Практическая тетрадь по теме «Степени и корни. Степенная функция» (10–11 класс)
ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ
по теме «Степени и корни. Степенная функция.»
Пояснительная записка:
Практическая тетрадь «Степени и корни. Степенная функция.» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанным темам. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.
Тема: СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Корень 
–ой степени и его свойства
Определение: Корнем -ой степени ( – натуральное число, отличное от 1) из числа 
называется такое число 
, -ая степень которого равна числу .
, где 
.
Определение: Арифметическим корнем -ой степени от отрицательного числа называется неотрицательное число , -ая степень которого равна числу .
Свойства:Для положительных чисел 
при 
для корней –ой, 
ой степени
; 2. 
;
3. 
= 
; 4. 
= 
;
5. 
= 
; 6. 
= 
.
Иррациональные уравнения
Определение: Иррациональным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.
Способы решения иррациональных уравнений:
1. Возведение обеих частей уравнения в одинаковую степень
Алгоритм:
а) преобразовывая данное иррациональное уравнение, приводим его к виду:
= 
;
б) возводим обе части уравнения в –ую степень 
= 
и получим уравнение вида 
= 
, способ решения которого известен;
в) решаем последнее уравнение, затем делаем проверку, подставляя значения его корней в данное уравнение. Значения корней, удовлетворяющих данное уравнение, берем в качестве решения.
Значения корней, не удовлетворяющих данное уравнение, называются посторонними корнями.
2. Введение новой переменной.
Степень с рациональным показателем
Определение: Степенью числа 
с рациональным показателем 
называется значение корня –ой степени из числа 
.
= 
.
Свойства: Для любых чисел , для любых целых чисел 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
, то 
при 
;
при 
.
Свойства: Для 
и любых рациональных чисел 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
- рациональное число и 
, то
при r
при r
7. для рациональных чисел из неравенства r
, получаем 
при , 
, при .
Степенная функция, ее свойства и график
Определение: Функция, заданная формулой 
= 
, 
, называется степенной функцией.
1. Все функции с натуральным показателем можно определить формулой 
, n
.
а) Если в формуле n = 0, то = 
Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс, ординаты точек которых равны.
б) Если в формуле n – четное число, тогда графики функций будут параболами четных степеней, а если нечетные числа, то будут параболами нечетных степеней. График параболы четной степени симметричны относительно оси ординат, а графики нечетной степени симметричны относительно начала координат.
в) Если в формуле число n заменить на – n, то получим степную функцию с целым отрицательным показателем:
, n.
у у у
у=1 у= 
у= 
0 х 0 х 0 х
Если α =, где - натуральные взаимно простые числа и 
, то имеем степенную функцию 
c положительным дробным показателем.
а) n – четное, 
- нечетное; б) n – нечетное, – четное, в) n, – нечетные.
у у=
(n – четное у у= (n – нечетное у у=
- нечетное) - четное) (n,–нечетные
0 х 0 х 0 х
Если α =, где - натуральные взаимно простые числа и 
, то имеем степенную функцию c положительным дробным показателем. График данной функции.
у у=
(
0 х
Если α =
, где - натуральные взаимно простые числа, то имеем степенную функцию 
c отрицательным дробным показателем. Вид график данной функции зависит от четности и нечетности значений.
у у=
(n – четное у у= (n – нечетное у у=
- нечетное) - четное) (n,–нечетные
0 х 0 х 0 х
Дифференцирование и интегрирование степенной функции
Теорема 1: Если х>0 и ∝ - любое действительное число, то производная функции = вычисляется по формуле
=
= ∝
Теорема 2: Если ∝≠-1 общий вид первообразной степенной функции у = определяется по формуле
.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Корень –ой степени и его свойства
Пример 1. Вычислите:
а) 
; б) 
; в)
; г) 
.
Решение:
а) = 
и = -, так как 
= 
и 
= .
Ответ: и -
б) = 3, так как 
= 27.
Ответ: 3
в) = -
, так как 
= -
.
Ответ: -
г) = 4, так как 
= 64.
Ответ: 4
Пример 2. Найдите значение выражения:
а) 
; б) 
· 
в)
г) 
д) 
е) 
ж) 
· 
Решение:
а) = 
· 
= 2 · 5 = 10
Ответ: 10
б) · = 
= 
= 2
Ответ: 2
в) = 
= 
= 
Ответ:
г) = 
= 2
Ответ: 2
д) = 
) ³ = 2 ³ = 8
Ответ: 8
е) 
= 
Ответ: 3
ж) · = 
= 
= 
= = 4
Ответ: 4
Пример 3.Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 
б) 
в) 
Решение:
а) = 
Ответ: 
б) = 
= 
Ответ:
в) = 
= -2
Ответ: -2
Пример 4.Внесите под знак корня:
а) 
б) 
в) 
Решение:
а) , так как корень третьей степени, внесем число 4 под корень с показателем 3.
= 
= 
Ответ:
б) , так как - неотрицательное число и корень четвертой степени, под знак корня внесем число с показателем 4.
= 
Ответ:
в) , так как корень восьмой степени, внесем число под корень с показателем 8.
= 
= 
Ответ:
Пример 5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:
а) 
б) 
в) 
Решение: необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженную дробь
а) = 
= 
= 
= 
Ответ:
б) = 
= 
= 
= 
Ответ:
в) = 
= 
= 
= - 
Ответ:
Иррациональные уравнения
Пример 1. Решите уравнение:
а)
б) 
в) 
x - 8
Решение: Обе части этого уравнения возведем вквадрат, откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения.
а) , ⟹
= 
, ⟹
= 0, ⇒
, ₂
. Сразу ясно, что число -1 не является корнем уравнения, так как обе части не определены при ₂. При подстановке в уравнение 2 получаем верное равенство 
. Следовательно, решением является .
Ответ:
б) ⟹
= 4 - , ⟹
= 10, ⇒
При подстановке в уравнение 5 получаем, что данное число не является корнем уравнения. Следовательно, уравнение не имеет решения.
Ответ: Ø
в) x – 8, по определению 
- это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Уравнение x – 8 равносильно системе 
Из первого уравнения получим 
, получим корни 11 и 6, но условие 
выполняется только для = 11.
Ответ: = 11.
Пример 2. Решите уравнение:
а) 
Решение: Обе части этого уравнения возведем вкуб: 
)³ ⟹
, откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения.
⟹
⟹
⟹
⟹
, ₂
Ответ:
, ₂
Пример 3. Решите систему уравнений:
а) 
Решение: Положим 
, получим систему 
Разложим левую часть второго уравнения на множители: 
)
и подставим в него из первого уравнения 
= 4. Тогда получим систему уравнения , равносильную второй:
Подставляя во второе уравнение значение 
, найденное из первого 
, приходим к уравнению 
, т.е. 
.
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: 
. Соответствующие значения таковы: 
. Переходим к переменным 
, получаем: 
, т.е.
, 
.
Ответ: (1;27), (27,1)
Степень с рациональным показателем
Пример 1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:
а) 
б) 
в)
Решение:
а) = 
Ответ:
б) = 
Ответ:
в)= 
Ответ:
Пример 2. Представьте выражение в виде корня:
а) 
б) 
в)
Решение:
а) = 
Ответ:
б) = 
= 
Ответ:
в) = 
Ответ:
Пример 3.Найдите значение числового выражения:
а) 
б) 
) в)
- 
Решение:
а) = 
= 
= 2 · 5 = 10
Ответ: 10
б) ) = 
=
= 2 · 27 = 54
Ответ: 54
в) - = 9 + 
- 
= 9 + 27 – 5 = 31
Ответ: 21
Пример 4.Упростите выражения:
а) 
б) 
Решение:
а) = 
= 
= 
Ответ:
б) = 
= 
Ответ:
Пример 5.Сравните числа:
а) 
б) 
Решение:
а) , запишем в виде степени с рациональным показателем: 
. Получаем
, так как 
Ответ:
б) . Запишите эти числа в виде степеней с одинаковыми показателем:
, 
, так как 8<9, получаем 
Ответ:
Степенная функция, ее свойства и график
Пример 1.Постройте схематически график функции y = f(x):
а) 
б) 
Решение:
а) б)
y y
0 x 0 x
Дифференцирование и интегрирование степенной функции
Пример 1. Найдите производные функции f(x):
а) 
б) 
Решение: Используем правила вычисления производных и формулы:
а) 
= 
= 
Ответ:
б) 
= 
= 
= 
Ответ:
Пример 2. Найдите неопределенный интеграл:
а) 
б) 
в) 
Решение:
а) = 
+ C
Ответ: + C
б) = 
+ C = 
+ C = 
+ C
Ответ: + C
в) = 
+ C = 
+ C = 
+ C
Ответ: + C
Пример 3. Найдите определенный интеграл:
а) 
б) 
Решение:
а) = 
= 
- 
= 
- 
= 39
Ответ:
б) = 
= 
= 
= 
(243 – 1) = 
= 96
Ответ:
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Корень –ой степени и его свойства
1. Вычислите:
а) 
б) 
Ответ: 10 Ответ: 
и -
в)
г) 
Ответ: 
Ответ: 
и -
2. Найдите значение выражения:
а) 
б) 
· 
Ответ: 3 Ответ: 6
в)
г) 
Ответ: 5 Ответ: 
д) 
е) 
+ 
ж) 
· 
Ответ: 9 Ответ: 2 Ответ: 9
3. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 
б) 
Ответ: 
Ответ: 2
в) 
г) 
Ответ: 
Ответ:
4. Внесите под знак корня:
а) 
б) 
в) 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:
а) 
б) 
в) 
Ответ:
Ответ:
Ответ: 
г) 
д) 
Ответ:
Ответ:
Иррациональные уравнения
1. Решите уравнение:
а)
б) 
Ответ: 
, ₂
Ответ: 8
в) 
г) 
Ответ: 
= 0, = 1 Ответ: = 5
2. Решите уравнение:
а) 
= 3 б) 
Ответ: = -10, = 2 Ответ: = 61
3. Решите систему уравнений:
а)
б) 
Ответ: (27;1), (-1;-27) Ответ: (16;4), (36;1
Степень с рациональным показателем
1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:
а) 
б)
в)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
2. Представьте выражение в виде корня:
а) 
б) 
в)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
3. Найдите значение числового выражения:
а) 
б) 
в)
+19(-
Ответ: 10 Ответ:
Ответ: 32
4. Упростите выражения:
а) 
б) 
Ответ: 
Ответ:
в) 
·
Ответ:
5. Сравните числа:
а) 
б) 
в) 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Степенная функция, ее свойства и график
1. Постройте схематически график функции y = f(x):
а) 
б) 
в) 
г) 
Дифференцирование и интегрирование степенной функции
1. Найдите производные функции f(x):
а) 
б) в) 
Ответ: 2
Ответ:-
Ответ: -
2. Найдите неопределенный интеграл:
а) 
б) 
в) 
Ответ: 
+ C Ответ: 
+ C Ответ: - 
+ C
3. Найдите определенный интеграл:
а) 
б) 
Ответ: 8-
Ответ: 36
|
1. Извлеките корень А) 0,3 В) 10 С) 1 D) 2 Е) 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби А) 3. Представьте выражение в виде степени с дробным показателем: А) 4. Вычислить: А) 1 В) 9 С) 3 D) 5. Решите уравнение: А) 3;7 В) -1;4 С) -3;5 D) -2;6 Е) 6. Упростить выражение: А) 7. Решите систему уравнений: А) (64;25) В) (16;1) С) (81;16) D) (256;81) Е) 8. Вычислите интеграл: А) 45 9. Найдите первообразную функции f(x) = А) 10. Задана функция f(x) = А) 4 В) 1 С) 2 D) 8 Е)3. |
; найдите его значение при a = 2, b = 3, c = 2
.
В) 
С) 
D) 
Е) 
.
В) 
С) 
D) 
Е) 
.
:
Е) 
.
= 5
.
В) 
С) 
D) 
Е) 
.
.
.
В) 8 С) 54 D) 54
+ C В) 4
+ C С) 
+ C D) 8
+ C.
+ 
, найдите f´(1)
