Практико-ориентированное кейс-задание по дисциплине «Математика»

Практико-ориентированное кейс-задание по дисциплине «Математика»

Геометрические задачи

Тема «Площади поверхности и объемы цилиндра, конуса»

Бывалина Людмила Леонидовна,

преподаватель высшей квалификационной категории

КГБ ПОУ «Хабаровский колледж отраслевых технологий и сферы обслуживания»

Введение (методический комментарий).

Кейс-метод или метод ситуационного анализа можно успешно использовать в математике при решении практико-ориентированных задач. Кейс - это описание реальных ситуаций. Суть кейс-метода заключается в том, что обучающимся предлагается ситуация, которая в той или иной степени имитирует реальную, жизненную ситуацию. В качестве учебной задачи обучающимся предлагают ее проанализировать и предложить свое решение.

Применение кейс-метода позволяет готовить обучающихся средствами предмета «Математика» к успешной взрослой жизни, задействовать коммуникативные и творческие способности учеников, научить их добывать знания, показывает роль математики в окружающей жизни, ее применимости для решения прикладных задач.

Требования к кейс-заданию:

Описанная ситуация должна быть приближенной к жизни и действительности и оформлена таким образом, чтобы позволяла установить непосредственную связь с накопленным жизненным опытом.

Ситуация должна предоставить возможность интерпретации с точки зрения обучающихся.

Задача должна содержать проблемы.

Задача должна быть обозреваемой и решаемой в условиях временных рамок и индивидуальных знаний, навыков и способностей обучающихся.

Задача должна допускать различные варианты решения.

Решить кейс-задание – это значит проанализировать предложенную ситуацию и найти оптимальное решение, предложить варианты решений.

Этапы решения математического кейса:

оценка и анализ предложенной ситуации;

выделение проблемы (проблем) из ситуации, прогнозирование возможных вариантов её развития;

нахождение возможных вариантов, методов решения проблемы;

принятие решения по выбранному методу и определение теоретического инструментария;

описание задачи на математическом языке (построение модели);

выполнение решения проблемы;

проверка выполненного решения.

В качестве примера предлагаю практико-ориентированное кейс-задание для обучающихся старшей школы, студентов первых курсов техникумов, колледжей по теме «Площади и объемы пространственных тел».

Предлагаемая задача охватывает следующие темы математики и физики: «Цилиндр, конус», «Объемы тел», задачи на оптимизацию, «Центр тяжести тела».

Контекст задачи.

Заказчик заказал производителю бункер для сыпучих наполнителей, который должен быть выполнен в форме конуса (см. рисунок) и установлен в цилиндрический бак, расположенный на тележке. Высота и диаметр основания конического бункера должны быть равны высоте и диаметру основания цилиндрического бака.

По замыслу заказчика цилиндрический бак должен иметь в верхнем основании отверстие, закрываемое крышкой, для наполнения сверху конического бункера. А внизу должно быть очень маленькое отверстие для медленного и равномерного высыпания песка, гравия… Поэтому цилиндрический бак должен быть установлен на тележке (платформе) с колесами.

Заказчик потребовал, чтобы цилиндрический бак и конический бункер были окрашены изнутри и снаружи.

Конструкцию предполагается транспортировать на определенное расстояние, для этого она должна быть устойчивой. Заказчик во избежание опрокидывания бака попросил производителя не отправлять его пустым, а заполнить песком до такой высоты (h0), чтобы при транспортировке не произошло опрокидывания бака.

h – высота цилиндрического бака

h цт max = максимальная высота центра тяжести над железнодорожными путями

hт – высота тележки

h0 – высота песка, насыпанного в конический бункер

Для выполнения заказа производителю потребовалось приобрести краску. Необходимая для работы краска по качеству и объему имеется у двух поставщиков (см. таблицу).

Изготовленную конструкцию (бункер) необходимо перевезти от производителя заказчику. Перевозка бункеров осуществляется компанией специализированным автомобильным транспортом (бункеровозами) на базе вездеходного шасси, адаптированного для перемещения в городе и на пересеченной местности, либо по железной дороге.

Вопросы:

Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление цилиндрической емкости и бункера для песка высотой h, диаметром основания d, если на швы необходимо добавить 2,5% материала?

Сколько килограммов краски нужно для того, чтобы покрасить с внешней и внутренней стороны цистерну и бункер для песка, если на 1 м2 требуется 150 г. краски (толщину стенок не учитываем)?

Сколько трехтонных машин потребуется для загрузки песка в коническую емкость, если 1 м3 песка весит 2 т?

При каких условиях расход жести на изготовление цилиндрической емкости будет наименьшим? (найти размер цилиндра данного объема, площадь поверхности которого наименьшая)

До какой высоты допустимо наполнить бункер песком, чтобы обеспечить устойчивость конструкции, если центр тяжести должен находиться не выше а метров от своего основания?

Сколько рублей будет стоить краска, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Определите оптимальный способ транспортировки бункера до места назначения с минимальными затратами. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Основные математические факты.

Объемы и площади тел вращения.

Центр тяжести.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные элементарные части тела (при любом положении тела в пространстве).

Решение:

Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление цилиндрической емкости и бункера для песка высотой h, диаметром основания d, если на швы необходимо добавить 2,5% материала?

S =1, 025( πd + - )

Сколько килограммов краски нужно для того, чтобы покрасить с внешней и внутренней стороны цистерну и бункер для песка, если на 1 м2 требуется 150 г. краски (толщину стенок не учитываем)?

Sпокраски = 2πdh + + +

m краски = (0, 15 ∙ Sпокраски) кг

Сколько трехтонных машин потребуется для загрузки песка в коническую емкость, если 1 м3 песка весит 2 т?

V песка =

m песка =

N = – количество трехтонных машин

Sʹ=0

4 πr - = 0

= 0

πr2h

2r=h

d=h

V=πr2h

S = 2πr2 + 2πrh

h =

S = 2πr2 + 2πr = 2πr2 +

Sʹ =(2πr2 + )ʹ = 4 πr -

Расход жести на изготовление цилиндрической емкости будет наименьшим, если высота будет равна диаметру емкости.

До какой высоты допустимо наполнить бункер песком, чтобы обеспечить устойчивость конструкции, если центр тяжести должен находиться не выше а метров от своего основания?

Вес бункера много меньше веса загружаемого в него песка, и весом бункера можно пренебречь.

h = ОА – высота цилиндрического бака

а = ОВ – высота центра тяжести

h0 = АО1 – высота песка, насыпанного в конический бункер

Поскольку центр тяжести однородного кругового конуса лежит на расстоянии его высоты, считая от основания, то центр тяжести перевернутого однородного кругового конуса в бункере будет находиться на расстоянии от поверхности площадки.

АВ= h0

АВ= ОА - ОВ = h – а

h0 = h – а

h0 = (h – а) - высота песка, насыпанного в конический бункер

+ (h – а) - максимальная высота центра тяжести над железнодорожными путями

Сколько рублей будет стоить краска, если выбрать наиболее дешевый вариант?

х1 – стоимость краски, приобретенной у поставщика №1,

х2 – стоимость краски, приобретенной у поставщика №2

х1 = 0, 15 ∙ Sпокраски ; х2 = 0, 15 ∙ Sпокраски