Урок на тему «Построение графиков функций путем преобразования» (9–11 класс)

<номер> Построение графиков функций путем преобразования

<номер> Цели урока: Повторить способы преобразования графиков функций. Проверить знания учащихся.

<номер> Преобразования: y = f(x – a) y = f(x) + b y = - f(x) y = f(-x) y = kf(x), где k>0 y = f(kx), где k>0 y = |f(x)| y = f(|x|)

<номер> y=x2 y0 x0 Запишите уравнение параболы с координатами вершины ( ) x0;y0

<номер> 1. Параллельный перенос (сдвиг). Рассмотрим параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции y = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y = f(x – a), a>0 ?

<номер> График функции y = f (x - a), a > 0, получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц вправо. y=f(x) y=f(x - 2) (a = 2) y=f(x)

<номер> Ясно, что если а<0, то график функции y = f (x - a) получается из графика функции y = f(x) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц влево. y=f(x) y=f(x+1) (a = -1) y=f(x)

<номер> Пример 1. График функции y = (x + 4)2 получается из графика функции y = x2 сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 4 единицы влево. y=x2 y=(x+4)2 y=x2

<номер> Пример 2. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 2 единицы вправо. 2   x y

<номер> Рассмотрим теперь параллельный перенос вдоль оси ординат. В этом случае график функции y = f(x) + b получается из графика функции y=f(x) при b > 0 смещением на b единиц вверх, а при b < 0 – на |b| единиц вниз.

<номер> y =3x y=3x - 1 Пример 3. Чтобы построить график функции y=3x - 1, сначала строим график функции y =3x, а затем сдвигаем его вниз на единицу.

<номер> Пример 4. Чтобы построить график функции , сначала строим график функции , а затем сдвигаем его вверх на единицу. Тест

<номер> Тест Вопрос 1. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x2 1. 2. 3. 4. y=x2

<номер> Вопрос 2. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x3 1. 2. 3. 4. y=x3

<номер> y=x2 1. 2. 3. 4. График функции получен из данного с помощью параллельного переноса и симметричного отображения относительно прямой Ох. Напишите соответствующую формулу. Вопрос 3.

<номер> 2. Деформация (растяжение и сжатие) графика. График функции у = f(ω·x), ω > 0 , получается из графика функции у = f(x), «сжатием» к оси у в ω раз при ω > 1 и «растяжением» от оси у в раз при 0 < ω < 1. График функции у = k·f(x), k > 0 , получается из графика функции у = f(x), «растяжением» от оси х в k раз при k > 1 и «сжатием» к оси х в раз при 0 < k <1. Замечание. Показать Показать

<номер> y=sin x y=sin 2x Пример 5. График функции y =sin 2x получается из графика функций y = sin x «сжатием» к оси у в 2 раза.

<номер> Пример 6. График функции получается из графика функции y = sin x «растяжением» от оси у в 2 раза.

<номер> y = f(x) y = 2·f(x) Пример 7. График функции y = 2·f(x) получается из графика функции y = f(x) «растяжением» от оси х в 2 раза.

<номер> Пример 8. График функции получается из графика функции y = f(x) «сжатием» к оси х в 2 раза .

<номер> y = f(x) y = -f(x) х у 3. Отражение. График функции y = - f(x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси х.

<номер> y = f(x) х у График функции y = f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси у. y = f(-x)

<номер> График функции y=|f(x)| получается из графика функции y= f(x) следующим образом: а) Часть графика, лежащую над осью x, оставляем без изменения; б) Часть графика, лежащую под осью x, отражаем симметрично относительно оси x. Таким образом, ниже оси Ox графика нет. y = f (x) y=|f(x)|

<номер> y= f (|x|); y=f(| x |) – четная функция, ее график получится отражением ветви при x ≥ 0 графика функции y = f(x) симметрично относительно оси Оу. Ветвь графика y = f(x) при х < 0 пропадает. y = f (x) у = f(| x |)

Замечание. <номер> Нетрудно показать, что если у = f(x) − периодическая функция с периодом Т, то функция у = f(ω·x), ω > 0, является периодической с периодом . В самом деле, так как функция f(x) имеет период Т, то при любом х выполняется равенство f(x + T) = f(x). Положим φ(x)=f(ω·x) ; тогда для любого х получим и, следовательно, функция φ(x) имеет период . Например, функция y = sin2x имеет период , а функция − период .