Примерный сценарий урока по теме «Множество, подмножество» 8 класс Раздел «Множество»

Примерный сценарий урока

по теме «Множество, подмножество»

8 класс

Раздел «Множество»

Учебник «Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях». Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под ред. Ященко И.В.

Учебное пособие «Математика. Универсальный многоуровневый сборник задач. 7-9 классы. Статистика. Вероятность. Комбинаторика. Практические задачи». Высоцкий И.Р., Ященко И.В.

Урок составлен с использованием материалов сайта Математическая вертикаль | Вероятность в школе.

Множество, подмножество

Цель урока – познакомить школьников с понятием множества в математике. Используя отношения между множествами, обобщить известные школьникам отношения между случайными событиями, промежутками на числовой прямой, графами, функциями, геометрическими фигурами и другими математическими объектами.

Задачи:

ввести понятие множества, подмножества;

рассмотреть примеры множеств и подмножеств между случайными событиями, промежутками на числовой прямой, графами, функциями, геометрическими фигурами и другими математическими объектами.

Оборудование: мультимедийная презентация.

На начальном этапе введения понятия множества ученикам предлагается рассмотреть пример, где это понятие используется в качестве описания привычной жизненной ситуации:

Вера и Яша отправились на выставку роботов. Там они увидели множество роботов различного назначения: от робота-пылесоса до робота-художника.

Предложите ученикам ответить на вопрос: что они понимают под словом «множество»?

Множество – фундаментальное понятие. При изучении математики мы не раз говорили о множестве натуральных чисел, множестве элементарных событий, множестве точек плоскости и так далее.

Под множеством в математике понимают произвольный набор каких-либо объектов. Объекты, входящие во множество, называются его элементами.

Элементами множества могут быть числа, цифры, точки на прямой, на плоскости или в пространстве, геометрические фигуры, события, слова, теоремы, окружающие нас предметы и вообще всё что угодно: ограничений на природу объектов нет. Бывают даже множества, состоящие из множеств.

Множества обозначаются большими латинскими буквами.

Например, множество В – множество роботов на выставке или множество Z – множество роботов-андроидов на выставке.

Некоторые важные и часто возникающие в задачах числовые множества имеют специальные обозначения – прямые латинские буквы с «двойной чертой». Вы с ними знакомы. Как называются эти множества?

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел (от немецкого слова Zahlen — «числа»);

– множество рациональных чисел (от латинского Quotient — «частное»);

– множество действительных чисел (от латинского Realis — «действительный, вещественный»).

Множество всех элементарных событий случайного опыта часто обозначают большой греческой буквой омега .

Принадлежность элемента множеству обозначается значком . Например, запись «4» читается «число 4 принадлежит множеству натуральных чисел». Запись «» можно прочесть «число не принадлежит множеству целых чисел».

Задать множество – значит описать каким-либо образом его элементы.

Множества можно задавать несколькими способами.

Словесное описание. Например: «множество чётных чисел», «множество целых чисел от 1 до 6», «множество слов русского языка, начинающихся с буквы й», «множество гласных букв русского алфавита» и так далее. Словесное описание не всегда удобно. Иногда используются другие способы.

Перечисление элементов.

Элементы множества записываются в фигурных скобках.

А={0; 2; 2; 4; 4;} – множество чётных чисел,

B={а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я} – множество гласных букв русского алфавита,

С={орёл, решка} – множество элементарных событий в случайном опыте с бросанием одной монеты.

Описание с помощью характеристического свойства. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладают все элементы нужного множества и только они. Это позволяет задать множество, не перечисляя его элементы напрямую. Например, чтобы записать множество натуральных чисел от 1 до 100, вместо {1, 2, 3, ...,100}можно записать {m | m 100}. Вертикальная черта означает «таких, что».

После ознакомления со способами задания множеств ученикам предлагается задание:

Некое множество задано перечислением элементов: B = {5; 10; 15; 20; 25; 30…}.

Опишите это множество словесно. (В – множество натуральных чисел, кратных пяти).

Опишите его с помощью характеристического свойства. (B={5k|k ∈ℕ}).

Любую фигуру на плоскости можно рассматривать как множество точек. Вспомните определение окружности.

Окружность – множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки на одно и то же расстояние.

Через множество точек можно дать и другие описания. Вот несколько примеров.

Отрезок – это множество точек прямой, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними.

Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.

Задайте перечислением элементов множество:

а) положительных двузначных чисел, кратных 17;

б) чётных простых чисел;

в) простых чисел, которые делятся на 10.

Решение:

а) {17; 34; 51; 68; 85};

б) получилось множество, состоящее из единственного элемента {2}

в) описано пустое множество, поскольку простых чисел, кратных 10, не существует. Для обозначения пустого множества используют символ – ∅.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента.

3. Какие из следующих множеств пустые?

1) Множество слов русского языка, начинающихся с мягкого знака.

2) Множество простых чисел, кратных трём;

3) Множество слов русского языка, оканчивающихся буквой Ы;

4) Множество трёхзначных натуральных чисел, которые больше, чем 1000.

Ответ: 1, 4.

На следующем задании рассматривается определение понятия подмножества:

Игральный кубик бросили один раз. Рассмотрим множество элементарных событий, благоприятствующих событию «Выпало больше двух очков»: {3; 4; 5; 6}.

Предложите ученикам задать перечислением множество элементарных событий, благоприятствующих событию «Выпало число очков, кратное трём»:{3; 6}.

Обратите внимание учащихся на то, что каждый элемент второго множества является элементом первого множества. В таких случаях говорят, что одно множество является подмножеством другого.

Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент множества А также принадлежит множеству В. Пишут A B.

Пишут A ⊂ B.

Значок ⊂ называют символом включения.

Пустое множество является подмножеством любого множества: то есть, для любого множества А верно ∅ ⊂ А.

Любое множество является подмножеством самого себя: А⊂А.

Рассмотрим пример:

A — множество натуральных чисел от 1 до 200, которые не делятся на 3. Какие из данных множеств являются подмножествами множества А:

B = {1; 3; 5; 7};

C = {2; 4; 20; 40};

D = {20; 22; 32; 34; 44; 46; 56; 58};

E = {100; 200; 400}.

Ответ: C и D.

Какие из следующих включений верны:

; ?

Решение: Отношения между множествами и подмножествами удобно изображать на диаграммах Эйлера. Построим диаграмму Эйлера для множеств натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Для этого нужно вспомнить, что всякое натуральное число является целым, всякое целое – рациональным, а всякое рациональное – действительным, поэтому верны включения

.

Мы часто имеем дело с промежутками на числовой прямой – отрезками, интервалами, полуинтервалами, лучами. Все эти промежутки – числовые множества, так же, как и сама числовая прямая.

Изобразите на числовой прямой множество всех действительных чисел, которые удовлетворяют неравенству:

а) ; б) ; в).

Решение: Изобразим все три множества (обозначим их А, В и С) на одном рисунке.

Обсудите рисунок и отношения между множествами. Задайте вопросы по теме (например, верно ли, что АС?), сравните этот рисунок с диаграммой Эйлера. По итогам обсуждения запишите цепочку включений

ABC.

В геометрии мы имеем дело не только с множествами точек, но и с множествами геометрических фигур.

7. На плоскости определим множества:

Р – множество всех параллелограммов,

D – множество всех прямоугольников,

K – множество всех квадратов.

Какое из утверждений верно?

1) P ⊂ D ⊂ K;

2) D ⊂ P ⊂ K;

3) K ⊂ D ⊂ P.

Решение:

Вспомните с учащимися определения параллелограмма, прямоугольника, квадрата. Задайте наводящие вопросы: любой ли прямоугольник является параллелограммом? Любой ли параллелограмм – квадрат?

Обсуждение должно привести к цепочке включений K⊂D⊂P.

Итоги урока: Множество – фундаментальное и универсальное понятие. С помощью множеств можно описать самые разнообразные бытовые и математические объекты, а также отношения между ними. Теория множеств предоставляет удобный и экономный язык записи отношений между объектами, причем каждая запись может быть понята однозначно, без разночтений, которыми богат наш естественный язык.

В качестве домашнего задания можно предложить задачи:

1. Задайте перечислением множество положительных двузначных чисел, дающих остаток 2 при делении на 19. (Ответ: 21; 40; 59; 78; 97).

2. Даны множества:

A — множество нечётных целых чисел;

B — множество чётных целых чисел;

C — множество натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 2;

D — множество натуральных чисел, дающих при делении на 6 остаток 2.

Какие из этих множеств включают множество P = {14; 26; 122} в качестве подмножества? (Ответ: P ⊂B, D).

3. Даны множества на плоскости: Т – множество треугольников; R – множество равнобедренных треугольников, Р – множество правильных треугольников, K – множество прямоугольных треугольников. Какие из утверждений истинны?

1) Т⊂ R ; 2)P ⊂R ; 3)K⊂ R; 4)K ⊂Т. (Ответ: 2, 4).