Научно-исследовательская работа «Пример подхода к фундаменту изучаемого предмета»

ПРИМЕР ПОДХОДА К  ФУНДАМЕНТУ ИЗУЧАЕМОГО ПРЕДМЕТА 

     Мне хочется, чтобы учащийся школы или университета при обучении постигал не только надводную  верхушку айсберга, но и знал  подводную  часть – фундамент  предмета.

     Привожу пример, как  школьнику и студенту можно посмотреть на фундамент, какой либо темы, которую он изучает:

Возьмем тему доказательства трансцендентности  числа Pi. Все знают, что число Pi трансцендентно. Самого же доказательства практически, мало кто знает.

     «Вот как  доказательство числа Pi, объясняет энциклопедия Брокгауза и Ефрона - «Линдеман в 1882 г. (“Mathematische Annalen”, т. XX). На основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и π есть число трансцендентное. Теорема Линдемана  заключается в том, что если есть корень агебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, не может быть число алгебраическим; а так как  , то, следовательно , а потому и не может быть числом алгебраическим»[1].                                                                                                                         Доказать трансцендентность иного числа методом доказательства трансцендентности числа  - невозможно.

Линдеману вторит Перельман:  

«ПРАВДА И ВЫМЫСЕЛ»

     Условия, уточняющие требования задачи о квадратуре круга, известны только специалистам- математикам. В широких кругах любителей о них в большинстве случаев даже не подозревают.  Преобладающая масса не-математиков приступает к решению этой задачи, понимая ее по-своему, упрощенно.                                                                                                                        

Чем, однако, объясняется чрезвычайная популярность задачи о квадратуре круга среди не-математиков и их настойчивые попытки отыскать ее решение? Причиной является, прежде всего, кажущая простота содержания задачи. Даже не изучавшие геометрию знают, что такое квадрат и круг. Каждому представляется также известным, что надо разуметь под площадью фигуры. Отсюда возникает уверенность, что задача о квадратуре круга под силу и не присяжному математику. А то, что в продолжении ряда веков ее не могли разрешить подлинные  математики, только  подзадоривало самонадеянных искателей славы. Но не одно честолюбие побуждало профанов браться за эту задачу. С древних времен сложилось ложное убеждение, будто квадратура круга является ключом ко многим тайнам природы и что ее разрешение должно повлечь за собой ряд новых открытий» [2].

     Как же Линдеман возводил в степень  число . Сами попробовать не желаете?

      Рассмотрим этот вопрос: Перейдем к другому автору, осветившем эту тему.

   «Лежандр первый высказал мысль, что Pi должно быть число трансцендентное, но только Эрмит в сочинении "Sur la Fonction Exponentielle" ("Comptes Rendus", т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. ("Mathematische Annalen", т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и P есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то еx не может быть числом алгебраическим; а так как , то  следовательно  , а потому  и   не  может  быть  числом   алгебраическим».

      ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЕЛ  И

 НА ОСНОВЕ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

     «Разрешение основного вопроса о том, являются ли числа e  и   алгебраическими или трансцендентными, наука обязана математикам Эрмиту  и Линдеману.   Прежде всего в 1873 г. Эрмит доказал трансцендентность основания натуральных логарифмов, т. е. обнаружил невозможность равенства вида:

 где  , суть отличные друг от друга, а - какие либо целые числа, причем последние числа не должны быть равны нулю.                                                    Исходя из этой основной работы, а именно пользуясь зависимостями между известными определенными интегралами, которыми пользовался Эрмит,  Линдеман  в 1882 г. решил, наконец, тысячелетнюю задачу о квадратуре круга, доказав трансцендентность числа .

     Этот результат был получен из предположения, которое можно рассматривать как обобщение первой из теорем Ламберта:

     Если    есть корень, какого – нибудь  неприводимого алгебраического уравнения с целыми вещественными или комплексными коэффициентами, то не может быть рациональным числом. 

   О ФОРМУЛЕ ЭЙЛЕРА

          «В то время как раньше синус, косинус, тангенс,  котангенс обозначали некоторые линии, связанные с дугой круга, Эйлер впервые стал определять эти выражения как отношения указанных линий к радиусу круга. Благодаря этому выражения  sin z, cos z и т. д. приобрели совершенно иной характер: они стали аналитическими величинами, функциями z. Таким образом, Эйлер является творцом тригонометрических функций. Вместе с тем новая точка зрения на тригонометрические величины привела его к одному из его бесспорно прекраснейших открытий, а именно, к открытию замечательной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями.            Эта зависимость выражается равенствами:

где есть показательная функция, определяемая постоянно сходящимся рядом:
                           

     Однако  нужно  заметить,   что  формулы Эйлера, которые могут быть написаны также в виде:

eiz  = cos z + i sin z,   e-iz = cos z – i sin z                                                                  

Представляет собой исходный пункт всех позднейших исследований о

природе числа π. 

Полагая в них z = P, получаем:

                                      или »[3].

Не нужно забывать, что в формулах знаком обозначают мнимую единицу, Это такая единица,  квадратный корень из которой равен – 1.

           «ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ  ВОПЛОЩЕНИИ»

     А выражают ли на самом деле формула или  зависимость между числами     и , если ” “  выступает  символом  радианной   меры угла, который  равен 1800  в градусной мере угла, но не символом отношения длины окружности к диаметру равного

Формула   Эйлера: ,  где z любое вещественное число.
 А  это геометрическое воплощение формулы Эйлера (Рис. 6)

        Заметим, что аргументы тригонометрических функций и взяты в радианах.   В частности: 

А исходя из того, что 

                              и                                   следует   

или    

                    .  sin 1800 = 0.    ei180град. = -1    

Из вышеизложенного видно, что , - как отношение длины окружности к диаметру  в   формуле  Эйлера , переиначенной Линдеманом,   не  присутствует,  а, следовательно, высказывание -    или                     (это основная зависимость между обоими  числами

                                                                                                                                            и

                               ,

которая  служит ключом для решения вопроса о возможности квадратуры круга),  вызывает сомнение»[4].» [5].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Я списывался по электронной почте с учеными академического ИНСТИТУТА, по поводу доказательства Линдеманом трансцендентности числа Pi, и получил ответ, что этим старым методом наука не пользуется, но новым  методом  доказательства трансцендентности числа PI наука не поделилась.

      Вот так, на малом примере, на чужих знаниях, мы провели научное расследование по теме числа Pi, стараясь подобраться к фундаменту избранного материала.

        Используемая литература:

[1] Брокгауз Ф.А., Ефрон И.А. Энциклопедический словарь, Том 14а.                                                —  С – Петербург: Типо – Литография П.А. Ефрона, Прачешный переулок № 6,                   1895. — 960 с.

[2] Перельман  Я.И. Квадратура круга. —  Ленинград: Издание «Дом занимательной науки», 1941. — 25 с.

[3] Рудио Ф., перевод Бернштейн С.Н. О квадратуре круга с приложением истории вопроса. —  Москва, Ленинград: Объединенное научно - техническое издательство ОНТИ НКТП СССР, издание третье, 1936. — 237 с.

(Классики естествознания Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр)

[4] Интернет ресурс – Википедия. —  ru.wikipedia/wiki/Формула_Эйлера        — дата  доступа  22.09.2012.

[5] Дениченко С.Н., Задача квадратура круга. Два взгляда на проблему.                 //SaarbrÜcken; “LAP  LAMBERT  Academic  Publishing”,2012. – 96 c.

ISBN: 978 – 3 – 659 – 27696 – 5