромба (в градусах) равен | |
В6. В параллелограмме АВСD высота ВМ, опущенная из вершины тупого угла параллелограмма, делит противолежащую сторону пополам, угол ВАD равен 300, тогда угол СВD (в градусах) равен | |
В7. В прямоугольном треугольнике АВС расположен прямоугольник АDКМ так, что его сторона АD лежит на катете АВ, сторона АМ – на катете АС, а вершина К – на гипотенузе ВС. Катет АВ равен 5, а катет АС равен 12. Если площадь АDКМ равна 40/3, а диагональ меньше 8, то большая сторона прямоугольника равна |
Контрольный тест.
Вариант 3.
Задания | Варианты ответов |
А1.Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 2π, тогда длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна | 1) 1; 2) 2 π; 3) π; 4) 2; 5) другой ответ. |
В1. Острый угол прямоугольного треугольника равен 300, а гипотенуза равна 8. Тогда произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла, равно | |
В2. Углы треугольника относятся как 2:3:4, а внешние углы треугольника относятся как α : β : γ соответственно, тогда α + β · γ равно | |
В3. Прямая АВ пересекает две другие параллельные прямые в точках А и В соответственно. Биссектриса ВС пересекает одну из двух параллельных в точке С. Если АВ = 5, то длина АС равна | |
В4. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН на гипотенузу ВС. Если СН = 9/√13, а ВН = 4/ √13, то площадь треугольника АВС равна | |
В5. К окружности, вписанной в квадрат со стороной, равной 7, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Тогда периметр отсеченного треугольника равен | |
В6. В параллелограмме АВСD высота ВМ, опущенная из вершины тупого угла параллелограмма, делит противоположную сторону пополам, угол ВАD равен 300. Тогда угол АВD (в градусах) равен | |
В7. Около трапеции АВСD с основаниями АД и ВС описана окружность радиусом 5. Центр описанной окружности лежит на основании АD. Если основание ВС равно 6, тогда диагональ АС равна |