Практическая тетрадь по теме «Производная и её применение»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Производная и её применение»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Производная и её применение» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Возрастание и убывание функции

Пусть значения производной функции у = f (х). положительны на некотором промежутке, т.е. f’(х)> 0. Тогда угловой коэффициент касательной tg a = f’(x) к графику этой функции в каждой точке данного промежутка положителен; это означает, что касательная к графику функции направлена вверх и поэтому график функции на этом промежутке “поднимается”, т.е. функция f (x) возрастает. Если f’(x)< 0 на некотором промежутке, то угловой коэффициент касательно tg a = f’(x) к графику функции y = f(x) отрицателен. Это означает, что касательная к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке “опускается”, т.е. функция f(x) убывает.

Итак, если f’(x)> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f/ (x)>0 на интервале (а, х0) и f/ (x)<0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой максимума функции f Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0,а f/(x)<0 на интервале (а, х0) и f/ (x)>0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой минимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Исследование функции

При исследовании свойств функции полезно найти:

область её определения

производную

стационарные точки

промежутки возрастания и убывания

точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат, и быть может ещё несколько точек графика.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Построить график функции f(x) = 1 - x – x

f’(x) = -5x-5x = -5x(1+x)

Решая уравнение –x(1+ x) = 0, находим стационарные точки x = -1 и x = 0.

Производная положительна на интервале – 1 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.

Стационарная точка x = -1 является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с “-“ на “+” f (-1) = -0,5. Точка х = 0 – точка максимума, т.к. при переходе через неё производная меняет знак с “+” на “-“ f (0) = 1

1. 1. 1. Область определения – множество R всех действительных чисел

Составим таблицу:

Используя результаты исследования, строим график функции y = 1 -

2. Найдите интервалы монотонности функции f (x) = x – 3x

Решение: Найдём производную f’(x) = 3х – 6х

Решим неравенство методом интервалов 3х – 6ч >0, найдём нули функции

3х – 6х = 0 3х (х – 2) = 0 3х = 0 или х – 2 = 0 х = 0 х = 2

Ответ:].

 

3.Найдите точки экстремума функции f (x) = х – 4х

Решение: Найдём производную f’(x) = 4x – 12x= 4x(x – 3)

. Найдём стационарные точки

4x(x – 3) = 0 4х = 0 х – 3 = 0 х = 0 х = 3

Методом интервалов устанавливаем, что производное 4x(x – 3)положительна при x > 3

отрицательна при x < 0 и при 0 < x < 3

Т.к. при переходе через точку х = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с

“-“ на “+”, поэтому х = 3 точка минимума.

4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х на отрезке [; 2]

Интервалу принадлежит одна стационарная точка

Из чисел наибольшее 9,5 и наименьшее 4.

Ответ: наибольшее значение функции равно 9,5 и наименьшее 4.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Найдите промежутки возрастания функции:

Ответ:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Ответ: max y = 0, min y = - 2

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Ответ: 57, -55

 

Найдите промежутки убывания

Ответ:

 

Найдите точки экстремума:

Ответ:1, 3

 

Найдите экстремумы функции:

Ответ:

Найдите экстремумы функции:

Ответ: 8

 

Найти наименьшее возможное значение периметра параллелограмма с острым углом 30 и площадью 2см.

Ответ: 4 см

Число 24 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что произведение их квадратов принимает наибольшее значение:

Ответ:8 и 16

 

Площадь прямоугольника равна 81 см. Найти наименьший возможный периметр этого прямоугольника

Ответ:36 см

ТЕСТ №1

 

1. Дана функция Найдите ее критические точки.

А) 2;-1; В) 1;-2; С) -3;1; D) -2;3
2. Найдите точки экстремума функции

А) xmax=3, xmin=0; В) xmin=3, xmax=0; С) xmin=3 D) .

3. Дан график функции у = . Какие из утверждений верные:

а, с — критические точки;

а, с — точки экстремума;

на дифференцируемая;

[а, с] — промежуток убывания функции;

1 — точка максимума;

mах = п;

xmax=a.

А) 2,3,4,6,7; В) 3,4,5,6,7; C) 1,2,4,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7

4. Найдите промежутки убывания функции

А) [-4;0] В) (-]; С) [4;+) D) [0;4]

5. Найдите промежутки возрастания функции

А) В) (0,25:0,25) С) D)

 

6. Укажите график функции

 

 

 

7. Найдите экстремумы функции

А) 2; В) 1,5; С) ; D)

8. При каком значении а функция имеет экстремум в точках х= -2 и х=2?

А) 2 В) 12 С) 8 D) 4

9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенств

А) 0; В) -1; С) 2; D) 1.

10. При каких значениях х функция не дифференцируема?

А) - В) 2; С) -2;2; D);

ТЕСТ № 2

1. Дана функция Найдите ее критические точки.

А)-1; 3; В) -2; 1,5; С)-1,5; 2; D) 0,5; 2.

2. Найдите точки экстремума функции

А) xmin=0, xmax= -1,5; В) xmin= -1,5, xmax=0 С) xmin= -1,5; D) xmax=1,5

3. Дан график функции у=. Какие из утверждений

верные:

b, m — критические точки;

 

1. b, т — точки экстремума;

    

   k — точка минимума;

   [b;m] — промежуток возрастания функции;

   на (а; р) — дифференцируемая;

6) xmin= b;

7) min [a;p]

А) 3,4,5,6,7; В) 1,2,4,6,7; С)1,2,3,4,5,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7

4. Найдите промежутки возрастания функции

А) [-6;0]; В) [0;6] С) D )

5. Найдите промежутки убывания функции

А) ; В) ; С) D) ;

6. Укажите график функции

7. Найдите экстремумы функции

А) 3; В) 2; С)4; D) 8.

8.При каком значении m функция имеет экстремум в точках х = 0 и х =6?

А) 12,5; В)15; С)7,5; D)10

9. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

А) 0; В)1; С) -1; D) 2.

10. При каких значениях х функция не дифференцируема?

А)1; В)0; С)-1;1; D)0

ОТВЕТЫ

Тема: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ