Татьяна

Программа элективного курса «Решение планиметрических задач»

Участник педагогического конкурса ‒ Всероссийский конкурс для учителей математики на «Лучшую авторскую программу элективного курса (спецкурса, факультатива, кружка)»

Материал опубликован 2 November 2016

Программа элективного курса

«Решение планиметрических задач»

Содержание

Введение……………………………………………………………………

Методы решения геометрических задач………………………………….

Программа элективного курса «Решение планиметрических задач»……

Пояснительная записка………………………………………………

Цели и задачи курса…………………………………………………...

Содержание курса……………………………………………………..

Календарно – тематическое планирование………………………

Литература…………………………………………………………….

Приложения……………………………………………………………

Приложение 1………………………………………………………….

Приложение 2………………………………………………………….

Приложение 3………………………………………………………….

Приложение 4………………………………………………………….

Приложение 5…………………………………………………………

Приложение 6………………………………………………………

Введение

Предметом данного элективного курса является достаточно сложный раздел школьной программы – геометрия. Как показывает практика, геометрические задачи вызывают наибольшие затруднения у учащихся при сдаче ЕГЭ и ГИА по математике. Итоги экзамена показали, что учащиеся плохо справлялись с этими заданиями или вообще не приступали к ним. Можно выделить следующие недостатки в подготовке выпускников: формальное усвоение теоретического содержания курса геометрии, неумение использовать изученный материал в ситуации, которая отличается от стандартной. Для успешного выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. При изучении математики в старших классах на профильном уровне необходимы систематизация знаний, полученных учащимися в основной школе, выделение общих методов и приемов решения геометрических задач, демонстрация техники решения геометрических задач, закрепление навыков решения геометрических задач. В связи с этим необходимо делать акцент не только на овладение теоретическими фактами, но и на развитие умений решать геометрические задачи разного уровня сложности и математически грамотно их записывать. Повторение геометрического материала по разделам позволяет реализовать широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся.

Поскольку изучение курса геометрии дает возможность учащимся приобрести опыт дедуктивных рассуждений, учит их умению доказывать основные теоремы курса, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач, то в профильном (углубленном) обучении математики данная линия приобретает еще большую значимость в связи с расширением содержательной составляющей курса геометрии. Рассмотрение избранных теорем планиметрии, выходящих за рамки основного курса, а также решение избранных задач различными методами подчеркивают красоту содержания учебного предмета, способствуют воспитанию эстетического восприятия геометрии, помогает выбирать из всех известных методов решения или доказательства наиболее рациональный.

Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физики, черчения и т. д.) и курса стереометрии.

Методы решения геометрических задач

Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики. Это связано как с обилием различных типов геометрических задач, так и с многообразием приемов и методов их решения. В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая геометрическая задача требует «индивидуального» подхода. При решении геометрических задач обычно используются три основных метода:

геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;

алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим. Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения применять их.

В качестве основного метода решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать в первую очередь, выступает алгебраический метод. Алгебраический метод, вернее основные его модификации, могут быть в достаточной степени алгоритмизированы.

1. Метод опорного элемента

Метод опорного элемента является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются. Довольно часто в качестве опорного элемента выбирают площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления уравнения используется метод площадей.

Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений). Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами. Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.

2. Метод введения вспомогательного элемента или параметра

а) Вспомогательный отрезок

Характеристика метода. Длину некоторого отрезка, рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи «исчезает» (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.

б) Bспомогательный треугольник

Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного построения

(продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) получают треугольник, который дает возможность получить решение задачи. Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения задачи свойствами:

1) его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в

условии задачи;

2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить

решение, чем для фигур непосредственно заданных условием.

3. Метод дополнительного построения

Во многих случаях решать геометрические задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий - так называемые дополнительные построения. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой. При решении нестандартных задач найти удачное вспомогательное построение не так-то просто. Требуется достаточно большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция. Специфика решения задач по геометрии методом дополнительных построений проявляется уже на этапе построения чертежа. Довольно часто применяются так называемые «скелетные чертежи».Чаще всего в задачах, в которых фигурируют окружности, сами окружности не чертятся, а лишь фиксируется центр и радиус. Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию: проводим либо два перпендикуляра к основанию и получаем прямоугольник и два прямоугольных треугольника, либо проводим отрезок, параллельно боковой стороне, и получаем параллелограмм и произвольный треугольник.

а) удвоение медианы треугольника;

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

б) Проведение вспомогательной окружности

Характеристика метода. Решение задач с помощью данного метода основано на двух теоремах.

Т.1 Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий:

а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом <АМВ = <АКВ; (рис. 1)

б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом <АМВ + <АКВ = 1800 ,(рис. 2),то точки А, В, М, К лежат на одной окружности

Рис. 1

Рис. 2

Особенно важную роль играет частный случай.

Т2 Если углы АМК и АКВ равны 900 , то точки А, В, М, К расположены на окружности с диаметром АВ. (Это свойство вписанных углов сформулированное в более удобном виде для решения задач) Сформулированные выше предложения можно назвать свойства четырех точек окружности.

4) Метод подобия

При решении задач с помощью данного метода чаще всего используется гомотетия.

ПPOГPAMMA ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

Пояснительная записка

Элективный курс «Решение планиметрических задач» разработан в рамках реализации концепции предпрофильного и профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Государственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов,

На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии и ее новейших разделов: топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, компьютерной геометрии и др. Огромна роль геометрии в математическом образовании учащихся. Известен вклад, который она вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников. Курс геометрии обладает также чрезвычайно важным нравственным моментом, поскольку именно геометрия дает представление о строго установленной истине, воспитывает потребность доказывать то, что утверждается в качестве истины. Таким образом, геометрическое образование является важнейшим элементом общей культуры.

Научиться решать задачи по геометрии значительно сложнее, чем по алгебре. Это связано с обилием различных типов геометрических задач и с многообразием приемов и методов их решения.

Основная трудность при решении этих задач обычно возникает по следующим причинам:

- планиметрический материал либо был плохо усвоен в основной школе, либо плохо сохранился в памяти;

- для решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо не отрабатываются;

- в «нетипичных» задачах, в которых представлены не самые знакомые конфигурации, надо уметь применять известные факты и решать базисные задачи, которые входят как составной элемент во многие задачи.

По данным статистической обработки результатов ГИА и ЕГЭ планиметрические задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Как правило, это задачи, при решении которых нужно применить число геометрических фактов из школьного курса в измененной ситуации, а вычисления не содержат длинных выкладок. Решая такую задачу, ученик должен в первую очередь проанализировать предложенную в задаче конфигурацию и увидеть те свойства, которые необходимы при решении.

Выходом из создавшегося положения может служить рассмотрение в рамках соответствующего элективного курса некоторых вопросов, которые достаточно часто встречаются в заданиях на экзаменах и которые вызывают затруднения. Предлагаемый курс «Решение планиметрических задач» является практико-ориентированным и предназначен учащихся 9-11 классов. Количество учебных часов - 17.

Основное содержание курса соответствует современным тенденциям развития школьного курса геометрии, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся. Данный курс дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными способами решения планиметрических задач, способствует формированию и развитию таких качеств, как интеллектуальная восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления. Поможет учащимся в подготовке к выпускным и вступительным экзаменам по геометрии, а также при выборе ими будущей профессии, связанной с математикой.

Цель курса:

Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики.

Формирование умений решать задачи на вписанные и описанные окружности.

Воспитание понимания, что математика является инструментом познания окружающего мира.

Определение уровня способности учащихся и их готовности в дальнейшем к обучению в школе и успешной сдачи ГИА.

Задачи курса:

Систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на вписанные и описанные окружности.

Познакомить учащихся с различными типами задач и различными способами их решения.

Развивать логическое мышление учащихся, обогащать и расширять математический кругозор учащихся.

Научить применять математические знания в решении повседневных жизненных задач бытового характера

Принципы, на которых базируется обучение:

-обучение в темпе, стимулирующем продвижение вперед;

-ведущая роль теоретических знаний: ознакомить учащихся с теорией, вести учеников к его осознанию и закреплению;

Структура курса представляет собой три логически законченных и содержательно взаимосвязанных темы, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением либо итоговой контрольной работы, либо теста.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;

- применять свойства геометрических преобразований к решению задач.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующими.

Оценка «Отлично». Учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки его применения при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.

Оценка «хорошо». Учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашнее задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно». Учащийся освоил наиболее простые идеи и методы решений, что позволяет ему достаточно успешно решать простые задачи.

Содержание курса

Тема 1. Треугольники

Треугольники и их виды. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов. Четыре замечательные точки треугольника. Свойства замечательных точек треугольника. Площадь треугольника. Свойство биссектрисы треугольника. Подобные треугольники. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

Тема 2. Четырехугольники

Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника. Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Площадь прямоугольника, параллелограмма и трапеции.

Тема 3. Окружность

Характеристическое свойство окружности. Углы, связанные с окружностью: вписанный, угол между хордой и секущей, угол между касательной и хордой. Теорема о квадрате касательной.

Вневписанные окружности треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Комбинации окружности с другими геометрическими фигурами. Окружности, вписанные и описанные около треугольника, применение формул:

Календарно-тематическое планирование:

№ п/п	Тема занятия	Количество часов		Форма проведения занятия	Содержание	Требования к уровню зун	Контр. Зун	Дом. Задание	Корректировка
№ п/п	Тема занятия	Количество часов		Форма проведения занятия	Содержание	Требования к уровню зун	Контр. Зун	Дом. Задание	план	факт
1	2	3		4	5	6	7	8	10	11
Тема 1. Треугольники 5ч.
1.1	Треугольники и их виды. Соотношения между сторонами и углами треугольника.	1		Лекция-беседа	Треугольники и их виды. Соотношения между сторонами и углами треугольника	Знать все различные виды треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА и ЕГЭ.	Практикум	индивидуальное
1.2	Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.	1		Лекция, практическое занятие	Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов. Площадь треугольника.	Знать теоремы косинуса, синуса, следствие теоремы синуса. Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА и ЕГЭ.	Тест №1	индивидуальное
1.3	Четыре замечательные точки треугольника. Свойства замечательных точек треугольника.	1		Лекция, выступления учащихся	Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров треугольника. Свойства замечательных точек треугольника.	Знать определение четырех замечательных точек треугольника. Уметь применять свойства замечательных точек их при решении геометрических задач.	Самостоятельная работа №1	индивидуальное
1.4	Подобные треугольники. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.	1		Практическое занятие	Признаки подобия треугольников. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.	Знать все признаки подобия треугольников. Уметь увидеть подобные треугольники при решении геометрических задач.	Самостоятельная работа №2	индивидуальное
1.5	Свойство биссектрисы треугольника.	1		Зачёт	Свойство биссектрисы треугольника.	Знать свойство биссектрисы треугольника. Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА иЕГЭ	Зачёт №1	индивидуальное
Тема 2. Четырёхугольники 5 ч.
2.1	Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника.		1	Лекция-беседа	Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника.	Уметь применять свойство диагоналей выпуклого четырехугольника при решении задач.	Практикум	индивидуальное
2.2	Параллелограмм.		1	Лекция, практическое занятие	Параллелограмм.	Знать свойства и признаки параллелограмма. Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА и ЕГЭ	Практикум	индивидуальное
2.3	Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция.		1	Практическое занятие	Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция.	Уметь применять знания обо всех видах четырехугольников при решении задач.	Тест №2	индивидуальное
2.4	Площадь прямоугольника,параллелограмма, и трапеции.		1	Практическое занятие	Площади четырехугольников.	Знать все формулы площадей четырехугольников. Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА и ЕГЭ.	Самостоятельная работа №3	индивидуальное
2.5	Решение задач по теме: «Четырёхугольники»		1	Зачёт	Четырёхугольники	Знать все о четырехугольниках. Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА и ЕГЭ.	Зачёт №2	индивидуальное
Тема 3. Окружность 5 ч.
3.1	Характеристическое свойство окружности. Углы, связанные с окружностью.		1	Лекция-беседа	Характеристическое свойство окружности. Углы, связанные с окружностью: вписанный, угол между хордой и секущей, угол между касательной и хордой.	Знать характеристическое свойство окружности. Уметь решать задачи с окружностями.	Практикум	индивидуальное
3.2	Теорема о квадрате касательной.		1	Лекция, практическое занятие	Теорема о квадрате касательной.	Знать теорему о квадрате касательной. Уметь применять их при решении задач из материалов ЕГЭ.	Тест №3	индивидуальное
3.3	Окружности, вписанные и описанные около треугольника.		1	Практикум решения задач	Вписанные и описанные окружности.	Знать всё о вписанной окружности в треугольник и описанной окружности около треугольника. Уметь решать геометрические задачи с вписанными и описанными около треугольника окружностями.	Практикум	индивидуальное
3.4	Окружности, вписанные и описанные около четырёхугольника.		1	Практическое занятие	Вписанные и описанные окружности.	Знать всё о вписанной окружности в четырёхугольник и описанной окружности около четырёхугольника. Уметь решать геометрические задачи с вписанными и описанными около четырехугольниками окружностями.	Практикум	индивидуальное
3.5	Комбинации окружности с другими геометрическими фигурами		1	Практическое занятие, зачёт	Вписанные и описанные окружности.	Знать о комбинациях окружности с геометрическими фигурами. Уметь применять их при решении задач из материалов ГИА и ЕГЭ	Зачёт №3	индивидуальное
Итоговая контрольная 2ч.

Литература

Литература для учителя

1. Алтынов, П. И Геометрия. Тесты. 7-9 кл.: учебно-метод. пособие. - М.: Дрофа. 1998. - 112 с.

2. Арутюнян, Е. Б. Математические диктанты для 5-9 классов. - М., 1991.

3. Варшавский, И к., Га1lашвили, М я., Глазков Ю. А. Планиметрия на едином государственном экзамене // Математика ля школьников. - 2006. - N~ 4. - С. 3-14.

4. Варшавский, И к., Ганашвили, М я., Глазков, Ю. А. Планиметрия на удином государственном экзамене // Математика ля школьников. - 2006. - N~ 9. - С. 2-14.

5. Галицкий, М Л, Гольдман, А. М, 3вавич, Л И Курс геометрии 8 класса в задачах. - М., 1996.

6. Горд ин, Р. К. Планиметрия. 7-9 кл. - 2 изд., испр. - М.:

ЦНМО, 2004. - 416 с.

7. 3вавuч, Л И, Аверьянов, Д И О работе в 10 классе углу¬бленным изучением математики // Математика в школе. - N~ 5.¬.22-34.

8.3ив, Б. Г Дидактические материалы по геометрии для 8-9 кл.¬: Просвещение, 2001.

9. Каганов, Э. Д 400 самых интересных задач с решениями школьному курсу математики для 6-11 классов. - М.: ЮНВЕС, 998. - 288 с.

10. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики: учебно¬метод. пособие. - 2-е изд., доп. и перераб. - М.: 000 «Издатель¬ский дом «ОНИКС 21 век», 000 «Издательство «Мир и образова¬ние», 2005. - 336 с.

11. Никулин, А. В., Кукуш, А. г., Татаренко, 10. С. Геометрия на плоскости (планиметрия): уч. пос. / под общ. ред. Ю. С. Тата¬ренко. - Минск: ООО «Попурри», 1996. - 592 с.

12. Планирование учебного материала для 7-9 кл. с углуб¬ленным изучением математики: методические рекомендации / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. - М., 1988.

Литература для учащихся

1. Александров, А. д., Вернер, А. л., Рыжик, В. И. Геометрия. 9 КЛ.: - М.: Просвещение, 1991. - 415 с.

2. Атанасян, Л. С. и др. Геометрия. 7-9 КЛ.: - М.: Просвещение, 1996.

3. Бардушкин, В. В., Кожухов, И. Б. Геометрия-8: рабочая тетрадь. - М.: Открытый мир, 1998. -128 с.

4. Погорелов, А. В. Геометрия: учебник для 7-11 кл. средней школы - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

5. Потоскуев, Е. В. Геометрия. 9-11 КЛ.: учебник. Задачник. ¬.: Дрофа, 2003.

6. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 9-11 кл.: учебное пособие. - М.: Дрофа, 1997. - 400 с.

7. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.

Приложения

Приложение 1

Задачи для работы на занятиях

Треугольники

Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ. Известно, что АН=4, ОН=12. Найдите площадь треугольника АНМ. Отв: 8

Точка К лежит на стороне АВ треугольника АВО, ВК=12, АК=4, . Найдите площадь треугольника ОВК. Отв:48

Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20. Отв: 4

Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС на расстоянии 6 от боковых сторон и на расстоянии от основания. Найдите основание треугольника, если Отв: 30

В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=, ВС=10, Отв: 21

Найдите площадь треугольника АВС, если его стороны АВ и АС равны соответственно 12 и 18, а биссектриса АМ отсекает от него треугольник АВМ, площадь которого равна 20. Отв: 50

В равнобедренном треугольнике МРК высота РН, проведенная к основанию, равна , а боковая сторона равна . Точка С лежит на стороне МР, причем МС:СР=1:3. Найдите длину отрезка СН. Отв: 6

Площадь треугольника равна 24, а две его стороны равны 10 и 8. Найдите третью сторону треугольника. Отв: 10

Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О, АН=ВС=. Найдите площадь треугольника АВО. Отв: 60

Высоты АН и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О, АК=12, КС=8. Найдите АО. Отв:

Биссектрисы АМ и ВК треугольника АВС пересекаются в точке О, АО=2, ОМ=1, АК=2, СК=3. Найдите периметр треугольника. Отв: 11,25

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высота ВР и биссектриса АМ пересекаются в точке О, АО=4, ОМ=3, АС=2. Найдите боковую сторону треугольника АВС. Отв: 6

В прямоугольном треугольнике АВС на катете Ас взята точка К так, что угол ВКС равен углу В. Найдите гипотенузу АВ, если СК=4,5 и АК=3,5. Отв: 10

В остроугольном треугольнике АВС , АВ=8, ВС=7. Найдите периметр треугольника. Отв: 20

Наибольшая сторона АВ треугольника АВС равна , ВС=10, . Найдите площадь треугольника. Отв: 8

Точки В и М лежат по разные стороны от прямой АС, , АВ=3, СМ=12. Найдите длину отрезка АС. Отв: 6

Сторона АВ треугольника АВС равна . На стороне ВС взята точка К так, что ВК=, КС= и подобен . Найдите площадь треугольника КАС. Отв: 288

Сторона ВС треугольника АВС равна . На стороне АВ отмечена точка Р так, что подобен . Найдите площадь треугольника АВС, если ВР= и АР=. Отв: 18

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК, АС=18, ВК=8, АК=ВМ=4. Найдите периметр четырехугольника АКМС. Отв: 48

Отрезки АМ и СК – высоты остроугольного треугольника АВС, в котором АС=18, . Найдите КМ. Отв: 9

Через середину М гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к гипотенузе и пересекающая катет АС в точке К. Найдите площадь треугольника АМК, если АК=12,5 и КС=3,5. Отв:37,5

В прямоугольном треугольнике АВС из середины М катета АС проведен перпендикуляр МК к гипотенузе АВ. Найдите площадь треугольника АКМ, если АВ=100 и АМ=30. Отв: 216

В треугольнике АВС , ВК- биссектриса треугольника, АК=. Найдите АВ. Отв: 24

В треугольнике АВС , отрезок АТ- биссектриса треугольника, , АВ=. Найдите АС. Отв: 12

В треугольнике АВС АВ=17, ВС=15, АС=8, отрезок АО- биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольника АВО. Отв: 40,8

В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса острого угла С пересекает сторону АВ в точке Х. Площадь треугольника АВС равна 20, а sinB=0,25. Найдите площадь треугольника АСХ. Отв: 4

В треугольнике АВС АВ=39, ВС=42, СА=45. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, биссектрисой ВК и медианой ВМ. Отв: 14.

В треугольнике АВС АВ=39, ВС=42, СА=45. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, биссектрисой ВК и высотой ВЕ. Отв: 31,36

В треугольнике АВС АВ=39, ВС=42, СА=45. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС и биссектрисами ВК и СМ. Отв: 140.

В треугольнике АВС АВ=39, ВС=42, СА=45. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, биссектрисой ВК и высотой СН. Отв: 169.

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведены высота СН и биссектриса ВМ, которые пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОС, если АС=8, ВС=6. Отв: 9,6

Медианы АК и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О, АВ=13, ВС=14, СА=15. Найдите площадь треугольника АОМ. Отв: 14

В треугольнике MPK проведена биссектриса МО. Найдите площадь треугольника МОР, если площадь треугольника МРК равна 32, МР=6, МК=10. Отв: 12

В треугольнике CDF проведена биссектриса СТ. Найдите площадь треугольника CDT, если площадь треугольника CDF равна 48, CD=7, CF=9. Отв: 21

Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что а медиана АМ=13. Отв: 70

Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что а медиана . Отв: 140

Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что а медиана. Отв:

Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что а медиана АМ=14. Отв:

В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что , а площадь треугольника MNK равна 4. Отв: 8

В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что , а площадь треугольника MNK равна 9. Отв: 12

В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что , а площадь треугольника MNK равна . Отв: 12

В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что , а площадь треугольника MNK равна . Отв: 8

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=12, СН=8, . Отв: 30

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=6, СН=4, . Отв: 7,5

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=, СН=, . Отв: 60

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=, СН=, . Отв: 15

Из точки Е катета АВ прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр ED к гипотенузе АС. Известно, что АС=10, АЕ=5, ВЕ=3. Найдите площадь треугольника ADE. Отв: 6

Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О, АВ=ВС. Найдите сторону ВС, если АО=10см, а длина высоты AD=16см. Отв:20

В остроугольном треугольнике KLM высоты пересекаются в точке О, стороны KL и LM равны. Найдите площадь треугольника KLM, если МО=5см, а высота МР=8см. Отв: 40

В треугольнике АВС угол В в 2 раза больше угла А, а сторона ВС=20. Найдите биссектрису BD этого треугольника, если DC=12,5. Отв:19,5

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса BD угла В, CD=6, СВ=12. Найдите гипотенузу треугольника АВС. Отв: 20

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 4 и 5. Найдите второй катет треугольника. Отв: 12

В треугольнике АВС высота BD равна 11,2, высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и ВЕ:ЕС=5:9. Найдите длину стороны АС. Отв:15

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=, СН=, . Отв: 135

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=24, СН=, . Отв:

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=, СН=, . Отв: 11,25

Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что , АВ=20, а медиана АМ=14. Отв:

В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если , а площадь треугольника MNK равна . Отв: 4

В треугольнике АВС проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если , а площадь треугольника MNK равна 4.

Отв: 8.

Четырехугольники

Диагонали параллелограмма равны 2 и , а угол между ними равен . Найдите высоту, проведенную к большей стороне параллелограмма. Отв: 1,2

В параллелограмме ТМКР сторона КР равна 10, а сторона МК, равная , составляет с диагональю МР угол, равный . Найдите высоту, проведенную к большей стороне параллелограмма. Отв: 8,4

Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке К, причем АМ=10, ВК=6. Найдите площадь четырехугольника АВМК. Отв: 30

Две стороны параллелограмма равны 13 и 14, а одна из диагоналей равна 15. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла. Отв: 78

Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AD=10, BD=8, а отрезок, соединяющий вершину В с серединой стороны AD, равен . Отв: 28

ABCD- параллелограмм, М и К – середины сторон АВ и ВС. Отрезки DM и DK пересекают диагональ АС в точках О и Р. Найдите площадь треугольника DOP, если площадь параллелограмма равна 9. Отв: 1,5

В параллелограмме КМРТ точка С является серединой стороны КТ, а луч МС – биссектрисой угла М. Высота МН равна 8, МС=10. Найдите синус угла параллелограмма. Отв: 0,96

Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК:КС=4:3. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 132. Отв: 42.

Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСD пересекаются в точке К, лежащей на стороне АD. Площадь параллелограмма равна . Найдите большую сторону параллелограмма. Отв: 12

В параллелограмме АВСD АВ=4, АD=8. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, углов С и D – в точке М. Найдите КМ. Отв: 4

Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекают сторону ВС в точках К и М соответственно, причем ВК=КМ=МС, АК=8, DМ=6. Найдите периметр параллелограмма. Отв: 40

Биссектрисы углов А и С параллелограмма АВСD пересекают стороны ВС и АD в точках К и Р соответственно, причем ВС:КС=5:2. Площадь параллелограмма АВСD равна 75. Найдите площадь четырехугольника АКСР. Отв: 30

На стороне АВ параллелограмма АВСD отмечены точки К и М так, что АК=КМ=МВ. Отрезки СК и DМ пересекаются в точке О. Площадь параллелограмма равна 40. Найдите площадь треугольника СОD. Отв: 15

Сторона параллелограмма равна 21, а диагонали равны 34 и 20. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 336

В параллелограмме АВСD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке М и прямую АВ в точке К. Найдите периметр треугольника АМК, если CD=12, СВ=30, СМ=14. Отв: 57

В параллелограмме АВСD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке М и прямую АВ в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК=12, СМ=24, МК=18. Отв: 88

В параллелограмме АВСD биссектриса угла В пересекает сторону ВС в точке Р и прямую АВ в точке К. Найдите периметр треугольника ADK, если CD=20, РК=21, DK=9. Отв: 21

В параллелограмме АВСD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке T и прямую АD в точке M. Найдите периметр треугольника DMT, если ВС=12, АВ=21, ВТ=20. Отв: 33

В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке Kи прямую BC в точке P. Найдите периметр параллелограмма, если DK=12, PK=18, BP=15. Отв: 70

В параллелограмме АВСD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M. Найдите периметр параллелограмма, если BT=21, TM=14, TD=10. Отв: 80

Площадь параллелограмма АВСD равна , сторона CD равна 8, . Найдите сторону AD. Отв: 7

Площадь параллелограмма МРКТ равна 16. Сторона МТ, равная , образует острый угол с диагональю МК, равной 2. Найдите сторону МР. Отв: 10

Найдите площадь параллелограмма KMNP, если его большая сторона равна , диагональ МР=5, а угол К=45. Отв: 4

Площадь параллелограмма АВСD равна , диагональ АС=5, . Найдите сторону АВ. Отв: 7

Найдите площадь параллелограмма КМРТ, если одна из его сторон равна , диагональ МТ=5, . Отв: 21

В параллелограмме АВСD , , биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке М, МА:МВ=2:1. Найдите площадь параллелограмма АВСD. Отв: 81

Из вершины В параллелограмма АВСD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке Т и диагональ АС в точке N. Площадь треугольника BCN равна 5, а площадь треугольника CTN равна 2. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 110

Из вершины В параллелограмма АВСD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке N и диагональ АС в точке Т. Площадь треугольника BCТ равна 12, а площадь треугольника CTN равна 8. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 60

Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма АВСD так, что ВМ:МС=1:2. Прямая DM пересекает луч АВ в точке Р, а площадь треугольника ВРМ равна 1. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 12

Точка L лежит на стороне AB параллелограмма АВСD так, что AL:LB=3:4. Прямая CL пересекает луч DA в точке K, а площадь треугольника AKL равна 36. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 224

Вершина В параллелограмма АВСD соединена с точкой Р на стороне CD. Отрезок ВР пересекает диагональ АС в точке Е. Площадь треугольника ВСЕ равна 9, а площадь треугольника СРЕ равна 6. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 45

Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой H на стороне AB. Отрезок DH пересекает диагональ АС в точке P. Площадь треугольника PDA равна 7, а площадь треугольника APH равна 2. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 63

Точка М лежит на стороне CD параллелограмма АВСD так, что СМ:MD=2:3. Прямая АМ пересекает луч ВС в точке Т, а площадь треугольника СТМ равна 8. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 60

Точка Р лежит на стороне АD параллелограмма АВСD так, что АР:РD=5:3. Прямая ВР пересекает луч СD в точке К, а площадь треугольника PKD равна 18. Найдите площадь параллелограмма. Отв: 178

В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы АМ и DК соответствующих углов А и D. Найдите длину отрезка МК, если известно, что периметр параллелограмма равен 40 см, а AD=14 см. Отв: 2

В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы АМ и DК соответствующих углов А и D. Найдите длину отрезка МК, если известно, что периметр параллелограмма равен 50 см, а AВ=16 см. Отв: 23

В параллелограмме АВСD из вершины тупого угла В проведены высоты ВК и ВР, причем точка К лежит на стороне AD, а точка Р лежит на стороне CD. Докажите, что треугольники АВК и СВР подобны, а углы КВР и BAD равны.

Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке К. Докажите, что треугольник АВМ – равнобедренный, а треугольники АВМ и CDK равны.

Биссектриса угла А прямоугольника АВСD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке К. Докажите, что прямые АМ и СК параллельны, а треугольники АВМ и CDK равны.

В параллелограмме АВСD, периметр которого равен 88 см, проведены биссектрисы АК и DF углов А и D параллелограмма делят сторону ВС на три равных отрезка (BF=FK=KC). Найдите меньшую сторону параллелограмма. Отв: 11

Найдите больший угол параллелограмма АВСD, если угол между высотами параллелограмма, опущенными из вершины его острого угла В на стороны AD и DC, в 4 раза больше угла В параллелограмма. Отв:144

На стороне MN параллелограмма KLMN (KL=2LM) взята точка С – её середина. Найдите площадь параллелограмма KLMN, если известно, что КС=6, LC=7. Отв: 42

На стороне MN параллелограмма KLMN (KL=2LM) взята точка С – её середина. Найдите высоту параллелограмма KLMN, опущенную на сторону LK, если известно, что КС=, а LC=. Отв:3

На стороне MN параллелограмма KLMN (KL=2LM) взята точка С – её середина. Найдите длину отрезка LC, если известно, что КС=6, а площадь параллелограмма KLMN равна 48. Отв:8

В ромбе ABCD диагональ равна , на стороне ВС, равной 15, отложен отрезок ВК, равный 5. Найдите больший из отрезков, на которые делится отрезок АК в точке пересечения с диагональю BD. Отв: 9

В ромбе против острого угла, равного 30 градусов, лежит диагональ, равная . Найдите площадь ромба. Отв: 2

Площадь ромба равна 600, а отношение длин диагоналей равно 4:3. Найдите высоту ромба. Отв: 24

Найдите высоту ромба, если его меньшая диагональ равна 6, а сторона равна 5. Отв: 4,8

Сторона ромба АВСD равна , а . Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину отрезка ВМ. Отв: 3

Дан ромб АВСD с острым углом В. Его сторона равна , а . Высота СМ, проведенная к стороне АВ, пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка КМ. Отв: 2

Дан ромб АВСD с острым углом С. Его сторона равна , а . Высота ВТ пересекает диагональ АС в точке К. Найдите длину отрезка КТ. Отв: 1

Дан ромб АВСD с острым углом С. Его сторона равна , а . Высота ВТ пересекает диагональ АС в точке К. Найдите длину отрезка КТ. Отв: 5

Дан ромб АВСD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а . Высота СР пересекает диагональ ИВ в точке К. Найдите длину отрезка СК. Отв: 10

Дан ромб АВСD с тупым углом D. Высота DM, проведенная к стороне BC, пересекает диагональ AC в точке P. Найдите площадь треугольника СМР, если DP=26, MP=10. Отв: 75

Дан ромб АВСD с тупым углом В. Высота ВК, проведенная к стороне AD, пересекает диагональ AC в точке P. Найдите площадь треугольника APK, если BP=13, PK=12. Отв: 360

В ромбе АВСD высота ВН, проведенная к стороне AD, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите площадь треугольника АВМ, если ВМ=5, МН=3. Отв: 15

Дан ромб АВСD с острым углом А. Его высота ВН, проведенная к стороне AD, пересекает диагональ АС в точке Т. Найдите площадь треугольника АВТ, если ВТ:ТН=5:3, а сторона ромба равна 20. Отв: 60

Дан ромб АВСD с острым углом С. Его высота ВН, проведенная к стороне СD, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите площадь треугольника СМН, если ВС:СН=5:3, а сторона ромба равна 16. Отв: 36

Дан ромб АВСD с острым углом А. Его высота ВН, проведенная к стороне СD, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите площадь треугольника СМН, если высота ромба равна 8, а площадь ромба равна 80. Отв: 9

В ромбе АВСD синус острого угла С равен 0,6, площадь ромба равна 135, высота ВК пересекает диагональ АC в точке Р. Найдите длину отрезка РК. Отв: 4

Дан ромб АВСD с острым углом А. Площадь ромба равна 80, а . Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину отрезка ВМ. Отв: 5

Дан ромб АВСD с острым углом С. Его высота ВН, проведенная к стороне CD , пересекает диагональ АС в точке М. Найдите площадь треугольника СМН, если ВС:СН=5:3, а высота ромба равна 16. Отв: 36

В ромбе АВСD из вершины тупого угла В проведена высота ВН к стороне AD. Она пересекает диагональ АС в точке М. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135. Найдите площадь треугольника АМН. Отв: 24

Дан ромб АВСD с острым углом А. Площадь ромба , а . Высота ВН пересекает диагональ АС в точке Т. Найдите длину отрезка ТН. Отв: 3

Дан ромб АВСD с острым углом В. Площадь ромба , а . Высота ВН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. Отв: 3

Найдите угол между диагональю BD ромба АВСD и его стороной, если известно, что .Отв: 64

Найдите угол между диагональю BD ромба АВСD и его стороной, если известно, что угол между высотами ВН и ВК, опущенными соответственно на стороны AD и CD ромба, равен .Отв: 46

Найдите угол между диагональю BD ромба АВСD и его стороной, если известно, что угол между высотой ВН, проведенной к прямой AD, и биссектрисой BL угла ABD равен , а точка Н лежит между точками А и L. Отв: 38

Найдите периметр ромба АВСD, если известно, что АС=18, а . Отв: 72

Найдите периметр ромба АВСD, если известно, что АС=16, а . Отв: 64

Найдите периметр ромба АВСD, если известно, что его высота СН, опущенная на сторону АВ, равна 10 см, а . Отв: 80

В ромбе АВСD из вершины тупого угла В к стороне AD проведена высота ВК и к стороне CD – высота ВР. Докажите, что треугольники АВК и СВР равны и углы КВР и BAD равны.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны 3 и 4. Найдите диагональ трапеции. Отв: 5

Большее основание трапеции равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найдите меньшее основание трапеции . Отв: 5

Дана прямоугольная трапеция ABCD (AD- большее основание, АВAD). Площадь трапеции равна D=. Найдите диагональ АС. Отв: 20

Средняя линия трапеции равна 15, сумма углов при одном из оснований равна 90 градусов. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна , а разность оснований равна 10. Отв: 45.

Точка М- середина боковой стороны ВС трапеции АВСD. Площадь треугольника АМD равна 8. Найдите площадь трапеции. Отв: 7,5

Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О, основания ВС и АD равны 3 и 4, а площадь равна 98. Найдите площадь треугольника АОВ. Отв: 24

Основания ВС и АD трапеции АВСD равны 3 и 6, диагонали пересекаются в точке О, сумма площадей треугольников АОВ и СОD равна 40. Найдите высоту трапеции. Отв: 20

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а отрезок, соединяющий середину меньшего основания и середину боковой стороны, равен 7. Найдите площадь трапеции. Отв: 98

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, одно из оснований равно 17, а площадь равна 81. Найдите второе основание трапеции. Отв: 1

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и точкой пересечения делятся в отношении 3:4. Площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон трапеции равна 196. Найдите боковую сторону трапеции. Отв: 20

Боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а содержащие их прямые взаимно перпендикулярны, площадь трапеции равна 144. Найдите среднюю линию трапеции. Отв: 15

В трапеции АВСD основания равны 13 и 26, одна из боковых сторон равна 5, а . Найдите площадь трапеции. Отв: 90.

Найдите высоту трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны и равны 15 и 20. Отв: 12

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 13. Одна из диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ. Отв:24

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит основание на отрезки длиной 20 и 5. Найдите площадь трапеции. Отв: 200

Диагонали трапеции АВСD с основаниями ВС и АD пересекаются в точке О и равны 8 и 5. Найдите среднюю линию трапеции, если . Отв: 3,5

В трапеции АВСD диагональ АC является биссектрисой угла А. Биссектриса угла В пересекает большее основание AD в точке Е. Найдите высоту трапеции, если . Отв: 8

Найдите диагональ равнобедренной трапеции, если её площадь равна , а средняя линия равна 5. Отв: 7

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а средняя линия равна 3. Отв: 27

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её средняя линия равна 6, а тангенс угла между диагональю и основанием равен 1,5. Отв: 54

В трапеции АВСD , биссектрисы углов А и D пересекают основание ВС в его середине – точке М. Найдите площадь трапеции. Отв: 375

В трапеции АВСD диагональ АС является биссектрисой угла А Биссектриса угла В пересекает большее основание AD в точке Е. Найдите высоту трапеции, если . Отв: 4

В трапеции АВСD диагональ АС является биссектрисой угла А Биссектриса угла В пересекает большее основание AD в точке Е. Найдите высоту трапеции, если . Отв: 18

В трапеции АВСD диагональ АС является биссектрисой угла А Биссектриса угла В пересекает большее основание AD в точке Е. Найдите высоту трапеции, если . Отв: 8

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 16, её диагональ перпендикулярна боковой стороне и равна 20. Найдите периметр трапеции. Отв: 62

Основания трапеции равны 5 и 20, одна диагональ равна 15. Найдите площадь трапеции, если диагонали трапеции перпендикулярны. Отв: 150

Основания трапеции равны 10 и 24, боковые стороны равны 13 и 15. Найдите площадь трапеции. Отв: 204

Основания трапеции равны 3 и 6. Найдите длину отрезка, проведенного через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям. Отв: 6

Сумма острых углов трапеции равна 90, высота равна , а основания равны и . Найдите сумму боковых сторон трапеции. Отв: 8

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25. Отв: 5

Высота равнобедренной трапеции равна 12, её средняя линия равна 16. Найдите периметр трапеции, если известно, что её диагональ перпендикулярна боковой стороне. Отв: 62

Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 20 и 15, а высота равна 12. Отв: 150

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а высота равна 6. Отв: 12

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а высота равна 9. Отв: 27

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а высота равна 4. Отв: 4

Дана прямоугольная трапеция АВСD (AD – большее основание, АВAD). Площадь трапеции равна . Найдите диагональ АС. Отв:20

Средняя линия трапеции равна 15, сумма углов при одном из оснований равна 90. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна , а разность оснований равна 10. Отв: 45

Сумма углов при меньшем основании трапеции равна . Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 20, одна из боковых сторон равна , а одно из оснований на 15 больше другого. Отв:120

Площадь четырехугольника АВСD равна 135. Диагонали пересекаются в точке О, АО=6, ОС=4 и ВО:ОD=2:7. Найдите площадь треугольника АОВ. Отв: 18

Площадь четырехугольника АВСD равна 52. Диагонали пересекаются в точке О, АО:ОС=4:9, ВО:ОD=3:5. Найдите площадь треугольника АОD. Отв: 10

Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите площадь четырехугольника АВСD, если площади треугольников АВС, ВСD и АОD равны соответственно 34, 80 и 168. Отв: 272.

Комбинации треугольника и четырехугольника с окружностью

Окружность с центром О описана около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АОС, если АС=6, . Отв:9

Окружность с центром О описана около треугольника МРК. Найдите площадь треугольника МОК, если МК=8, . Отв:16

Окружность с центром О описана около треугольника BCD. Найдите площадь треугольника BOD, если BD=10, . Отв:25

В окружность радиуса вписан правильный треугольник АВС. Хорда BD пересекает сторону АС в точке Е, АЕ:ЕС=3:5. Найдите ВЕ. Отв: 7

Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16. Отв: 8

Из точки А, лежащей на окружности, проведены две хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр окружности, если расстояние между серединами хорд равно 10. Отв: 25

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Отв: 25

Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника АМ, проведена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10. Отв: 15

В окружность радиуса вписан треугольник АВС, в котором , а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка МС. Отв: 4

Высоты АН и ВК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке М, . Найдите градусную меру угла АВО, где О- центр окружности, описанной около треугольника АВС. Отв: 15

В треугольнике АВС угол В равен 30 градусов. Около треугольника описана окружность с радиусом 12. Хорда ВК проходит через середину М стороны АС, причем МК=2. Найдите ВМ. Отв: 18

Треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 4. Найдите площадь треугольника ВОС, если . Отв: 4

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол В равен . Около треугольника описана окружность с центром О, радиус которой равен 4. Найдите площадь треугольника ВОС. Отв: 4

Остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром О и радиусом 10. Найдите площадь треугольника ВОС. Отв: 40

Треугольник ВМР с углом В, равным 45 градусов, вписан в окружность радиуса . Найдите длину медианы ВК, если луч ВК пересекает окружность в точке С и СК=3. Отв: 12

Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании, равным , описана окружность с центром О. Площадь треугольника ВОС равна 16. Найдите радиус окружности. Отв: 8

Угол В треугольника АВС равен 30 градусов. Около треугольника описана окружность радиусом 12. Хорда ВК проходит через середину М стороны АС, МК=2. Найдите ВМ. Отв: 18

Равнобедренный треугольник вписан в окружность. Радиус окружности равен 9, а основание треугольника равно . Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника. Отв: 6

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ=6 и ВМ=24. Отв: 8.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ=8 и ВМ=12. Отв: 6.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ=12 и ВМ=18. Отв: 9.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ=6 и ВМ=9. Отв: 4,5.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается боковых сторон в точках М и К. Найдите длину отрезка МК, если основание треугольника равно 16, а боковая сторона равна 10. Отв: 3,2

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается боковых сторон в точках А и В. Найдите длину отрезка АВ, если основание треугольника равно 24, а боковая сторона равна 15. Отв: 4,8

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается боковых сторон в точках Р и Т. Найдите длину отрезка РТ, если основание треугольника равно 18, а боковая сторона равна 15. Отв: 7,2

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если основание треугольника равно 24, а боковая сторона равна 15. Отв: 4

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если основание треугольника равно 12, а боковая сторона равна 10. Отв: 3

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если основание треугольника равно 18, а боковая сторона равна 15. Отв: 4,5

Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВН равна 12 и известно, что .Отв: 4

В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом . Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2, считая от вершины Р. Найдите периметр треугольника РМК. Отв: 36

В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и Е. Найдите радиус окружности, если DE=8, АС=18. Отв: 6

В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причем АК=6, ВК=12. Найдите периметр треугольника. Отв: 45

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках К и А. Точка К делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка КА. Отв: 12.

Основание равнобедренного треугольника вдвое меньше его боковой стороны, а высота, проведенная к основанию, равна 10. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. Отв: 2

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках М и N. Точка М делит сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника. Найдите МN. Отв: 14,4

Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, и боковой стороны делит эту сторону на отрезки 12 и 3, считая от основания треугольника. Найдите радиус окружности. Отв: 4

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и катета делит этот катет на отрезки 3 и 4, считая от вершины прямого угла. Найдите площадь треугольника. Отв: 84

В треугольнике АВС АВ=ВС=30. Вписанная в треугольник окружность касается стороны АВ в точке М, и АМ=12. Найдите радиус окружности. Отв: 9

В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает катет ВС в точке Т, СТ=. Найдите гипотенузу АВ. Отв: 12

В прямоугольный треугольник АВС () вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает катет ВС в точке М, АМ=ВМ и СМ=. Найдите ВС. Отв:

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М. Найдите диаметр окружности, если АМ=3, ВМ=10. Отв: 4

Дан треугольник КМР. Окружность с центром С и диаметром КМ пересекает стороны КР и МР в точках А и Е. Найдите угол КМР, если .Отв: 65

Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, и окружности, описанной около него, равны 2 и 5. Найдите периметр треугольника. Отв: 24

В треугольнике АВС , ВС=3АВ. Около треугольника описана окружность радиуса , и в него же вписана окружность с центром О. Луч ВО пересекает сторону АС в точке М. Найдите СМ. Отв: 18

Дан ромб АВСD. Окружность, описанная около треугольника АВD, пересекает большую диагональ ромба АС в точке Е. Найдите СЕ, если , BD=16. Отв: 12

В ромб вписана окружность. Точка касания делит сторону в отношении 1:3, площадь ромба равна. Найдите радиус окружности. Отв: 3

Окружность, вписанная в ромб АВСD, касается сторон АВ и СD в точках К и Т, ВК=КТ, радиус окружности равен 1,6. Найдите периметр ромба. Отв:16

В ромб вписана окружность. Найдите угловую величину большей из дуг, на которые окружность делится точками касания сторон, если угол ромба равен . Отв: 143

Диагонали ромба равны 3 и 4. Найдите радиус вписанного в ромб круга. Отв: 1,2

Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10. Отв: 80

Найдите боковую сторону трапеции, если она вписана в окружность, диаметр которой равен и является основанием трапеции, а средняя линия трапеции равна . Отв: 4

Найдите радиус окружности, в которую вписана трапеция, основание которой является диаметром окружности, если площадь трапеции равна , а средняя линия равна 10. Отв: 18

Найдите площадь трапеции, если она вписана в окружность радиусом 17, причем длины отрезков, соединяющих центр окружности с серединами оснований, равны 15 и 8. Отв: 529 или 161.

Трапеция ABCD вписана в окружность с радиусом 10. Найдите меньшее основание ВС, если расстояние от центра окружности до большего основания равно 6, а средняя линия трапеции равна 14. Отв: 12

Диагонали трапеции, вписанной в окружность, взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 6. Найдите площадь трапеции . Отв: 9 (36)

Большее основание АD трапеции АВСD равно 15, синус угла ВАС равен , синус угла АВD равен . Найдите радиус описанной около трапеции окружности. Отв: 13,5

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 15, а основания равны 7 и 25. Найдите диаметр описанной около трапеции окружности. Отв: 12,5

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на ее большем основании. Боковая сторона трапеции равна 15, радиус окружности равен 12,5. Найдите площадь трапеции. Отв: 192

Около трапеции, основания которой равны 4 и 16, описана окружность. Найдите радиус окружности, вписанной в эту трапецию. Отв: 4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно , точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в отношении 1:3, а центр описанной окружности лежит на большем основании. Найдите высоту трапеции. Отв: 12

Основание трапеции, вписанной в окружность, является диаметром этой окружности. Средняя линия трапеции равна 5, а диаметр окружности равен 9. Найдите боковую сторону трапеции. Отв: 6

В трапеции АВСD с основанием АD диагональ АС делит угол А пополам, . Найдите площадь трапеции, если радиус описанной около нее окружности равен . Отв: 2,25

Около трапеции описана окружность радиуса 7,5. Eё большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен , а диагональ образует с меньшим основанием угол, синус которого равен 0,6. Найдите площадь трапеции. Отв: 48

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 34, а разность оснований равна 16. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности. Отв: 15.

Площадь равнобедренной трапеции равна 80, а боковая сторона равна 10. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности. Отв: 4

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки длиной 1 и 4. Найдите периметр трапеции. Отв: 18

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на отрезки длиной 4 и 9. Найдите площадь трапеции. Отв: 150

Один из углов равнобедренной трапеции равен , а ее площадь равна . Найдите радиус окружности, вписанной в эту трапецию. Отв: 3

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции равна 13, а одно из оснований равно 8. Найдите площадь трапеции. Отв: 156

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 13, а синус угла равен . Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию. Отв: 6

В трапецию, боковые стороны которой равны 6 и 8, вписана окружность. Найдите сумму квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции. Отв: 100

В трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Найдите радиус окружности. Отв: 4

Основания равнобедренной трапеции, описанной около круга, равны 3 и 12. Найдите высоту трапеции. Отв: 6

Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом . Средняя линия трапеции равна 4. Найдите радиус окружности. Отв: 1

Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 6 и 8. Найдите периметр трапеции. Отв: 94,08

Отношение оснований равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равно 3. Найдите меньший угол трапеции. Отв: 60

Высота равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна половине боковой стороны, площадь трапеции равна 32. Найдите радиус круга. Отв: 2

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в неё окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции. Отв: 12

Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 68. Найдите радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64. Отв: 30

Стороны параллелограмма равны 3 и 2. Прямая, перпендикулярная стороне параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма. Отв: 60

В четырехугольник вписана окружность радиуса 8. Одна из его сторон равна 6, а смежные с ней стороны равны 3 и 5. Найдите площадь четырехугольника. Отв: 64

В пятиугольник АВСDЕ вписана окружность. Известно, что АВ=5, ВС=6, СD=7, DЕ=8, ЕА=9. Найдите меньший из отрезков, на которые точка касания делит сторону АВ. Отв: 1,5

В правильный шестиугольник со стороной, равной 12, вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Найдите высоту этого треугольника. Отв: 18

Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Диагональ АС является биссектрисой угла ВАD и пересекается с диагональю ВD в точке К. Найдите КС, если ВС=4 и АК=6. Отв: 2

Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной А в точке О и пересекает его вторую сторону в точке С. Найдите радиус окружности, если АВ=4, АС=8. Отв: 6

Из точки М к окружности с центром О проведены прямая МО и касательная МА (А-точка касания). Из точки А к прямой МО проведен перпендикуляр АВ. Найдите расстояние от точки М до центра, если АМ=40 и АВ=24. Отв: 50

Через точку внутри круга радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 16 и 12. Найдите расстояние между серединами хорд. Отв: 10

Две параллельные хорды окружности отсекают от нее дуги в . Длина одной из хорд равна 8. Найдите расстояние между хордами. Отв: 8

Через середину радиуса окружности проведена перпендикулярная ему хорда. Найдите градусную меру меньшей из дуг, на которые окружность делится проведенной хордой. Отв: 120

Дана окружность с центром О и диаметром ВС. Отрезки АВ и АС пересекают окружность в точках К и М. Найдите угол КОМ, если . Отв: 40.

Приложение 2

Перечень вопросов и задач к зачету №1 по теме: «Треугольники»

Вопросы:

Виды треугольников

Сумма углов треугольника, внешний угол треугольника

Признаки равенства треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки

Признаки подобия треугольников

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Теорема косинусов

Теорема синусов

Средняя линия треугольника

Медиана. Вычисление медианы. Свойство медиан треугольника.

Биссектриса. Вычисление биссектрисы. Свойство биссектрисы треугольника.

Формулы для вычисления площади треугольника.

Свойства площадей треугольника

Теорема Пифагора

Средние геометрические в прямоугольном треугольнике

Теорема о пропорциональных отрезках

Задачи:

В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны 6 и 10, , МК – средняя линия (). Найдите площадь треугольника АМК.

В треугольнике АВС АМ и СN – медианы, CN=13,5, АС=7, . Найдите длину медианы АМ.

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Найдите площадь треугольника АВМ, если площадь треугольника АВС равна 40, АВ=8, АС=12.

Точка N лежит на стороне ВТ треугольника ВКТ. Известно, что BN=4, NT=5, и . Найдите площадь треугольника BKN.

В треугольнике АВС сторона АВ=, сторона ВС=10, . Найдите площадь треугольника АВС.

Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 15, а его площадь равна 67,5. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты ВЕ и АН, пересекающиеся в точке О. Найдите площадь треугольника ВОН.

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведены высота СН и медиана СМ, причем АН=12, а ВН=16. Найдите площадь треугольника СНМ.

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что АК:ВК=1:2, СР:ВР=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольнике АВС, если известно, что площадь треугольника ВЕС равна 4.

Перечень вопросов и задач к зачету №2 по теме: «Четырехугольники»

Вопросы

Параллелограмм и его свойства.

Признаки параллелограмма.

Свойства: - биссектрисы угла параллелограмма,

- биссектрис смежных углов параллелограмма,

- биссектрис противоположных углов параллелограмма.

Прямоугольник, его свойства и признаки.

Ромб, его свойства и признаки.

Квадрат, его свойства и признаки.

Трапеция, её виды.

Средняя линия трапеции.

Равнобедренная трапеция и её свойства.

Свойство высоты равнобедренной трапеции.

Формулы площадей: - параллелограмма (через высоту),

- прямоугольника (через стороны),

- ромба (через высоту и через диагонали),

- квадрата (через стороны и через диагонали),

- трапеции (через высоту).

Задачи

В прямоугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О, сторона АВ в 5 раз меньше диагонали АС. Периметр треугольника АОВ равен 66. Найдите длину диагонали BD.

В параллелограмме ABCD биссектриса В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника DMT, если ВС=12, АВ=21, ВТ=14.

Вершина В параллелограмма ABCD соединена с точкой М на стороне CD. Отрезок ВМ пересекает диагональ АС в точке К. Площадь треугольника ВСК равна 6, а площадь треугольника СМК равна 4. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а средняя линия равна 4.

Сторона ромба ABCD равна , а . Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину отрезка ВМ.

В квадрате ABCD со стороной 10 см точки М и Т – середины сторон AD и DC соответственно. Отрезки АТ и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АМК.

Вершинами четырехугольника являются середины сторон ромба со стороной 4 и углом 120º. Найдите площадь четырёхугольника.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 15, её средняя линия равна 16. Найдите площадь трапеции, если известно, что её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Перечень вопросов и задач к зачету №3 по теме: «Углы и окружность. Комбинации многоугольников с окружностью»

Вопросы

Центральный и вписанный углы окружности, свойство вписанного угла и следствия из него.

Взаимное расположение окружности и прямой. Касательная к окружности и её свойство.

Соотношения между угловыми величинами дуг окружности и углами, образованными: касательной и хордой, пересекающимися хордами окружности, двумя секущими из одной точки.

Метрические соотношения в окружности: свойство отрезков пересекающихся хорд, отрезков двух секущих из одной точки, отрезков касательной и секущей.

Окружность, описанная около треугольника (определение). Теорема о центре окружности, описанной около треугольника. Формула для вычисления радиуса описанной окружности треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник (определение). Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник. Формула для вычисления радиуса вписанной окружности треугольника.

Вписанная и описанная окружности в прямоугольном треугольнике. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника.

Описанный четырехугольник и его характеристическое свойство.

Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусами описанной и вписанной окружностей. Вывод формул для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, квадрат и шестиугольник, и радиуса окружности, описанной около правильного треугольника, квадрата и шестиугольника.

Окружность (определение). Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности.

Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

Задачи:

В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ а точке К, причем АК=6, ВК=12. Найдите периметр треугольника.

Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10.

Треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 4. Найдите площадь треугольника ВОС, если , .

Из точки М к окружности, радиус которой равен 4 см, проведены касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая через центр О окружности и пересекающая её в точках А и В так, что МА=АО. Тока N – середина дуги АС окружности, заключенной между секущей и касательной. Найдите площадь треугольника МОN.

Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 20 см, а центр описанной окружности лежит на большем основании. Вычислите площадь трапеции.

В равнобедренную трапецию с острым углом вписана окружность радиуса 4 см. Найдите площадь трапеции.

Диагонали ромба равны 3 см и 4 см. Найдите длину окружности, вписанной в ромб.

В правильном шестиугольнике ABCDEF радиус окружности, вписанной в треугольник АСЕ, равен 2 см. Найдите сторону шестиугольника.

Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, если один из катетов делится точкой касания вписанной окружности на отрезки 3 см и 5 см.

В треугольнике MNK , MN=8. На основании MN как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны MK и NK в точках А и В соответственно. Найдите длину отрезка АВ.

Приложение 3

Самостоятельная работа №1

Треугольники

В-1

1) В треугольнике ЕМК высота EH делит сторону МК на отрезки МН=3 и НК=5. Найдите площадь треугольника ЕМК, если М=30.

2) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, а основание – 12. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е. Найдите СЕ.

3) Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиуса . Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120.

В-2

1) В треугольнике АВЕ проведена высота ВН, которая отсекает на стороне АЕ отрезок ЕН=6. Найдите площадь треугольника АВЕ, если АВ=, А=45.

2) Основание равнобедренного треугольника равно 10. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках М и К, МК=8. Найдите периметр треугольника.

3) Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30, если высота, проведённая к боковой стороне, равна .

Самостоятельная работа №2

Пропорциональные отрезки в треугольнике

В-1

1) В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и АС отмечены соответственно точки С1, А1 и В1, так что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Известно, что .

Найдите .

2) В треугольнике АВС ВК – медиана. На стороне ВС отмечена точка М и прямая МК пересекает продолжение стороны АВ за точку А в точке N. Известно, что , а площадь треугольника ANK равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

В-2

Найдите .

2) В треугольнике АВС ВК – медиана. На стороне ВС отмечена точка М и прямая МК пересекает продолжение стороны АВ за точку А в точке N. Известно, что , а площадь треугольника КМС равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Самостоятельная работа №3

Четырёхугольники

В-1

1) В прямоугольной трапеции АВСD (А=90, АD и ВС – основания) DВ – биссектриса D, CD=5, АВ=4. Найдите среднюю линию и площадь трапеции.

2) Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна , а косинус угла при основании равен .

3) В параллелограмме АВСD биссектриса D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника CDP, если DK=18, PK=24, AD=15.

В-2

1) В прямоугольной трапеции DEFK (D=90, DK и EF – основания) EK – биссектриса K, FK=10, DE=6. Найдите среднюю линию и площадь трапеции.

2) Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 2, если тангенс угла при основании трапеции равен .

3) В параллелограмме АВСD биссектриса В пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M. Найдите периметр треугольника CBT, если AB=21, BM=35, MD=9.

Приложение 4

Итоговая контрольная работа

В-1

В треугольнике ABC В =20°. Биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите угол АОС.

В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) АС — биссектриса угла А, АВ = 6, AD = 10. Найдите среднюю линию трапеции.

В треугольнике ABC точка Е принадлежит стороне АС.
ABC= BEC, АС = 5, ВС = 3. Найдите отношение площадей треугольников ВЕС и ABC.

В трапеции ABCD АС = 4, AD = 8, CAD = 30°. Найдите площадь треугольника ABD.

В равнобедренном треугольнике основание равно 8. Высота,
опущенная на основание, равна 3. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.

В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°), CDAB, AD = 2, AB = 8. Найдите АС.

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна , а косинус угла при основании равен .

Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиуса . Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120.

В треугольнике АВС ВК – медиана. На стороне ВС отмечена точка М и отрезок МА пересекает ВК в точке N. Известно, что , а площадь треугольника ANK равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

В-2

В треугольнике ABC биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О, АОС=140°. Найдите угол В.

В прямоугольной трапеции ABCD (А=90°, AD и ВС — основания) DB — биссектриса угла D, CD = 5, АВ = 4. Найдите
среднюю линию трапеции.

В треугольнике ABC точка К принадлежит стороне АВ,
BCK=ВАС, ВК = 4, ВС = 7. Найдите отношение периметров треугольников ВКС и ABC.

В параллелограмме ABCD BD=10, AD = 6, BDA=30°. Найдите площадь треугольника ACD.

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите его высоту.

В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°), CDAB, AD = 2, DB = 8. Найдите CD.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, а основание – 12. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е. Найдите СЕ.

Найдите диагональ и боковые стороны трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точка М, на стороне АС – точка Е и отрезок МА пересекает ВЕ в точке О. Известно, что , , а площадь треугольника ОВМ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

В-3

В треугольнике MPK K =40°. Биссектрисы PP1 и MM1 пересекаются в точке О. Найдите угол MОP.

В трапеции EFMN (FM и EN — основания) NF — биссектриса угла N, MN = 4, EN = 12. Найдите среднюю линию трапеции.

В треугольнике BDE точка M принадлежит стороне DE.
DBE=BMD, BD = 3, DE = 8. Найдите отношение площадей треугольников BDE и MDB.

В трапеции AKEC АС = 8, KC = 6, ACK = 30°. Найдите площадь треугольника AEC.

В равнобедренном треугольнике основание равно 6. Высота,
опущенная на основание, равна 4. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.

В прямоугольном треугольнике EFB (F = 90°), FHEB, BH = 4, ЕB = 9. Найдите FB.

Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 2, если тангенс угла при основании трапеции равен .

Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30, если высота, проведённая к боковой стороне, равна .

В треугольнике АВС ВР – медиана. На стороне ВС отмечена точка N и отрезок NА пересекает ВР в точке Е. Известно, что , а площадь треугольника ВЕN равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

В-4

В треугольнике BEF биссектрисы EE1 и FF1 пересекаются в точке О, EОF=120°. Найдите угол В.

В прямоугольной трапеции DEFK (D=90°, KD и EF — основания) EK — биссектриса угла K, FK = 10, DE = 6. Найдите среднюю линию трапеции.

В треугольнике AML точка O принадлежит стороне АL,
AMO=MLA, AL = 10, AM = 7. Найдите отношение периметров треугольников AML и AOM.

В параллелограмме AEDK EK=8, KD = 6, EKD=30°. Найдите площадь треугольника AED.

Диагонали ромба равны 16 и 12. Найдите его высоту.

В прямоугольном треугольнике PMQ (P = 90°), PFMQ, MF = 4, FQ = 9. Найдите PF.

Основание равнобедренного треугольника равно 10. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках М и К, МК=8. Найдите периметр треугольника.

Найдите меньшее основание и боковые стороны трапеции, вписанной в окружность радиуса 9 см, если большее основание трапеции проходит через центр окружности, а диагональ трапеции равна см.

В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точка Т, на стороне АС – точка Е и отрезок АТ пересекает ВЕ в точке О. Известно, что , , а площадь треугольника АОЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Приложение 5

Тест №1

тема: Треугольники

Уровень «А»

1.В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна см. Вычислите сумму катетов треугольника.

A) 26 см

B) 28 см

C) 30 см

D) 24 см

E) 22 см

2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если его высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании.

А) 30° ,30° ,120°

В) 45° ,45° ,90°

С) 36° ,36° ,108°

D) 50° ,50 °,80°

Е) 40°,40 °,100°

3.В равнобедренном треугольнике боковая сторона 10 см, основание 16 см. Определите высоту, опущенную на боковую сторону.

A) 9,2 см

B) 9,4 см

C) 10,2 см

D) 9,6 см

E) 9,8 см

4.Катеты прямоугольного треугольника равны. Определите их длину, если площадь треугольника 18 см

A) 9 см

B) 6 см

C) 3см

D) 8 см

E) 3см

5.Один катет треугольника на 7 см больше другого, а площадь равна 30 см. Определите больший катет прямоугольного треугольника.

A) 13см

B) 14см

C) 10см

D) 15см

E) 12см

6.Площадь прямоугольного треугольника 6 см, а гипотенуза 5 см. Найдите разность катетов.

A) 1см

B) 2см

C) 4см

D) 3см

E) 1,5см

7.Найдите отношение катетов прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 26 см и катет 10 см.

A) 13 : 4

B) 13 : 12

C) 12 : 5

D) 10 : 3

E) 13 : 5

8.В прямоугольном треугольнике один катет на 6 см больше другого. Найдите меньший катет, если гипотенуза равна 30 см.

A) 12см

B) 16 см

C) 24 см

D) 18 см

E) 20 см

9.В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 30 см, 50 см. Вычислите высоту, проведённую из прямого угла.

A) 24 см

B) 27 см

C) 16 см

D) 18 см

E) 20 см

10.Катеты прямоугольного треугольника равны 21 см и 28 см. Определите синус меньшего угла.

A) 0,4

B) 0,6

C) 0,7

D) 0,8

E) 0,9

11.В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 56 см, а гипотенуза 40 см. Найдите меньший катет.

A) 22 см

B) 26 см

C) 18 см

D) 24 см

E) 25 см

12.Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 55 см. Найдите периметр треугольника.

A) 134 см

B) 146 см

C) 132 см

D) 122 см

E) 116 см

13.Катет прямоугольного треугольника равен 24см, а гипотенуза 40см. Определите высоту этого треугольника.

A) 18,4 см

B) 18,3 см

C) 18,8 см

D) 19,2 см

E) 17,8см

14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см. Чему равна медиана, проведенная к гипотенузе?

A) 8 см

B) 11 см

C) 12 см

D) 10 см

E) 9 см

15. Найти длину высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки, равные 3 и 27 см.

A) 7 см

B) 5 см

C) 2 см

D) 4 см

E) 9 см

Уровень «В»

1.Найти косинус меньшего угла треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см.

A) 0,8

B) 0,7

C) 0,5

D) 0,4

E) 0,6

2.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите разность катетов, если они пропорциональны числам 3:4.

A) 5см

B) 4см

C) 6см

D) 2см

E) 3 см

3.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20 см, а основание относится к высоте как 8:3. Найдите радиус вписанной окружности.

A) см

B) см

C) см

D) 5 см

4.Чему равен больший угол в треугольнике со сторонами 5 см, 5 см и 10 см?

A) 75°

B) 45°

C) 90°

D) 30°

E) 60°

5.Определите косинус большего угла треугольника, если его стороны: 7 см, 8 см и 9 см.

6.Площадь прямоугольного треугольника 60 см, а сумма катетов 23 см. Найдите гипотенузу треугольника.

A) 19см

B) 16см

C) 18см

D) 17см

E) 15см

7.Площадь прямоугольного треугольника 96 см , а его высота 9,6 см. Найдите сумму катетов этого треугольника.

A) 27см

B) 28см

C) 30см

D) 26см

E) 32см

8.Катет прямоугольного треугольника равен 21 см, а гипотенуза 35 см. Определите высоту этого треугольника.

A) 17,4 см

B) 17,3 см

C) 16,8 см

D) 17,2 см

E) 16,6см

9.В прямоугольном треугольнике катеты равны 21см и 28 см. Найдите косинус большего острого угла.

A) 0,3

В) 0,7

С) 0,5

D) 0,4

Е) 0,6

10.Площадь прямоугольного треугольника 180 см, а катет 40 см. Укажите разность гипотенузы и другого катета.

A) 32 см

B)28 см

C) 31 см

D) 34 см

E) 29 см

11.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а площадь 120 см. Найдите меньший катет.

A) 12 см

B) 14 см

C) 10 см

D) 13 см

E) 11 см

12.Площадь прямоугольного треугольника 24 см, а его высота 4,8 см. Найдите сумму катетов этого треугольника.

A) 18см

B) 14см

C) 15см

D) 16см

E) 22см

13.Отрезок ОА длиной 24 см перпендикулярен плоскости квадрата АВСD со стороной 5см. Определите расстояние ОС.

A) 28 см

B) 26см

C) 24см

D) 26 см

E) 22 см

14.В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4 соответственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла

B) 2; 3

D) 1; 4

15. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника АВС, если угол при основании равен 30о и высота, опущенная на боковую сторону, равна 3

Уровень «С»

1.В треугольнике стороны равны: 18см, 26см, 32см. На какие отрезки разобьёт сторону биссектриса, проведённая из меньшего угла? Укажите набольший из них.

A) 11см

B) см

C) см

D) см

E) см

2.Из середины меньшей стороны АВ к плоскости прямоугольника АВСD проведён перпендикуляр ОМ длиной 6 см. Найдите длину МС, если стороны прямоугольника 16 см и 24 см.

A) 24 см

B) 28 см

C) 27 см

D) 32 см

E) 26 см

3.Определите косинус наибольшего угла треугольника, если стороны равны 7 см, 11 см и 14 см

D) –

4. Синус угла между сторонами треугольника равными 10 см и 16 см равен . Найдите сумму синусов двух других углов.

5.В треугольнике две стороны равны 5 см и 6 см, а синус угла между ними 0,8. Найдите медиану, проведённую к большей стороне.

A) 5,2 см

B) 4,8 см

C) 4 см

D) 4,4 см

E) 4,6 см

6.Стороны угла АСВ, равного 60о, касаются двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся одна другой. (О2 – центр меньшей окружности). СО1 = 12 см. Найдите радиус окружности с центром О2

A) 2 см

B) см

C) см

D) 3 см

E) см

7. В треугольнике АВС угол А равен 450, угол В равен 150, АВ=. Найдите ВС.

8. Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что найдется прямая, проходящая через вершину угла при основании, делящая исходный треугольник на два равнобедренных.

А) (36° ,72° ,72° ) и (80° ,80° ,20°)

Е) (45°, 45°, 90°) и (60°,60°,60°).

В) (75° ,75° ,30° ) и (50° ,50 °,80 °)

С) (36° ,36° ,108° ) и (25 5/7° ,77 1/7° ,77 1/7° )

D) (36 °,72 ° ,72° ) и (25 5/7° ,77 1/7° ,77 1/7° )

Тест №2

тема: Четырехугольники

Уровень «А»

1.В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции

A) 26 см и 34 см

B) 12 см и 24 см

C) 24 см и 36 см

D) 41 см и 20 см

E) 22 см и 32 см

2.Найдите углы параллелограмма, если один из них больше другого на 50о

A) 65о и 115о

B) 125о и 55о

C) 75о и 105о

D) 50о и 130о

E) 60о и 120о

3.Прямоугольник с периметром 88 см разбили параллельными линиями на 3 равные части через сторону равную 12 см. Назовите периметр среднего из прямоугольников.

A) 72см

B) 80 см

C) 68 см

D) 70 см

E) 74 см

4.Диагональ прямоугольника, равная 16, наклонена к стороне под углом 45°. Определите периметр прямоугольника.

A) 72 см

B) 58 см

C) 60 см

D) 48 см

E) 64 см

5.Одна сторона прямоугольника составляет 35% другой стороны. Определите большую сторону прямоугольника, если периметр равен 54 см.

A) 19см

B) 17см

C) 16см

D) 18см

E) 20 см

6.Полупериметр параллелограмма равен 47 см. Найдите меньшую сторону, если она на 13 см меньше другой.

A)18 см

B) 17 см

C) 16 см

D) 15 см

E) 14 см

7.Углы параллелограмма пропорциональны числам 7:5. Чему равна разность двух углов при стороне параллелограмма.

A) 32°

B) 36°

C) 30°

D) 20°

E) 24°

8.Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 23° и 38°. Назовите больший угол параллелограмма.

A) 139°

B) 141°

C) 119°

D 129°

E) 137°

9.На сторону параллелограмма равную 18 см проведена высота длиной 15 см. Определите другую сторону, если высота, падающая на неё, равна 9 см.

A) 36 см

B) 30 см

C) 27 см

D) 32 см

E) 25 см

10.Найдите больший угол параллелограмма, если сумма двух углов равна 154°.

A) 103°

B) 113°

C) 144°

D) 132°

E) 116°

11.Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Определите сторону ромба.

A) 43 см

B) 37 см

C) 46 см

D) 51 см

E) 36 см

12.Два угла ромба относятся как 1:2. Определите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 12 см.

A) 44 см

B) 60 см

C) 48 см

D) 54 см

E) 64 см

13.Два угла трапеции равны 123° и 71° . Определите меньший угол.

A) 59°

B) 67°

C) 69°

D) 54°

E) 57°

14.Средняя линия трапеции равна 18 см, а верхнее основание на 8 см меньше нижнего. Определите меньшее основание.

A) 12 см

B) 15 см

C) 14 см

D) 11 см

E) 13 см

15.Боковые стороны трапеции равны 17 см и 19 см, а периметр 66 см. Определите среднюю линию трапеции.

A) 16 см

B) 15 см

C) 14 см

D) 17 см

E) 18 см

Уровень «В»

1.Найти площадь четырехугольника ABCD, если АВ = 5, ВС = 13, CD = 9,AD = 15 АС = 12

A) 98

B) 104

C) 108

D) 84

E) 88

2.Дан квадрат со стороной 1 м, а диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.

A) 14 м

B) 4 м

C) 0,5 м

D) 1 м

E) 2 м

3.Одна диагональ параллелограмма 20 см, а стороны 10 см и 14 см. Определите другую диагональ.

A)10см

B)6см

C)10см

D)12см

E) 8см

4.Найдите тупой угол ромба, если диагональ, проведенная из острого угла, образует с его стороной угол в 40о

A) 160о

B) 120о

C) 140о

D) 280о

E) 100о

5.Угол между диагональю прямоугольника и стороной равной 10 см, равен 60°. Найдите периметр прямоугольника.

A) 50 см

B) 5(4+3) см

C) 40(+2) см

D) 40 см

E) 20(+1) см

6.Биссектрисы, проведенные из двух противоположных углов прямоугольника, отсекли от него ромб со стороной см. Определите периметр прямоугольника.

A) 4+4см

B) 6+см

C) 8+см

D) 4+2 см

E) 30 см

7.Стороны параллелограмма, заключающие угол 45°, равны 5 см и 8см.

Определите меньшую диагональ параллелограмма.

8.Чему равны диагонали ромба, если они пропорциональны числам 3:4 , а сторона ромба равна 35см?

A) 62 см и 28 см

B) 32 см и 48 см

C) 44 см и 38 см

D) 56 см и 42 см

E) 58 см и 34 см

9.Определите острый угол параллелограмма, если высота равна 21 см, а сторона, на которую не падает эта высота, равна 14 см.

A) 55°

B) 75°

C) 45°

D) 60°

E) 30°

10.Одна диагональ параллелограмма 10 см, а стороны 5 см и 7 см. Определите другую диагональ.

A) 10см

B) 4см

C) 10см

D) 12см

E) 6см

11.Периметр ромба равен 40 см, а радиус вписанной окружности равен 4 см. Определите синус острого угла.

A) 0,5

B) 0,65

C) 0,75

D) 0,8

E) 0,6

12.В равнобокой трапеции диагональ равна 26 см, высота равна 10 см, а верхнее основание равно 14 см. Под каким углом наклонена боковая сторона?

A) 60°

B) 45°

C) 30°

D) 15°

E) 75°

13.Основания трапеции относятся как 4:7. Найдите верхнее основание, если средняя линия равна 28,6 см.

A) 21,2 см

B) 19,6 см

C) 21,6см

D) 22,4 см

E) 20,8 см

14.Высота, проведённая из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание на отрезки 7 см и 19 см. Вычислите среднюю линию трапеции.

A) 19 см

B) 21 см

C) 18 см

D) 17 см

E) 16 см

15. В параллелограмме с высотой √2см, один угол в три раза больше другого угла, тогда

А) одна из сторон равна 2см

В) одна из сторон короче на 2см, а другая длиннее на 2см

С) обе стороны короче на 2см

D) обе стороны длиннее на 2см

Е) стороны короче высоты.

Уровень «С»

1.Одна диагональ параллелограмма 20 см, а стороны 10 см и 14 см. Определите другую диагональ.

A) 10см

B) 6см

C) 10см

D) 12см

E) 8см

2.Два угла ромба относятся как 2:1. Определите периметр ромба, если егоменьшая диагональ равна 14 см.

A) 64 см

B) 60 см

C) 58 см

D) 56 см

E) 54 см

3.Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Определите периметр ромба, если другая диагональ равна 18см.

A) 74 см

B) 88 см

C) 72 см

D) 78 см

E) 86 см

4.Основания трапеции 12 см и 22 см. Найдите длину отрезка проведённого через точку пересечения диагоналей, параллельно основаниям.

A) см

B) см

C) см

D) см

5.Боковые стороны трапеции равны 17 см и 23 см, а основания 12 см и 28 см. Определите высоту трапеции.

A) см

B) см

C) см

D) см

E) см

6.Основания трапеции равны 12 см и 16 см. Боковые стороны соединены отрезком, параллельным основаниям и делящим трапецию на две равновеликих части. Найдите длину этого отрезка.

A) 12,5см

B) 13см

C) 10см

D) 12см

E) 14 см

7.Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 24 см. Определите длину отрезка, проведённого параллельно основаниям и делящего трапецию на две равновеликих трапеции.

A) 10см

B) 15см

C) 14см

D) 12см

E) 13см

8.Стороны параллелограмма, заключающие угол в 60о, равны 2 см и 3 см. Найдите диагональ, лежащую против этого угла.

А) 4 см.

В) 3,7 см.

С) см

Д) см

Е) 2 см

9. Найти среднюю линию равнобедренной трапеции с высотой h., если боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 120°.

А) √3h

В) 0,6h

C) √2h

D) 0,8h

E) 2h

Тест №3

тема : Окружность, круг

Уровень «А»

1.Найдите диаметр окружности, если известно, что он больше радиуса этой окружности на 10 см.

А) 20

В) 25

С) 35

Д) 10

Е) 30

2.Вычислите длину окружности, если радиус равен 10 м

A) 10 м

B) 40 м

C) 20 м

D) 30 м

E) 35 м

3.К окружности проведена касательная. Через точку касания проведена хорда, отрезающая от окружности дугу в 96˚. Чему равен угол между хордой и касательной?

A) 48˚

B) 44˚

C) 96˚

D) 84˚

E) 42˚

4.Найдите длину дуги окружности радиуса 20 см, если центральный угол, соответствующий этой дуге, равен 2,5 радиан.

A) 30 см

B) 40 см

C) 45см

D) 50 см

E) 35 см

5.Определите градусную меру центрального угла, если площадь круга равна 225 π см, а площадь сектора равна 75π см.

A)160˚

B)150˚

C) 140˚

D)170˚

E)120˚

6.Площадь круга равна 12 . Найдите его диаметр.

A) см

B) см

C) см

D) см

E) см

7.Из точки вне окружности, радиуса 9 см, проведена касательная, с расстоянием до точки касания 40 см. Определите расстояние от этой точки до центра окружности.

A) 46 см

B) 45 см

C) 41 см

D) 48 см

E) 47 см

8.Вписанный угол опирается на дугу 140˚. Определите величину другого вписанного угла, опирающегося на оставшуюся часть окружности.

A) 120˚

B) 135˚

C) 115˚

D) 110˚

E) 130˚

9.В окружности проведены пересекающиеся хорды АК и ВС. ВАК = 47˚, а ВКС = 112˚. Определите СВК.

A) 28˚

B) 42˚

C) 46˚

D) 33˚

E) 21˚

10.Длина дуги с градусной мерой 210˚ равна 14 π см. Найдите площадь целого круга.

A) 196 π см

B) 169 π см

C) 121 π см

D) 144 π см

E) 225 π см

11. Диаметр и хорда окружности составляют угол 30°. Зная, что радиус окружности 6см, найдите длину диаметра и хорды.

А) 3 и 2

В) 12 и 6

С) 3 и 3

D) 2 и 3

Е) 2 и

12. В окружности с центром в точке О и радиусом 10см, проведена хорда МР=16см, тогда расстояние от центра окружности до хорды равно

А)

В) 12

С) 6

Е) 2

13. В окружности длиной 24π м проведена хорда, равная 12м. Найдите градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой.

А) 45°

В) 30°

С) 60°

D) 90°

Е) 120°

14. Какой наибольший центральный угол может иметь правильный многоугольник?

A) 60°

B) 90°

С) 135°

D) 120°

E) 150°

15. Отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности с центром О, образуют угол, равный 60˚, ОВ = 15 см. Чему равен отрезок ОА?

A) 40 см

B) 7,5 см

С)45 см

D) 30 см

E) 60 см

Уровень «В»

1. Площади двух кругов равны 625 π см и 225π см. Найдите отношение их диаметров.

A) 5: 2

B) 3: 2

C) 5:3

D) 5: 4

E) 4: 3

2.Периметр правильного шестиугольника равен 24 см. Найдите его площадь.

A) 20см

B) 32см

C) 36см

D) 24 см

E) 28см

3.Из дуги окружности радиусом 10 см и центральным углом 270˚ свернули окружность, ограничивающую круг. Определите площадь нового круга.

A) 54,76 π см

B) 42,25 π см

C) 60,84 π см

D) 56,25 π см

E) 72,25 π см

4.Найдите площадь сектора радиуса 18 см, если вписанный угол, опирающийся на дугу сектора, равен 40˚.

A) 40 π см

B) 64 π см

C) 72 π см

D) 48 π см

E) 36 π см

5.Каким должен быть радиус окружности, если её длина в 4 раза больше сумм длин окружностей с радиусами 13 см и 29 см?

A) 84 см

B) 72 см

C) 168 см

D) 332 см

E) 42 см

6.Стороны двух, правильных шестиугольников отличаются в 3 раза. Определите площадь меньшего из них, если сторона большего равна 24 см.

A) 84 см

B) 96см

C) 76 см

D) 102см

E) 98 см

7.Oпределите длину хорды, стягивающей дугу в 120˚, если радиус окружности равен 6см.

A) 84 см

B) 72 см

C) 166 см

D) 18см

E) 42 см

8.Если длина окружности увеличится в 19 раз, то во сколько раз увеличится площадь ограниченного ею круга?

A) В 19 раз

B) В 361 раз

C) В 324 раз

D) В 360 раз

E) В 19 раз

9.Во сколько раз увеличится радиус, если площадь круга увеличится в два раза?

A) В 3 раза

B) В раз

C) В раз

D) В 2 раза

E) В 0,5 раза

10. Найти площадь сектора радиуса 3см, если соответствующий этому сектору центральный угол равен 30°.

А) π/2

В) 7π/2

С) 2,5π

D) 3π/4

Е) 1,5π

11. В окружности длиной 36π см проведена хорда, стягивающая дугу в 60° . Найдите длину хорды.

А) 12

В) 6

С) 18

D) 18

E) 6

12. Из точки А, удаленной от окружности на 8м, проведена касательная к окружности. Найдите расстояние от точки касания до прямой, проходящей через точку А и центр окружности, если радиус равен 5м.

А)

В) 3

С) 5

D) 8

Е)

13. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9см и 17см. Найти площадь круга, если расстояние между серединами хорд равно 5см.

А) 25π

В) 7225π

С) 100, 25π

D) 100π

Е) 36π

14. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Х. Найдите длину CD, если АX =6 см, ВX = 5 см, а длина СX на 1 см меньше длины DХ.

А) 6 см

В) 14 см

С) 11см

Д ) 12 см

Е) 8 см

15. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 6 см. Известно, что АВ = 16 см, АО = ОВ. Чему равна длина АО?

А) 8 см

В) 10 см

С) 6 см

Д) 9 см

Е) 16 см

Уровень «С»

1.Определите градусную меру центрального угла, если площадь круга равна S, а площадь сектора равна G.

2.Длина дуги, ограничивающей сектор площадью 189 π см, равна 21π см. Определите градусную меру центрального угла.

A) 170°

B) 240°

C) 150°

D) 230°

E) 210°

3.Сектор с радиусом 6 см и углом 300˚ равновелик с другим сектором с центральным углом в 200˚. Определите радиус второго сектора.

A) 5 см

B) 4 см

C) 3 см

D) 6 см

E) 4 см

4.Расстояние между центрами двух окружностей равно 35 см, а их радиусы равны 21 см и 28 см. Определите расстояние между точками пересечения окружностей.

A) 42,8 см

B) 33,6 см

C) 37,9 см

D) 28,4 см

E) 31,2 см

5.Из алюминиевой трубки изготовили пять разных обручей для гимнастики. Диаметр каждого следующего обруча был на 0,1 м больше предыдущего. Определите диаметр меньшего обруча, если затрачено 5 π м трубки.

A) 0,95 м

B) 0,7 м

C) 1 м

D) 0,9 м

E) 0,8 м

6. Угол АВС—вписанный в окружность, О – центр окружности. Хорда АВ=m, а угол АСВ=α/2. Найдите радиус окружности.

А) m

2 sin2α

B) m

2 sin(α/2)

C) m

2 sinα

D) m

sin2α

E) 2 m

sin2α.

7. Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.

А) 5

В) 4

С) 1

D) 3

Е) 2

Приложение 6

Материалы для повторения темы «Треугольники»

1 этап: повторение основных теоретических знаний.

На первом этапе учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочником, пособиями по математике, материалами ГИА или ЕГЭ. Обязательными являются следующие вопросы, которые фиксируются в тетрадях в виде опорного конспекта.

1) Определение треугольника. Виды треугольников. Медиана, биссектриса, высота. Свойства медианы, высоты и биссектрисы. Способы их вычисления. Формулы для вычисления длины медианы и биссектрисы. Теорема о биссектрисе угла треугольника.

2) Признаки равенства треугольников.

3) Равнобедренный треугольник и его свойства.

4) Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.

5) Прямоугольный треугольник и его элементы. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

6) Средняя линия треугольника.

7) Теорема Пифагора, теорема синусов и косинусов.

8) Площадь треугольника. Формулы площадей для всех видов треугольников.

9)Признаки подобия треугольников. Отношение площадей подобных треугольников.

10) Леммы об отношении площадей треугольников, имеющих:

-общую сторону;

-общий угол;

-стороны, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

11) Теорема Менелая

12) Теорема Фалеса.

13) Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей для всех видов треугольников, расположение центров этих окружностей.

14) Определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника и их значения для углов 30, 45, 60 градусов.

Особое внимание обратить на теоремы, которые не изучались в курсе геометрии 7-9кл. Такими являются следующие теоремы.

В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине.

В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.

Теорема. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1.

Тогда Δ A1BC1 и ΔABC подобны, причём коэффициент подобия равен сosB.

Теорема (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Х и У соответственно, а продолжение стороны АС- в точке Z, то AX/XB∙BY/YC∙CZ/ZA=1

Лемма 1. Если стороны АС и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то SΔABC/SΔDEF=AC/DF

Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону АС, то SΔABC/ SΔAB1C= BD/B1D

Лемма 3. Если треугольники АВС и АВС1 имеют общий угол А, то

Теорема ПифагораПлощадь тереугольника

с2=а2+b2

С=

а=

Н2 =ас*bс

а2 =с*bс

в2 =с*bс

S=1/2a*h

S=1/2c*h

S=1/2b*c*sinα

S=1/2a*b*sinβ

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника острого угла

sinα=a/с

сosα=b/c

tgα=a/b

ctgα=b/a

Медиана

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы или радиусу описанной окружности.mc=c/2=R

Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1 считается от вершины.

Формула для вычисления медианы mc=1/2

Биссектриса

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.

Теорема.

Биссектриса углов треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

m/c=n/b

Формула для вычисления длины биссектрисы

Lc=

Описанная окружность

С = 2ΠR; S = πR2; О – середина гипотенузы, центр описанной окружности

R = С/ 2 – радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы

Вписанная окружность

О – точка пересечения биссектрис углов , О – центр вписанной окружности

r = (a+b-c)/2

C= 2πr; S = πr2

Произвольный треугольник

O- точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности.

R=abc/4S; R=a/2sinα, где R-радиус описанной окружности, а- сторона треугольника,

α-противолежащий ей угол.

Теорема косинусов

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

а2=в2+с2-2вс.соsα

Назначения теоремы:

1) зная две стороны и угол между ними найти квадрат третьей стороны, затем сторону

2)зная все три стороны треугольника найти косинус угла, затем сам угол

cosα=в2+с2-а2/2вс если соsα<0, то угол тупой и равен π-arсcosa.

Пример:

cosα=-1/2,

α=180o-60o=120o.

cosα=1/2, α=60o

cosα=/2, α=45o

cosα=/2, α=30o

2 этап: устное решение простейших задач, работа по опорному конспекту

Начертите треугольник АВС. Постройте его медиану СС1. (Воспользовавшись циркулем и линейкой без делений)

Дано: c || d, <1=850 (см/рис.). Вычислите градусную меру углов 2 и 3.

а) Вычислите градусные меры углов треугольника АВС (см.рис.)

d) Найти меньшую сторону треугольника АВС ( Ответ обоснуйте )

Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Одна сторона треугольника на 7 см. больше другой. Вычислите длины сторон треугольника.

Вычислите длину гипотенузы треугольника АВС, если АС=5 (см.рис.)

Вычислите градусную меру углов прямоугольного треугольника, если один из них в 5 раз больше другого.

Задайте ещё один элемент треугольника MKP так, чтоб треугольники ABC и MKP были равны (см.рис.).

Дано: АВ|| CD, FC : СB=5:2 (см.рис.). Вычислите длину отрезка АВ.

Дан треугольник. Чему равны cosα и tgα в этом треугольнике?

Нестандартные задачи

Задача №1

Точки D и E – основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведенных из вершин A и C соответственно. Известно, что = k, BC = a, AB = b. Найдите сторону АС.

Решение:

1 случай:

Высоты опускаются на стороны ∆АВС – остроугольный.

Решение:

, тогда их можно рассмотреть как вписанные углы опирающиеся на дугу 180°, тогда четырехугольник EDCA вписанный, значит, сумма противоположных углов равна 180°,

EDB ~ CAB- по двум углам.

(1) , по условию = k, из СВЕ имеем = cosα ; с другой стороны = k, значит из (1) имеем cosα= k

По теореме косинусов для треугольника ABC имеем:AC²=AB²+BC²-2BCABcosα

AC²=a²+b²-2abk

2 случай

Высоты опускаются на продолжения сторон,т.е. угол B-тупой

D=как вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу EC

=k, =cos(180-α)=-cosα , cosα=-k

Из треугольника ABC имеем AC²=a²+b²-2ab(-k)

AC=

Ответ: ;

Задача №2

В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК: КВ= 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что С L: LВ= 2:1. Пусть Q- точка пересечения прямых АL и СК. Найдите площадь треугольника АВС, зная, что площадь треугольника ВQС равна 1.

Решение

Пусть АК=Х , тогда КВ=2Х. Пусть ВL=у, тогда LС=2у. Применим теорему Менелая . Теорема : Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Х и У соответственно,а продолжение стороны АС-в точке Z, то АХ/ХВ*ВУ/УС*СZ/ZA=1

Применим теорему Менелая к треугольнику АВL и секущей КQ и получим:

ВК/КА*АQ/QL*LС/ВС=1

2х/х* АQ/QL*2у/3у=1

АQ/QL=3/4

АQ= 3 части, QL= 4 части, тогда АL/QL=7/4

Лемма: Если два треугольника имеют общую сторону АС, то S⌂АВС/ S⌂АВ1С=ВД/В1Д

S⌂ABC/S⌂QBC=AL/QL=7/4, т.к ⌂АВС и ⌂QBC имеют общую сторону BC

Итак, S⌂АВС/ S ⌂QBC=7/4, но S ⌂QBC=1, тогда S⌂АВС=7/4

Ответ: 7

Задача № 3

В трапеции АВСД диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД, а диагональ ДВ перпендикулярна боковой стороне АВ. Продолжения боковых сторон АВ и ДС пересекаются в точке К, образуя треугольник АКД с углом 45 градусов при вершине К. Площадь трапеции АВСД равна S. Найти площадь треугольника АКД

Решение.

Теорема: Пусть в остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1 . Тогда треугольники А1ВС1 и треугольник АВС подобны, причём коэффициент подобия равен cos<В

⌂КВС подобен ⌂КАД по предыдущей теореме и k= cos450=√2/2, следовательно,

S⌂КАД/S⌂КВС==(√2/2)2 = ½, а это значит площадь ⌂КВС равна половине площади ⌂КАД, но Sтрапеции= S , S⌂КВС= S, тогда

S⌂КАД=2S.

Ответ: 2S

Задача №4

Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ ВD в точке О. Найти площадь четырёхугольника ОМСD.

Решение.

МС – средняя линия ΔАQD

Sомcд = SΔвcд– SΔвом, SΔвсД = 0.5 * Sпар. = 0.5

ΔВОМ ΔDОА.

ВО/DO = OM/OA = BM/DA = BM/2BM = 0.5

ВО/DO = 0.5; ВО = 1, DO = 2, тогда ВО/ВD = 1/3.

SΔBOM/SΔBCD = BM*BO/BC*BD = 1/2*1/3 = 1/6;

SΔвом = 1/6*SΔвсд = 1/6*1/2 = 1/12

Sомсд = 1/2 - 1/12 = 5/12;

Ответ: 5/12.

Задача №5

Дан ΔАВС, в котором В = 300, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Найти площадь ΔАВD.

Решение:

Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

АВ/AD = BC/DC; 4/AD = 6/DC; DC/AD = 3/2 AD = 3/2DC; DC = 3, AD = 2.

SΔABD = 1/2*AB*AD*sin;

SΔABC = 1/2*AB*AC*sin;

SΔABD /SΔABC = 1/2*AB*AD*sin/1/2*AB*AC*sin = 2/5.

SΔABD = 2/5*SΔABC = 2/5*1/2*4*6*sin300 = 4*6/5*1/2 = 12/5.

Ответ: 12/5.

Задача №6

В прямоугольный равнобедренный ▲АВС, ГДЕ <В = 90° вписан прямоугольный треугольник МNC так, что угол MNC прямой, точка N лежит на АС, а точка М на отрезке АВ. В каком отношении точка N должна делить гипотенузу АС, чтобы площадь треугольника MNC составляла 3/8 от площади ▲АВС.

Решение.

Пусть АВ=ВС=1, АМ=х, 0<x<1, тогда ВМ=1-х,

значит AN=MN=х/ √2 ; СА = √12 +12 = √2, тогда СN = √2 -х/ √2

S▲MNC = 3/8 S▲АВС; 1/2MN·NC = 3/8*1/2*1*1

х/ √2·(√2 – х/ √2) = 3/8;

х – х2/ 2 -3/8= 0

4х2 – 8х+3 = 0

D/4 = 16-12 = 4

Х1 = (4+2) / 4 = 3/2

Х2= (4-2)/ 4 = 1/2, но 0<X<1

Значит, АМ = 1/2, тогда AN= 1/ 2√2, CN = √2 - 1/ 2√2 = 3/ 2√2

AN/ CN= 2√2 / 2√2· 3 = 1/3

Ответ: 1/3

Задача №7

Точки Р и Q расположены на стороне ВС ∆АВС так, что ВР/РQ/ QС=1/2/3.Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что АR/RС=1/2.Чему равно отношение площади четырёхугольника РQST к площади ∆АВС, где S и T – точки пересечения прямой ВRС прямыми АQ и АР соответственно.

Решение:

Пусть ВР=х, АR=у, тогда РQ=2х,QC=3x, RC=2у.

Применим теорему Менелая к ∆АСQ и секущей SR и получим

СR/AR * AS/SQ * BQ/BC = 1; 2y/y * AS/SQ * 3x/6x = 1; AS/SQ = 1;

AS= 1 часть, SQ= 1 часть; AS/AQ = 1/2.

Применим теорему Менелая к ∆АСР и секущей ТR получим:

СR/AR *АТ/ТР * ВР/ВС = 1; 2y/y * АТ/ТР * x/6x = 1; АТ/ТR = 3;

АТ = 3 части, ТR = 1 часть,

Тогда АТ/АР = 3/4.

К ∆AST и ∆АРQ применим лемму: если треугольники AST и АРQ имеют общий угол, то S∆AST/S∆АРQ = АТ*AS/AP*AQ = 3/4 * 1/2 = 3/8

S∆AST = 3 части, S∆АРQ = 8 частей, тогда STSQP = 5 частей,

Значит, SPQTS/ S∆АРQ = 5/8.

У ∆АВС и ∆АРQ основания ВС и РQ лежат на одной прямой, тогда применим лемму: если стороны ВС и РQ лежат на одной прямой (или на параллельных прямых), то

S∆АРQ/ S∆АВС = РQ/ ВС = 2х/6х = 1/3;

тогда S∆АРQ = 1 часть, S∆АВС = 3 части.

S∆АРQ = 1/3 * S∆АВС = 8;

S∆АВС = 24

SPQST/ S∆АРQ = 5/24.

Ответ:5/24.

Задача №8

Дано: трапеция АВСD, причем известно что ВС = а, АD = в. Параллельно ее основаниям BC и AD пересекающая сторону АВ в точке Р, диагональ АС в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q.

Известно, PL = LR. Найти PQ.

Решение:

∆APL ∞ ∆ABC

∆DQR ∞ ∆DCB

По Теореме Фалеса:

значит PL=QR.

Пусть PL = LR = RQ = x,

Рассмотрим: ∆APL ∞ ∆ABC;

∆PBR ∞ ∆ABD; ; =

Имеем далее:

Значит, PQ =

Ответ: