Урок на тему «Построение графиков функций путем преобразования»

Презентация на тему: Построение графиков функций путем преобразования

Цели урока:

Повторить способы преобразования графиков функций.

Проверить знания учащихся.

Преобразования:

1. y = f(x – a)

2. y = f(x) + b

3. y = - f(x)

4. y = f(-x) 5. y = kf(x), где k>0

6. y = f(kx), где k>0

7. y = |f(x)|

8. y = f(|x|) 

Запишите уравнение параболы с координатами вершины (x0 ;y)

Параллельный перенос (сдвиг). Рассмотрим параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции y = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y = f(x – a), a>0 ? 

График функции y = f (x - a), a > 0, получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц вправо.

Ясно, что если а<0, то график функции y = f (x - a) получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц влево.

Пример 1. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 4 единицы влево.

Пример 2. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 2 единицы вправо.

Рассмотрим теперь параллельный перенос вдоль оси ординат. В этом случае график функции y = f(x) + b получается из графика функции y=f(x) при b > 0 смещением на b единиц вверх, а при b < 0 – на |b| единиц вниз.

Пример 3. Чтобы построить график функции , сначала строим график функции , а затем сдвигаем его вниз на единицу.

Пример 4. Чтобы построить график функции , сначала строим график функции , а затем сдвигаем его вверх на единицу. Тест

Тест. Вопрос 1. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу.

Вопрос 2. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу.

Вопрос 3. График функции получен из данного с помощью параллельного переноса и симметричного отображения относительно прямой Ох. Напишите соответствующую формулу.

2. Деформация (растяжение и сжатие) графика. График функции у = f(ω·x), ω>0, получается из графика функции у = f(x), «сжатием» к оси у в ω раз при ω>1 и «растяжением» от оси у в раз при 0<ω<1. График функции у = k·f(x), k>0, получается из графика функции у = f(x), «растяжением» от оси х в k раз при k>1 и «сжатием» к оси х в раз при 0< k<1.

Пример 5. График функции y =sin 2x получается из графика функций y = sin x «сжатием» к оси у в 2 раза. 

Пример 6. График функции получается из графика функции «растяжением» от оси у в 2 раза. 

Пример 7. График функции y = 2·f(x) получается из графика функции y = f(x) «растяжением» от оси х в 2 раза. 

Пример 8. График функции получается из графика функции «сжатием» к оси х в 2 раза. 

 

3. Отражение. График функции получается зеркальным отражением графика функции относительно оси х. 

График функции получается зеркальным отражением графика функции относительно оси у.

График функции получается из графика функции следующим образом:

а) Часть графика, лежащую над осью x, оставляем без изменения;

б) Часть графика, лежащую под осью x, отражаем симметрично относительно оси x. Таким образом, ниже оси Ox графика нет.

;

– четная функция, ее график получится отражением ветви при x≥0 графика функции симметрично относительно оси Оу. Ветвь графика при х < 0 пропадает.

Замечание. Нетрудно показать, что если периодическая функция с периодом , то функция , , является периодической с периодом. В самом деле, так как функция имеет период , то при любом x выполняется равенство . Положим ; тогда для любого х получим

и, следовательно, функция имеет период . Например, функция имеет период , а функция - период . 

Список использованной литературы:

1. Бахтина Т. П. «Таблетки» и «компрессы» при построении графиков. // Математика в школе. 2000. № 8.

2. Игудисман О. С. Математика на устном экзамене. Пособие для поступающих в вузы с повышенными требованиями по математике. ─ М: «Московский Лицей», 1997.

3. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. ─ М: Школа-Пресс, 1997. - 384с. (Cерия «ШАНС» — «Школа Абитуриента: Научись Сам»).

Построение графиков функций путем преобразования
PPT / 659.5 Кб