Практическая тетрадь по теме «Степени и корни. Степенная функция»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Степени и корни. Степенная функция.»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Степени и корни. Степенная функция.» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанным темам. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Корень –ой степени и его свойства

Определение: Корнем -ой степени ( – натуральное число, отличное от 1) из числа называется такое число , -ая степень которого равна числу .

, где .

Определение: Арифметическим корнем -ой степени от отрицательного числа называется неотрицательное число , -ая степень которого равна числу .

Свойства:Для положительных чисел при для корней –ой, ой степени

; 2. ;

3. = ; 4. = ;

5. = ; 6. = .

 

Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Способы решения иррациональных уравнений:

1. Возведение обеих частей уравнения в одинаковую степень

Алгоритм:

а) преобразовывая данное иррациональное уравнение, приводим его к виду:

= ;

б) возводим обе части уравнения в –ую степень = и получим уравнение вида = , способ решения которого известен;

в) решаем последнее уравнение, затем делаем проверку, подставляя значения его корней в данное уравнение. Значения корней, удовлетворяющих данное уравнение, берем в качестве решения.

Значения корней, не удовлетворяющих данное уравнение, называются посторонними корнями.

2. Введение новой переменной.

Степень с рациональным показателем

Определение: Степенью числа с рациональным показателем называется значение корня –ой степени из числа .

= .

Свойства: Для любых чисел , для любых целых чисел

; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. , то при ;

при .

Свойства: Для и любых рациональных чисел

; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. - рациональное число и , то

при r при r

7. для рациональных чисел из неравенства r, получаем при , , при .

Степенная функция, ее свойства и график

Определение: Функция, заданная формулой = , , называется степенной функцией.

1. Все функции с натуральным показателем можно определить формулой , n.

а) Если в формуле n = 0, то = Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс, ординаты точек которых равны.

б) Если в формуле n – четное число, тогда графики функций будут параболами четных степеней, а если нечетные числа, то будут параболами нечетных степеней. График параболы четной степени симметричны относительно оси ординат, а графики нечетной степени симметричны относительно начала координат.

в) Если в формуле число n заменить на – n, то получим степную функцию с целым отрицательным показателем:, n.

у у у

 

у=1 у= у=

0 х 0 х 0 х

 

 

Если α =, где - натуральные взаимно простые числа и , то имеем степенную функцию c положительным дробным показателем.

 

 

а) n – четное, - нечетное; б) n – нечетное, – четное, в) n, – нечетные.

у у= (n – четное у у= (n – нечетное у у=

- нечетное) - четное) (n,–нечетные

0 х 0 х 0 х

 

Если α =, где - натуральные взаимно простые числа и , то имеем степенную функцию c положительным дробным показателем. График данной функции.

 

у у=

(

0 х

 

 

Если α =, где - натуральные взаимно простые числа, то имеем степенную функцию c отрицательным дробным показателем. Вид график данной функции зависит от четности и нечетности значений.

у у= (n – четное у у= (n – нечетное у у=

- нечетное) - четное) (n,–нечетные

0 х 0 х 0 х

 

 

Дифференцирование и интегрирование степенной функции

Теорема 1: Если х>0 и ∝ - любое действительное число, то производная функции = вычисляется по формуле

= = ∝

 

 

Теорема 2: Если ∝≠-1 общий вид первообразной степенной функции у = определяется по формуле

.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Корень –ой степени и его свойства

Пример 1. Вычислите:

а) ; б) ; в); г) .

 

Решение:

а) = и = -, так как = и = .

Ответ: и -

 

б) = 3, так как = 27.

Ответ: 3

 

в) = -, так как = - .

Ответ: -

г) = 4, так как = 64.

Ответ: 4

 

Пример 2. Найдите значение выражения:

а) ; б) · в) г) д) е)

ж) ·

Решение:

а) = · = 2 · 5 = 10

Ответ: 10

 

б) · = = = 2

Ответ: 2

 

в) = = =

Ответ:

 

г) = = 2

Ответ: 2

 

д) = ) ³ = 2 ³ = 8

Ответ: 8

 

е) =

Ответ: 3

ж) · = = = = = 4

Ответ: 4

 

 

Пример 3.Вынесите множитель из-под знака корня:

а) б) в)

 

Решение:

а) =

Ответ:

 

б) = =

Ответ:

в) = = -2

Ответ: -2

 

 

Пример 4.Внесите под знак корня:

а) б) в)

Решение:

а) , так как корень третьей степени, внесем число 4 под корень с показателем 3.

= =

Ответ:

 

б) , так как - неотрицательное число и корень четвертой степени, под знак корня внесем число с показателем 4.

=

Ответ:

 

в) , так как корень восьмой степени, внесем число под корень с показателем 8.

= =

Ответ:

 

Пример 5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

а) б) в)

 

Решение: необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженную дробь

а) = = = =

Ответ:

 

б) = = = =

Ответ:

 

в) = = = = -

Ответ:

 

Иррациональные уравнения

Пример 1. Решите уравнение:

а) б) в) x - 8

Решение: Обе части этого уравнения возведем вквадрат, откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения.

а) , ⟹ = , ⟹ = 0, ⇒, ₂. Сразу ясно, что число -1 не является корнем уравнения, так как обе части не определены при ₂. При подстановке в уравнение 2 получаем верное равенство . Следовательно, решением является .

Ответ:

б) ⟹ = 4 - , ⟹ = 10, ⇒ При подстановке в уравнение 5 получаем, что данное число не является корнем уравнения. Следовательно, уравнение не имеет решения.

Ответ: Ø

в) x – 8, по определению - это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Уравнение x – 8 равносильно системе

Из первого уравнения получим , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для = 11.

Ответ: = 11.

 

Пример 2. Решите уравнение:

а)

Решение: Обе части этого уравнения возведем вкуб: )³ ⟹, откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения.

⟹⟹⟹⟹, ₂

Ответ:, ₂

 

Пример 3. Решите систему уравнений:

а)

Решение: Положим , получим систему

Разложим левую часть второго уравнения на множители: ) и подставим в него из первого уравнения = 4. Тогда получим систему уравнения , равносильную второй:

Подставляя во второе уравнение значение , найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. .

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: . Соответствующие значения таковы: . Переходим к переменным , получаем: , т.е., .

Ответ: (1;27), (27,1)

Степень с рациональным показателем

Пример 1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) б) в)

 

Решение:

а) =

Ответ:

 

б) =

Ответ:

 

в)=

Ответ:

 

 

Пример 2. Представьте выражение в виде корня:

а) б) в)

 

Решение:

а) =

Ответ:

 

б) = =

Ответ:

 

в) =

Ответ:

 

 

Пример 3.Найдите значение числового выражения:

а) б) ) в) -

Решение:

а) = = = 2 · 5 = 10

Ответ: 10

 

б) ) = = = 2 · 27 = 54

Ответ: 54

 

в) - = 9 + - = 9 + 27 – 5 = 31

Ответ: 21

 

Пример 4.Упростите выражения:
 

а) б)

Решение:

а) = = =

Ответ:

б) = =

Ответ:

 

 

Пример 5.Сравните числа:

 

а) б)

Решение:

а) , запишем в виде степени с рациональным показателем: . Получаем, так как

Ответ:

 

б) . Запишите эти числа в виде степеней с одинаковыми показателем:, , так как 8<9, получаем

Ответ:

Степенная функция, ее свойства и график

Пример 1.Постройте схематически график функции y = f(x):

а) б)

 

Решение:

а) б)

y y

 

 

 

 

0 x 0 x

 

 

 

Дифференцирование и интегрирование степенной функции

Пример 1. Найдите производные функции f(x):

а) б)

 

Решение: Используем правила вычисления производных и формулы:

а) = =

Ответ:

б) = = =

Ответ:

 

 

Пример 2. Найдите неопределенный интеграл:

а) б) в)

Решение:

а) = + C

Ответ: + C

б) = + C = + C = + C

Ответ: + C

 

в) = + C = + C = + C

Ответ: + C

 

 

Пример 3. Найдите определенный интеграл:

а) б)

Решение:

а) = = - = - = 39

Ответ:

 

б) = = = = (243 – 1) = = 96

Ответ:

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Корень –ой степени и его свойства

1. Вычислите:

а) б)

Ответ: 10 Ответ: и -

в) г)

Ответ: Ответ: и -

2. Найдите значение выражения:

а) б) ·

Ответ: 3 Ответ: 6

 

 

в) г)

Ответ: 5 Ответ:

 

д) е) + ж) ·

Ответ: 9 Ответ: 2 Ответ: 9

 

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) б)

Ответ: Ответ: 2

 

в) г)

Ответ: Ответ:

 

4. Внесите под знак корня:

а) б) в)

Ответ: Ответ: Ответ:

5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

а) б) в)

Ответ: Ответ: Ответ:

 

г) д)

Ответ: Ответ:

 

 

 

 

 

Иррациональные уравнения

1. Решите уравнение:

а) б)

Ответ: , ₂ Ответ: 8

 

в) г)

Ответ: = 0, = 1 Ответ: = 5

2. Решите уравнение:

а) = 3 б)

Ответ: = -10, = 2 Ответ: = 61

3. Решите систему уравнений:

а) б)

Ответ: (27;1), (-1;-27) Ответ: (16;4), (36;1

Степень с рациональным показателем

1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) б) в)

Ответ: Ответ: Ответ:

 

2. Представьте выражение в виде корня:

а) б) в)

Ответ: Ответ: Ответ:

 

3. Найдите значение числового выражения:

а) б) в) +19(-

Ответ: 10 Ответ: Ответ: 32

4. Упростите выражения:

а) б)

Ответ: Ответ:

в) ·

Ответ:

 

 

 

5. Сравните числа:

а) б) в)

Ответ: Ответ: Ответ:

Степенная функция, ее свойства и график

1. Постройте схематически график функции y = f(x):

а) б) в) г)

 

Дифференцирование и интегрирование степенной функции

1. Найдите производные функции f(x):

а) б) в)

Ответ: 2 Ответ:- Ответ: -

 

 

2. Найдите неопределенный интеграл:

а) б) в)

Ответ: + C Ответ: + C Ответ: - + C

 

 

 

3. Найдите определенный интеграл:

а) б)

Ответ: 8- Ответ: 36