Практическая тетрадь по теме «Первообразная и интеграл»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Первообразная и интеграл»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Первообразная и интеграл» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Определение. Если для любого из множества Х выполняется равенство , то функцию называют первообразной для функции на данном промежутке.

Криволинейной трапецией называют,фигуру ограниченную графиком этой функции, отрезком [a;b] и прямыми и .

Формула нахождения неопределенного интеграла:

Формула Ньютона –Лейбница:

Формула вычисления площади криволинейной трапеции:

Формула вычисления объема тела вращения:

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИИЯМИ

Пример1. Вычислите интеграл:

Решение: Одной из первообразных для подынтегральной функции будет . Следовательно, имеем .

Пример2. Найти одну из первообразных функции

Решение: Используя, правила интегрирования и таблицу первообразных для функции при и для ,находим одну из первообразных данной функции:

Ответ:.

Пример 3. Для функции найти первообразную, график которой проходит через точку .

Решение: Общим видом первообразных для является функция .Решая уравнение:

Таким образом ,искомая первообразная есть функция

Ответ: .

Пример 4. Найдите неопределенный интеграл: .

Решение:Для первообразной является .Поэтому по правилу 3 получаем: .

Пример 5. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: и

Решение: Построим на координатной плоскости параболу с вершиной в точке и ветвями, направленными вверх. Проведем прямые ,параллельные оси ,проходящие соответственно через точки А(2;0) и В(3:0), а прямая у=0 совпадает с осью .

Тогда получим криволинейную трапецию АВСД, ограниченную сверху графиком функции ,прямыми и осью ,площадь которой можно вычислить ,используя формулу вычисления площади криволинейной трапеции: .

Так как ,то, используя первое и второе правила нахождения первообразных, имеем .

Учитывая, что в данном случае,по формуле вычисления площади криволинейной трапеции получим:

.

Ответ: кв.ед.

Пример 6. Вычислим интеграл:

Решение: Для функции первообразная равна , поэтому для функции

первообразной является . Следовательно,

=.

Пример 7.

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис.

V=V1 –V2 , где V1-объём тела ,полученного при вращении криволинейной трапеции ОВСД, а V2 –объём тела полученного при вращении прямоугольника ОВРЕ вокруг оси абсцисс.

.

Ответ:.

Пример 8. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от до ,если скорость точки меняется по закону υ(t)=3t2+2t+1.

Решение: Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=5, есть .

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Найдите, первообразную функции:

Ответ: .

Найдите, первообразную функции: .

Ответ:

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми осью и графиком функции .

Ответ: 6

Для функции найдите, первообразную, принимающее заданное значение в указанной точке:.

Ответ:

Найдите, общий вид первообразных для функции:

Ответ:

Вычислите интеграл: .

Ответ:

Решите уравнение:

Ответ: 1

 

ТЕСТ №1

1. Найдите, первообразную функции :

А) В) С)

D) Е)

2. Найдите, первообразную функции

А) В) С)

D) Е)

3. Вычислите интеграл:

А) В) С) D) Е)

4. Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями:

А) В) С) D) Е)

5. Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральную функцию:

А) В) С) D) Е)

6. Тело движется прямолинейно со скоростью υ(t)=2t2+t(м/с) ,t1=1,t2=3. Вычислите путь пройденный телом за промежуток времени от t=t1 до t=t2:

А) В) С) D) Е)

7. Вычислите интегралы:

А) 10 В) 20 С)30 D)40 Е)50

8. При каких значениях выполняется равенство:

А) В) С) D) Е)

9. Вычислите:

А) В) С) D) Е)

10. Найдите, множество первообразных для функции:

А) ; В) ;С) ; D) ; Е).

ТЕСТ №2

Найдите, первообразную функции :

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) .

2. Найдите, первообразную функции

А) В) С)

D) Е)

3. Вычислите интеграл:

А) В) С) D) Е)

4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции прямыми

А) В) С) D ) Е)

5. Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции :

А) В) -2 С)3 D)-3 Е)0

6. Скорость прямолинейно движущегося тела равна υ(t)=4t-t2. Вычислите путь, пройденным телом от начала движения до остановки.

А) В) С) D) Е)

7. Вычислите интеграл: .

А) 24 В) 44 С)42 D)22 Е) 0

8. Для функции , найти первообразную ,график которой проходит через точку М (0;1)

А) В) С)

D) Е)

9. По заданной площади криволинейной трапеции найдите значение параметра ,если

А) В) С) D) Е)

10. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: и .

А) В) С) D) Е) .

ОТВЕТЫ

Тема: ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛ