Урок на тему «Решение квадратных уравнений с параметрами» (Алгебра, 8 класс)

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Вводная беседа учителя (1 мин)

Приветствует учащихся, организует рабочее место, выявляются отсутствующие

Чем занимались на прошлом уроке?

Cообщить цели. Обобщить, знания по решению полных квадратных уравнений по алгоритму с помощью дискриминанта на основе учится решать уравнения с параметрами.

II. Проверка домашнего задания (3 мин).

Демонстрируем заранее заготовленное домашнее задание.

Слайд 1

Домашнее задание

1. 0,5 х2 +0,7=0

2. (х−5)(х+3) =9

4. х6 + 7 х3 − 8 = 0

5. 16 х4 - 25х2 + 9 =0

6. (5х +1)2 − (5х +1) − 12 =0

7. ( х2 −3х + 1)( х2 −3х +3) =3

Повторим теорию Какие уравнения называются квадратными?

Какие бывают квадратные уравнения ?

Слайд 2

Покажите с помощью стрелок связь между коэффициентами
неполного квадратного уравнения и его корнями.

(На выполнение 2мин)

Проверяем

Слайд 3

Неполные квадратные уравнения

Полные квадратные уравнения

(приводимые к виду ах2 + вх + с = 0 (a ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0))

(Количество корней. Исследование дискриминанта)

Слайд 5

Устно (4мин)

3х2 +7х=0

16 х2 + 9 =0

х2 - 6х +9 =0

х2+8х +16=0

(х−3)(х+7)=0

6) х │х│= 4

7)│ х2 − 25 │= − 9

Дополнительный вопрос как называются такие уравнения (учащиеся знакомы с уравнениями с параметром )

8)х2 + ах =0

9) х2 + ах +1 = 0 (один корень)

Физкультминутка (включить спокойную музыку)

1.Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз. 2..Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз. 3.Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза. 4.Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх - налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1 -6; затем налево вверх - направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Сегодня будем решать квадратные уравнения с параметром

Как решить полное квадратное уравнения с параметрами?

Если коэффициент при обращается в 0.

Решение уравнений (15мин)

1.Решить уравнение с параметром а - это значит, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

№ 25.46 (а,б) Решите уравнение с параметром р, а.

а) 6 х2 −(2р +3)х + р = 0

б) p х2 −(р +1)х + 1 = 0

в) ах2 - 2х + 4 = 0

г) х2 + ах + 12 = 0

д) 2х2 +4х + а = 0

Решаем уравнения а.б подробно с пояснениями. (если время позволяет уравнение в)

К уравнению б дополнительно вопрос квадратное оно или линейное?

Еще раз обращаем внимание на решение уравнения.

Самостоятельно по вариантам (на печатной основе лист даётся каждому. Работы собираются и оцениваются учителем) (12мин)

Итог урока. (1мин)

Задание на дом (написано на доске, не разбирается)

§ 25, 26. № 25.46 ( а,в,г) 26.14(б) 26.22(б)

Какие цели стояли на уроке?( 1мин)

Достиг ли каждый из вас цели урока?

Фиксирую проблемы для следующего урока

Рефлексия (2 мин)

Учащимся предлагается по желанию продолжить предложение:

На уроке я научился (научилась) …

На уроке мне понравилось …

На уроке мне пригодились знания….

Для меня было сложно…

С урока я ухожу с … настроением!

Учащиеся настраиваются на работу

Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Домашнее задание

Ответ: нет действительных корней.

Ответ: -4; 6

Ответ: ±2

Ответ: 1; −2.

Ответ: ±0,75 ; ± 1

Ответ: - 0,8; 0,6.

Ответ: 0; 3.

Уравнения вида ах2 + вх + с = 0 (a0))

Полные и неполные

У учеников заготовки они расставляют стрелки

Беседа по исследованию дискриминанта

Д<0, корней нет

Д=0, одни корень

Д>0, два корня

Ответы проговаривают по очереди, затем они появляются на экране

Ответы записывают в тетрадь

– 7/3

Нет решения

3

Нет решения

– 7; 3.

2

7)Нет решения

Ответ: Уравнения с параметрами

8) при а=0 (один корень) х=0, если а не равно 0 , то (два корня) 0; - а.

9) при а = 2 х= - 1, при а = -2 х=1 (один корень),

Квадратные уравнения с параметром

Решение зависит от D

1. Д<0, корней нет

2. Д=0, одни корень

3. Д>0, два корня

Дело в том, что если этот коэффициент равен 0, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму;

если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от D.

Учащиеся формулируют цель урока: «Научиться решать полные квадратные уравнения с параметром».

Ученики: повторяют

Решить уравнение с параметром а - это значит, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

(два ученика решают у доски все в тетрадях)

а) 6 х2 −(2р +3)х + р = 0 В уравнении а параметр входит в состав второго коэффициента и свободного члена; находим дискриминант Д= (2р - 3)2

1) если Д=0,р =1,5, то (один корень), х = (2р+3)/12 т.е х = 0,5 2) если р ≠ 1,5, то х = 0,5, х = р/3.

б) p х2 −(р +1)х + 1 = 0

это также уравнение с параметром, но параметр р входит в состав коэффициента при х2 многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.

1)если р=0, то х =1; 2) если р ≠ 0, то Д = (р – 1)2 а) если Д=0, то р = 1, то х = 1; б) если р ≠ 0 и р ≠ 1, то х = 1/р, х = 1.

Самостоятельно по вариантам (обучающая)

Вариант №1

а) х2 + 5ах + 4а2 = 0,

D= (5а)2 – 16а2 = 9а2

1) D=0, 9а2 =0, а=0 тогда х=

2) D>0, а ≠0 тогда х1 =_______х2 =______

Ответ: если а = 0, то х = если а ≠0, то х1 = х2 =

б) ) х2−(2а - 4)х − 8а= 0,

D= (2а - 4)2 - 4∙(-8a) = 4a2 – 16a +16 +32a = 4a2 +16a +16= (2а + 4)2

1) D=0, 2а + 4=0, a= −2 тогда х= −4

2) D>0, а ≠ - 2, тогда х1 =______х2 =____-

Ответ: если а = , то х = если а ≠0, то х1 = х2 =

в)(а+1) х2−2х +1− а = 0,

Если а+1=0, а =− 1, то 0∙ х2−2х +1−(−1)= 0, х=1.

Если а≠ 1, D= 22 − 4∙(a+1)∙(1 −a) = 4 − 4 + 4a2 = 4a2

1) D=0, 4а2 =0, а=0 тогда х = 2

2) D>0, а ≠0 тогда х1 =______х2 =______

Ответ: если a=−1, то х =1, если a=0, то х =2 если а ≠0, то х1 =______ х2 =_____

Вариант№2

а) х2 - 3ах + 2а2 = 0,

D= (3а)2 – 8а2 = а2

1) D=0, а2 =0, а=0 тогда х=_____

2) D>0, а ≠0 тогда х1 =______х2 =______

Ответ: если а = 0, то х = если а ≠0, то х1 = х2 =

б) х2+(3а – 2)х − 6а= 0,

D= (3а - 2)2 - 4∙(-6a) = 9a2 – 12a + 4 +24a = 9a2 +12a +4= (3а + 2)2

1) D=0, 3а + 2=0, a= −2/3 тогда х =

2) D>0, а ≠ 2 тогда х1 =_______х2 = ________

Ответ: если а = , то х = если а ≠0, то х1 = х2 =

в) ах2−(1− а) х −1 = 0,

Если а = 0, то 0∙ х2−(1− 0)х− 1=0, х=1.

Если а≠ 1, D=(1− а)2 − 4∙a∙(−1)= a2− 2a +1+4a = a2+ 2a +1=(a+1)2

1) D=0, (a+1)2 =0, а= −1 тогда х = −1,

2) D>0, а ≠0 а ≠−1 тогда х1 =_______х2 =_______

Ответ: если а = 0, то х = 1, если а = −1, то х = −1, если а ≠, −1, то х1 =______ х2 =________

Самостоятельно определяют насколько достигнуты цели урока.

Учащиеся продолжают предложения.

Прощаются