Справочник по геометрии «Помощь в учёбе и при подготовке к экзамену»

сумма внутренних односторонних углов

равна

внутренние накрест лежащие углы равны

соответственные углы равны

сумма внешних односторонних углов

равна

внешние накрест лежащие углы равны

Центральный угол в окружности – плоский угол с вершиной в ее центре

Градусная мера дуги окружности – градусная мера соответствующего центрального угла

Вписанный угол в окружности – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла

Равенство треугольников

Определение

Равные треугольники – треугольники, в которых соответствующие стороны и углы равны

Признаки равенства треугольников

 Треугольники равны, если у них соответственно равны:

1) две стороны и угол между ними равны

2) два угла и прилегающая к ним сторона

3) три стороны

Дополнительные признаки равенства треугольников

 Треугольники равны, если у них соответственно равны:

1) две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне

2) два угла и высота, проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы

3) сторона, высота и медиана, проведенные к одной стороне

4) медиана и углы, на которые она делит угол

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники – треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны

Свойства подобных треугольников

Признаки подобия треугольников

Треугольники подобны, если у них соответственно:

1) равны два угла

2) две стороны пропорциональны и углы между ними равны

3) три стороны пропорциональны

Свойства сторон треугольника

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности

Теорема Чевы.

Отрезки тогда и только тогда пересекаются в одной точке, когда

Теорема Менелая.

Точки тогда и только тогда лежат на одной прямой, когда

Теорема Стюарта.

Если , то

Свойства углов треугольника

1) Сумма углов треугольника равна 180 º

2) Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним

3)  В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот

4)  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов

Медиана треугольника

Медиана треугольника – отрезок, который соединяет вершину угла треугольника с серединой противолежащей стороны

Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, считая от вершины

Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников

Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину угла с точкой противолежащей стороны

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре окружности, вписанной в треугольник

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам треугольника

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла треугольника перпендикулярны

Высота треугольника

Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую

противолежащую сторону

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром 

треугольника

Высоты труеугольника обратно пропорциональны соответствующим сторонам

Сумма чисел, обратных к высотам треугольника, равна числу, обратному радиусу вписанной окружности

Если в остроугольном треугольнике проведены высоты и , то

Сумма расстояний от оснований двух высот до середины третьей стороны равна третьей стороне

Линии треугольника

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его

сторон и равна половине этой стороны

Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр,

проведенный из средней точки отрезка (стороны).

Три серединных перпендикуляра треугольника АВС пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

и – боковые стороны,

– основание

Углы при основании равнобедренного треугольника равны (и наоборот).

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные

к основанию, совпадают

(и наоборот).

Прямая, содержащая медиану (биссектрису, высоту)

является осью симметрии равнобедренного треугольника.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого равны

Все углы равностороннего треугольника равны и равны

В равностороннем треугольнике ортоцентр, центр тяжести, центр описанной и центр вписанной окружностей 

совпадают

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник – прямоугольный

Пифагоровы тройки чисел

Катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы ( и обратно).

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из

вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

Признаки равенства прямоугольных

треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них

соответственно равны:

катет и гипотенуза

катет и прилежащий угол

катет и противолежащий угол

гипотенуза и острый угол

Площадь треугольника

Четырехугольники

– точка пересечения

серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его

сторонам

Четырехугольник можно

вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов

равны

– точка пересечения

биссектрис всех его углов

Четырехугольник можно

описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого являются точки касания сторон данного четырехугольника со вписанной окружностью

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырёхугольник, 

противоположные стороны которого попарно параллельны

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Площадь параллелограмма

Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмм, площадь которого равна половине площади четырехугольника

Прямоугольником называется

параллелограмм,

у которого

все углы прямые

Ромбом

называется

параллелограмм,

у которого

все стороны равны

Квадратом

называется

прямоугольник, у которого

все стороны равны

Свойство диагоналей:

Свойство диагоналей:

Свойства диагоналей:

Площадь:

Площадь:

Площадь:

Трапеция

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две

противоположные стороны параллельны

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

параллельна основаниям и равна их полусумме

Отрезок, соединяющий

середины диагоналей, равен полуразности оснований и

лежит на средней линии

Средняя линия делит любой отрезок, концы которого лежат на прямых, проведенных через основания, пополам

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

Площадь трапеции

Равнобокая трапеция

Прямоугольная трапеция

В равнобокую трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии трапеции

Около любой равнобокой трапеции можно описать окружность.

Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию

Правильный многоугольник – выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Свойство сторон описанного

четырехугольника:

Свойство углов вписанного

четырехугольника:

Окружность и круг

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

где

Площадь круга

Площадь сектора

где

Площадь сегмента

где

Наклонная призма

– площадь основания;

– высота;

– боковое ребро;

– площадь и периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру

Прямая призма

и – площадь и периметр основания;

– боковое ребро

Правильная призма

и – площадь и периметр основания;

– высота;

– боковое ребро;

– сторона основания

Прямоугольный параллелепипед

– ребра;

– диагональ

Пирамида

и – площадь и периметр основания;

– высота;

– апофема (высота боковой грани правильной пирамиды)

Правильная пирамида

Усеченная

пирамида

(плоскость сечения параллельна основанию)

и – площади оснований;

– высота;

и – две соответственные стороны оснований

Правильная

усеченная

пирамида

и – площади оснований;

и – периметры оснований;

– высота;

– апофема (высота боковой грани)

Тела вращения

Сфера

– радиус

Цилиндр

– радиус основания;

– высота

Цилиндр,

усеченный непараллельно основанию

– радиус основания;

и – наименьшая и наибольшая образующие

Конус

– радиус основания;

– высота;

– образующая

Усеченный

конус

и – радиусы оснований;

– высота;

– образующая;

– высота, неусеченного конуса

Шаровый

сегмент

– высота сегмента;

– радиус шара;

– радиус основания сегмента

Шаровой сектор

– высота сегмента;

– радиус шара;

– радиус основания сегмента

Шаровой слой

– высота слоя;

и – радиусы оснований ;

– радиус шара

где – объем вписанного в шаровой слой усеченного конуса, радиусы оснований которого и , высота и образующая .