Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (переменную), называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, – правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

В уравнении 2х-5=17 левая часть 2х-5, правая часть 17. При х=11 левая часть этого уравнения равна 17, так как 2·11-5=17; правая часть также равна 17. Итак, при х=11 это уравнение обращается в верное числовое равенство 2·11-5=17. Число 11 называют корнем данного уравнения. То есть корнем уравнения называется то значение переменной, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь один, два или любое другое количество корней. Также оно может иметь бесконечно много корней или не иметь корней вовсе. Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

При решении уравнений пользуются следующими правилами:

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Алгоритм решения линейного уравнения

Упростить при необходимости выражения, стоящие в левой и правой части уравнения. При необходимости привести подобные.

Перенести все члены уравнения, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены уравнения, не содержащие неизвестного, в правую.

Привести подобные в левой части уравнения и выполнить арифметические действия с числами в правой части уравнения.

Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Пример

Решим уравнение: 2(х + 3) – 3(х + 2) = 5 – 4(х + 1)

Упростим уравнение, раскрыв скобки в левой и правой частях уравнения по правилам.

2х + 6 – 3х – 6 = 5 – 4х – 4

Приведём подобные.

(2х – 3х) + (6– 6) = (5 – 4) – 4х

– х = 1 – 4х

Перенесём член уравнения, содержащий неизвестное, из правой в левую часть, изменив при этом его знак.

– х + 4х = 1

Приведём подобные в левой части уравнения.

3х = 1

Разделим обе части уравнения на коэффициент при х, т.е. на 3.

х =

Мы нашли значение переменной. Значит, мы решили уравнение.

Рассмотренные уравнения содержат одну переменную. Они называются линейными уравнениями с одной переменной. Но в математике часто встречаются уравнения, содержащие две переменные. Это уравнения вида ax + by = c. Они так и называются: уравнения с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными x и y называется упорядоченная пара чисел (x;y), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.

Решениями уравнения ax + by = c, в случае, когда b≠0, являются пары , где х – любое число.

Если рассматривают два уравнения с двумя неизвестными, в которых неизвестные числа одни и те же, то их объединяют в систему и рассматривают совместно.

Например,

При решении систем уравнений используют различные методы.

Метод подстановки

Преобразовываем одно из уравнений системы таким образом, чтобы можно было выразить одну переменную через другую.

Подставляем полученное значение переменной в другое уравнение системы.

Решаем полученное линейное уравнение с одной переменной.

Полученное значение переменной подставляем в выражение, полученное на первом шаге.

Значения переменных и будут решениями системы.

Преобразуем уравнение . Получим: x + y = 6x + 4y. Далее: –3у=5х. Выразим у через х: у = .

Подставим полученное значение у во второе уравнение системы.

5х + 3∙(=0

Решим полученное уравнение.

0=0. Значит, это уравнение верно при любом значении х. Данное решение говорит о том, что у исходной системы бесконечно много решений. Все их можно записать в виде пары (х; ).

Но не все системы имеют бесконечно много решений. Они могут иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений вовсе.

С помощью графического метода решения систем это можно понять более наглядно.

Графический метод

Графической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными является построение его графика на координатной плоскости. Зависимость у(х) – это прямая.

Таким образом, если мы на координатной плоскости построим графики обоих уравнений системы, то точки пересечения этих графиков и будут решениями системы.

Значит, если прямы пересекутся в одной точке, значит, у системы одно решение – пара (х;у). Если прямые не пересекаются (то есть они параллельны), значит, исходная система не имеет решений. Если же обе прямые полностью совпадут (наложатся друг на друга), то можно сделать вывод о бесконечном количестве решений системы.

Примеры

1 решение: нет решений бесконечно много решений

Метод сложения

Ранее мы уже с вами узнали, что уравнения можно складывать друг с другом почленно. Это свойство можно использовать для решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Если у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком, систему можно решить методом алгебраического сложения, то есть сложить почленно каждую часть уравнений. Если это не так, то можно уравнять модули коэффициентов при каком-нибудь одном из неизвестных, умножая левую и правую части каждого уравнения на подходящие числа.

Решим две системы уравнений методом алгебраического сложения.

Свойства степеней

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

В выражении an число а называют основанием степени, число n называют показателем степени.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень.

7∙24 - 5∙32 = 7∙16 - 5∙9 = 112 – 45 = 67

Свойства степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются. am∙an = am+n

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются. am : an = am – n, m>n, a≠0

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются. (am)n = amn

При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель. (ab)n = anbn

При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель. =

Пример

Арифметические действия над одночленами и многочленами

Произведение числовых (записанных с помощью цифр) и буквенных (обозначенных буквами) множителей называют одночленом.

Например: ab, , 3a2b.

Если одночлены имеют одинаковую буквенную часть, то их можно складывать и вычитать между собой. При этом складывают или вычитают их коэффициенты, а одинаковую буквенную часть приписывают к результату. Данная операция называется приведением подобных.

Например: 3a2b + 5a2b – 4a2b = (3+5–4)a2b=4a2b

Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место. Затем произведения степеней с одинаковыми основаниями записать в виде степени.

Умножение одночлена на одночлен – это операция приведения одночлена к стандартному виду.

==12a3b5c

Возведение одночлена в степень – это произведение двух или более одинаковых одночленов. Так как любой одночлен является произведением множителей, то по свойству возведения произведения в степень каждый множитель одночлена возводится в эту степень.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом; многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом и т.д.

В результате сложения и вычитания нескольких многочленов снова получается многочлен. Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть по правилам скобки и привести подобные члены. Привести подобные – это значит сложить одночлены с одинаковой буквенной частью в многочлене. Многочлен стандартного вида – это многочлен, в котором нет подобных.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на множители – значит представить многочлен в виде произведения нескольких одночленов и/или многочленов.

Например: ab+acad=.

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки. В скобках остаётся многочлен, полученный от деления данного многочлена на этот общий множитель.

Разложение на множители с использованием переместительного, сочетательного и распределительного свойств называется способом группировки. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена, затем вынести этот общий множитель за скобки.

Ещё одним способом разложения на множители является разложение с помощью формул сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения

Пример

Тема 2. Алгебраические дроби

Понятие алгебраической дроби и её значение

Выражение вида , где m, n – алгебраические выражения и n≠0. Если вместо букв, входящих в алгебраическую дробь, подставить некоторые числа, то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби.

Например, значение алгебраической дроби при а=10, b=8 равно .

Пример

Зная, что , найдём значения алгебраических дробей и .

Когда алгебраическая дробь имеет смысл?

Буквы, входящие в алгебраическую дробь, могут принимать лишь допустимые значения, т.е. такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю.

Только в том случае, если знаменатель дроби не равен нулю, можно говорить, что дробь имеет смысл.

Например, для дроби допустимы все значения b, кроме b=0 и b=3, так как при b=0 или b=3 в знаменателе выражение обращается в нуль. По-другому можно сказать, что алгебраическая дробь имеет смысл при всех b, кроме b=0 и b=3. Или не имеет смысла при b=0 и b=3.

Когда алгебраическая дробь равна нулю?

Выражение равносильно выражению (a:b). Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда когда делимое равно нулю. Значит, алгебраическая дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю. Но при этом знаменатель не может быть равен нулю.

Пример

При каких значениях переменной алгебраическая дробь обращается в нуль.

Данная дробь равна нулю, если =0, но при этом выражение стоящее в знаменателе, не может быть равен нулю.

при n-1=0 или n+1=0, так как произведение двух множителей равно нулю, если любой из них равен нулю. Но так как (n+1) стоит и в знаменателе, значит, только (n-1) может принимать значение, равное нулю. n-1=0, если n=1.

Тема 3. Основное свойство алгебраической дроби Умножение и деление дроби на одно и то же выражение, не равное нулю

Основное свойство алгебраической дроби заключается в том, что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение, не равное нулю, получается равная ей дробь.

Основное свойство используется при сокращении дробей.

Приведение дробей к общему знаменателю

Основное свойство дроби используется также при приведении дробей к общему знаменателю. Для этого нужно:

найти общий знаменатель данных дробей;

для каждой дроби найти дополнительный множитель, который получается делением общего знаменателя на первоначальный знаменатель дроби;

умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель;

записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Если не указано, к какому общему знаменателю нужно привести дроби, то их приводят к простейшему (наименьшему) общему знаменателю.

Пример

Привести к общему знаменателю дроби

Чтобы найти общий знаменатель дробей, разложим на множители каждый из знаменателей данных дробей.

Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных дробей.

Общий знаменатель должен содержать произведение , произведение и произведение .

Выражение содержит все эти множители.

. Следовательно, является общим знаменателем исходных дробей.

Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители умножить на дополнительные множители, которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой дроби.

Для дроби дополнительным множителем будет произведение . Для дроби дополнительным множителем будет произведение . Для дроби дополнительным множителем будет произведение .

Умножив числители дробей на соответствующие дополнительные множители, получим следующие дроби:

Тема 4. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило сложения и вычитания дробей

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам, что и сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить (вычесть) числители дробей и записать сумму (разность) в числитель новой дроби, а знаменатель исходных дробей записать знаменателем новой дроби.

Пример

Минус перед дробью

По своей сути дробь – это частное, где делимое – это числитель дроби, а делитель – знаменатель дроби. Минус перед всей дробью можно перенести либо в числитель, либо в знаменатель дроби. Так как в алгебраической дроби в числителе и знаменателе – алгебраические выражения, то минус будет относиться ко всему выражению. При открытии скобок, перед которыми стоит минус, необходимо все знаки в скобках изменить на противоположные.

Пример

Тема 5. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Для сложения (или вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:

найти общий знаменатель дробей;

привести дроби к общему знаменателю;

сложить (или) вычесть полученные дроби;

упростить результат, если возможно.

Пример

Вычислить значение выражения при а=0,5.

Для выполнения данного задания сначала нужно преобразовать выражение, используя правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а затем в полученное выражение подставить значение переменной а.

При а=0,5 получаем .

Тема 6. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей

Алгоритм деления дробей. Умножение дробей

Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно их числители и отдельно знаменатели. Результат умножения числителей записать числителем новой дроби, а результат умножения знаменателей записать знаменателем новой дроби.

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую нужно дробь, являющуюся делимым умножить на дробь, обратную делителю.

Примеры

Возведение дроби в степень

При возведении алгебраической дроби в степень используется свойство степени .

Примеры

Тема 7. Преобразование рациональных выражений

Любое алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень, можно назвать рациональным выражением. После выполнения преобразований рациональное выражение может принять вид алгебраической дроби, многочлена или одночлена.

В качестве преобразований могут выполняться арифметические операции, сокращение дробей, разложение на множители и другие.

Для преобразования рациональных выражений принят тот же порядок действий, что и для преобразования числовых выражений: сначала выполняют действия в скобках, затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).

Пример

Упростим выражение

Тема 8. Первые представления о рациональных уравнениях

Значение дроби, равное нулю. Когда дробь имеет смысл. Решение пропорций. Перенос значений равенства из одной части в другую

Уравнение p(x) = 0, где p(x) — рациональное выражение, называется рациональным. Их решение сводится к упрощению рационального выражения и нахождению корней полученного уравнения. Если в результате упрощения в левой части получается алгебраическая дробь, то исходим из того, что дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Среди рациональных уравнений 5(t+6)=4t−7, ,

5(t+6)=4t−7 является целым уравнением, а , — дробные рациональные уравнения.

Помните, что дробь только тогда имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю.

Уравнение записано в виде пропорции. Его можно сразу перевести к виду целого уравнения, исключив при этом корни, обращающие знаменатель в нуль. Основное правило пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

Решим уравнение, записанное в виде пропорции.

Исключим корни, обращающие знаменатель в нуль. Данные значение образуют область допустимых значений.

то есть

ОДЗ – все значения s, кроме чисел 0 и . Или, по-другому, корни нашего уравнения:

Выполним перенос выражения из правой части в левую, поменяв при этом знаки коэффициентов на противоположные, и приведение подобных.

Получим: . Отсюда s=2. Число 2 входит в ОДЗ нашего уравнения.

Поверим полученный результат:

Получили верное равенство. Значит, мы верно нашли корень уравнения.

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3) х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6

х2-6х-х2-5х = 6-8 -11х = -2

Решение дробных рациональных уравнений

Чтобы решить дробное рациональное уравнение надо:

перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;

привести дроби к общему знаменателю;

заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

решить получившееся целое уравнение;

исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.

Решим дробное рациональное уравнение

ОДЗ: x+1≠0 и x+3≠0⇒x≠−1 и x≠−3

Сократим дроби в левой части. 5(x+3)+(4x−6)=3⋅(x+1)⋅(x+3).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

9x+9=3x2+12x+9

3x2+3x=0

Выносим за скобку общий множитель: 3x⋅(x+1)=0

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при x=0 и x=−1.

x= −1 не входит в ОДЗ, значит, у исходного уравнения один корень х=0.

Тема 9. Степень с отрицательным целым показателем

Представление чисел в виде степени а-n

При решении задач, доказательствах тождеств и других алгебраических заданиях часто возникает необходимость представлять числа в виде квадрата, куба или другой натуральной степени.

Степень – это многократное умножение одинаковых выражений самих на себя.

Чтобы представить какое-нибудь число в виде степени, его нужно разложить на одинаковые множители.

Например, 25=5·5=52; 256=16·16=162=(42)2=44=(22)4=28

А теперь рассмотрим следующий пример.

В то же время это частное можно заменить дробным выражением.

Получается, что .

Таким образом, получается, что a– n=

Примеры: a– 1=;

Приведение дробей к виду, не содержащему отрицательной степени

По определению степени с отрицательным показателем имеем:

Тема 10. Рациональные числа Множества и их элементы. Обозначения:

, N, Q, Z. Обратные и противоположные числа

Множество – совокупность (набор) различных объектов, каждый из которых называется элементом.

Множество может состоять из любого количества элементов. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым и обозначают Ø. Есть множества, состоящие из одного элемента, двух элементов, бесконечного числа элементов и другие.

Примеры пустых множеств: множество вечных двигателей, множество чисел, делящихся на ноль. Множества, состоящие из одного элемента: множество столиц России, множество чисел, не являющихся ни положительными, ни отрицательными. Бесконечные множества: множество натуральных чисел, множество отрицательных чисел.

Когда какой-нибудь объект является элементом множества, используется обозначение . А если объект не является элементом множества то обозначение .

Если множество целых чисел пополнить дробными числами, то получится множество рациональных чисел.

Сложение, умножение, вычитание и деление при не равном нулю делителе дают результатом рациональное число.

Все множества чисел имеют свои обозначения. Натуральные числа обозначаются N, целые числа – Z, а рациональные числа – Q.

Например, выражение «число 5 является натуральным числом» на математическом языке записывается так: . Любая дробь – это число рациональное, но не целое. Запишем на математическом языке множеств принадлежность числа к соответствующим множествам.

Любое целое число имеет противоположное и обратное ему число. Например, числу 7 противоположным является число , а числу противоположно число 1,2.

Обратным числу n называется такое число, которое при умножении на n даёт 1.

То есть обратным числу 6 является число , так как . А обратным числу является число , так как .

Обыкновенные и десятичные дроби. Периодические бесконечные дроби

Любое рациональное число можно представить в виде дроби , где , а .

Каждая из равных между собой дробей является представителем некоторого рационального числа. Среди представителей того или иного рационального числа есть представитель с наименьшим знаменателем. Этот представитель является несократимой дробью.

Любое рациональное число можно представить десятичной дробью. Причем, если разложение знаменателя несократимого представителя этого числа является произведением только двоек и пятерок, то получается конечная десятичная дробь.

Если же разложение знаменателя несократимого представителя рационального числа содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь.

Найдём десятичное представление числа , поделив числитель 16 на знаменатель 37.

16 37 160 37 160 37 160 37

0 148 0,4 148 0,43 148 0,432

12 120 120

111 111

9 90

Проведя 4 шага деления, замечаем, что очередной остаток 16 повторил число, с которого началось деление. Это означает, что будут повторяться и следующие остатки, причём в том же порядке, а значит, будут повторяться и цифры частного. Таким образом, . Повторяющаяся группа цифр 432 называется периодом десятичной дроби, а сама дробь – бесконечной периодической десятичной дробью.

Бесконечные периодические десятичные дроби принято записывать короче, заключая период в скобки: = 0,(432).

Запись 0,(432) читают: 0 целых и 432 в периоде.

При представлении некоторых рациональных чисел десятичными дробями повторяющаяся группа цифр может начинаться не сразу после целой части. Например:

= 0,6351351351… = 0,6(351); = 2,8636363… = 2,8(63);

= 13,54666… = 13,54(6); = 3,64189189189… = 3,64(189).

Группа цифр между целой частью и периодом называется допериодом. В записи 13,54(6) допериод равен 54, период равен 6. Эта запись читается: 13 целых 54 сотых и 6 в периоде. Таким образом, любое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью или бесконечной периодической десятичной дробью.

Тема 11. Квадратный корень из неотрицательного числа

Определение. Свойство квадратного корня. Представление подкоренного выражения в виде квадрата. Извлечение корней

Числа 6 и −6 оба удовлетворяют уравнению y2 = 36. Их называют квадратными корнями из числа 36.

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.

Неотрицательный корень уравнения y2 = 36, т. е. число 6, называют арифметическим квадратным корнем из числа 36.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Арифметический квадратный корень из числа a обозначают и читают «Квадратный корень из a».

Знак называют знаком арифметического квадратного корня. Выражение a, записанное под знаком корня, называют подкоренным выражением.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Извлечение квадратного корня является действием, обратным действию возведения в квадрат.

Возведение в квадрат можно выполнить над любым числом, а извлечение квадратного корня невыполнимо для отрицательного подкоренного выражения. Например, выражение не имеет значения, поскольку нет такого числа, квадрат которого был бы равен −4.

Выражение имеет значение, если a ≥0.

В соответствии с определением арифметического квадратного корня при любом значении a, a ≥ 0, истинно равенство: .

Чтобы извлечь корень из какого-либо числа, нужно представить его в виде квадрата некоего числа, а затем провести действие извлечения корня.

1225 5

245 5

49 7

7 7

То есть 1225 = 5·7·5·7=35·35=352, значит, .

Действие, обратное возведению в третью степень, называют извлечением корня кубического, возведению в четвертую степень — извлечением корня четвертой степени и т. д. Вообще, корнем степени n из числа a называют такое число x, n-ая степень которого равна числу a.

Возведение в степень произведения, дробей, содержащих корень

Применим свойства степеней для выражений, содержащих квадратные корни.

Так как (ab)n=anbn, то .

или

Если подкоренное число нельзя записать в виде квадрата какого-либо числа, значит, его нельзя извлечь из-под корня. В таком случае число либо оставляют под корнем, либо вычисляют значение корня приближённо.

Например, число 5 нельзя представить в виде квадрата. Значит, извлечь нельзя.

, то есть .

Если быть точнее: 2,2<<2,3; ещё точнее 2,23<<2,24 и так далее. Получаем или .

Решение уравнений, содержащих корень, квадрат

Рассмотрим 2 случая : если а≥0 и а<0.

Если а≥0, то по определению арифметического корня . Если a<0, то (-а)>0, поэтому .

Таким образом, для любого числа а справедливо равенство: .

Исходя из этого равенства, можно сформулировать правило решения уравнений вида х2=а.

Для любого уравнения вида х2=а, где а>0, можно записать корни: .

Решением уравнения х2=49 являются два числа: х1=7 и х2= –7. Решением же уравнения х2=5 являются два числа: .

Для решения уравнений вида , где а≥0, нужно возвести в квадрат число а.

. Действительно, по определению квадратного корня .

Тема 12. Иррациональные числа Что такое иррациональное число. Внесение целого числа и десятичной дроби под знак корня и вынесение из-под знака корня

Мы уже с вами ранее узнали, что для того чтобы извлечь из-под корня какое-либо число, необходимо представить его в виде квадрата. А результат извлечённого из-под корня числа выражается при этом рациональным числом. Если же подкоренное выражение нельзя представить в виде квадрата, а результат извлечения из-под корня не является числом рациональным, то такое число называется иррациональным. Иррациональные числа обозначаются I.

Так, например, число 2 не является рациональным. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью: 2 = 1,414213562373095048801688724209… .

Числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, являются иррациональными.

Для сравнения иррациональных чисел, а также для решения некоторого типа задач часто приходится внести выражение под знак корня или вынести из-под него. Для этого пользуются определением квадратного корня и правилом извлечения корней из произведения и дроби.

и наоборот

Сравним и . Представим число в виде корня, а затем сравним полученные выражения. . . Значит, <.

Свойства квадратных корней

Систематизируем все свойства квадратных корней, которые мы рассмотрели.

, где а≥0

если a>b, то

Тема 13. Множество действительных чисел Обозначение действительных чисел. Состав множества R. Сравнение десятичных дробей, чисел с разными знаками

Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают R.

Взаимосвязь всех числовых множеств можно показать на рисунке.

Q I

Сравним числа 0,45678… и −1,23459… . Поскольку первое из данных чисел положительное, а второе отрицательное, то 0,45678… > −1,23459…

Сравним числа 3,14159… и 3,14295… . У этих бесконечных десятичных дробей одинаковые целые части, десятые и сотые, но разряд тысячных первого числа содержит 1 единицу, а второго — 2 единицы. Поэтому 3,14159… < 3,14295…

Представление периодических бесконечных дробей в виде обыкновенных. Сравнение чисел разного вида

При переходе от бесконечной периодической десятичной дроби к обыкновенной дроби можно пользоваться следующими правилами: бесконечная десятичная периодическая дробь без допериода равна обыкновенной дроби, числитель которой равен периоду, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде.

Бесконечная десятичная периодическая дробь с допериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами допериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде, и столькими нулями, сколько цифр в допериоде.

Чтобы сравнить числа, записанные в разном виде, нужно сначала представить их в одинаковом виде.

Сравним числа 4,8 и . Представим число 4,8 в виде корня. 4,82=23,04 . . Значит, .

Тема 14. Функция у=

, её свойства и график Область определения функции. Область значения функции. Построение графика функции по точкам. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на определённом промежутке области определения

Для обозначения функции вообще можно использовать любую другую букву латинского (или реже греческого) алфавита: g(x), h(x), s(x), φ(x) и т.д.

В 7 классе мы уже познакомились с линейной функцией y=kx и функцией y=x2 и их графиками. Мы знаем, что графиком функции y=x2, где х≥0, является часть параболы – её правая ветвь. Но и при х≤0 построение параболы возможно. Это говорит о том, что область определения функции у=х2 – вся числовая ось.

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считают, что она совпадает с областью допустимых значений аргумента.

Например, областью определения функции f(x)=х2-2х является множество всех чисел. А областью определения функции является множество всех чисел, кроме 0 и 2, так как при х=0 и х=2 знаменатель дроби обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Рассмотрим теперь функцию . Так как выражение имеет смысл только при x≥0, значит, область определения (область допустимых значений аргумента) функции - множество неотрицательных чисел. Другими словами функция может принимать свои значения только при x≥0.

Составим таблицу значений функции . Значения х берутся произвольно из области определения, а у получаются при подстановке х в уравнение функции.

х	0	1	4	9	16
у	0	1	2	3	4

Мы получили пары значений, которые являются координатами точек графика функции: А(0;0), В(1;1), С(4;2) и т.д. Построим на координатной плоскости эти точки и плавно соединим. Получится график функции .

Если взять определённый промежуток области определения функции, то самое большое значение функции на этом промежутке называется её наибольшим значением или максимумом функции, а самое маленькое значение функции на этом промежутке называется её наименьшим значением или минимумом.

На всей области определения функции минимальным значением является у=0. Это значение является наименьшим значением функции . Но, например, на промежутке [4;9] унаим.=2, а унаиб.=3.

Если при любом x2>x1 значения y2>у1 на каком-либо промежутке области определения, то функция на этом промежутке возрастает. Если же на каком-либо промежутке при x2>x1 значения y2<у1, то функция убывает.

Так как на всем протяжении области определения функции при любом xn+1>xn функция принимает значения yn+1>уn, то функцию можно назвать возрастающей. Она на любом промежутке своей области определения будет возрастать.

Нахождение f(a), f(xn), (f(x))n, f(kx), f(x+a)

В любом из случаев f(a), f(xn), f(kx), f(x+a) нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, а в случае (f(x))n нужно значение функции f(x) возвести в степень n.

Найдём, например, значения f(a), f(xn), f(kx), f(x+a), (f(x))n для функции , если a=4, n=6, k=9.

Выпуклость вверх и вниз. Решение неравенств по графику функции. Нахождение наибольших и наименьших значений по графику и аналитически

Мы уже с вами знаем много различных свойств функции – область определения, область значений, возрастание и убывание функции. Также к свойствам функции можно отнести и выпуклость графика вверх или вниз. Аналитически этого определить нельзя, можно только по графику. Выпуклость графика не зависит от возрастания или убывания функции. Это определяется визуально.

Например, на графиках, изображённых ниже, слева изображены графики, выпуклые вниз, а справа – выпуклые вверх.

Графики функций у=х2 и выпуклы вверх, а функции у= – х2 выпуклый вниз.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции. Промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения, называют промежутками знакопостоянства.

Для решения неравенства у<0 по графику нужно найти промежутки области определения, при которых график расположен ниже оси ОХ, а для решения неравенства у>0 те, при которых график расположен выше оси ОХ.

Например, на графике, представленном ниже, решением неравенства у<0 (значения функции отрицательны) являются следующие промежутки: , а решением неравенства y≥0 (значения функции неотрицательны) промежуток .

На этом графике наибольшее значение функция принимает при х= –1. Ещё можно находить наименьшие и наибольшие значения функции, подставляя значения х в уравнение функции. Этот способ носит название аналитического.

У функции наибольшего значения нет, так как область определения функции [0;∞). Значение при х=∞ невозможно определить.

Тема 15. Свойства квадратных корней Основные свойства квадратных корней

, где а≥0

если a>b, то

Пример. Вычислим значение выражения:

а) б) в) г)

Решение

а) Так как из 128 и 18 корень не извлекается, то представим эти числа в виде произведений и применим свойство извлечения корня из произведения.

б) Для нахождения корня из дроби, содержащей десятичные дроби, нужно воспользоваться основным свойством дроби: при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же положительное число получается дробь, равная данной.

в) Применим теорему о корне из степени

г) Представим подкоренное выражение в виде произведения степеней простых множителей и применим свойства извлечения корней из произведения и степени.

Извлечение корня из смешанного числа, из десятичной дроби, из разности квадратов

Чтобы извлечь корень из смешанного числа, нужно представить это число в виде обыкновенной неправильной дроби, а затем извлечь корень, используя свойство извлечения корня из дроби.

Если подкоренное выражение представлено в виде десятичной дроби, то можно начать с преобразования формата, т.е. представить десятичную дробь в виде обыкновенной.

Если под рукой нет калькулятора или таблицы квадратов, то можно воспользоваться известными математическими приёмами. Например, формулы сокращенного умножения могут помочь при извлечении квадратных корней.

Нахождение значений выражений, содержащих корень

Для нахождения значения выражения вида можно воспользоваться ФСУ «квадрат суммы».

ФСУ «разность квадратов» применима при решении выражений вида .

С помощью вынесения общего множителя за скобку можно решить следующее математическое выражение: .

Тема 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня Внесение множителя под знак корня и вынесение из-под знака корня. Разложение на множители выражения, содержащего корень

Так как согласно определению квадратного корня , то для выполнения операции внесения числа под знак корня можно воспользоваться преобразованием .

Для вынесения выражения из-под знака корня нужно подкоренное выражение представить в виде квадрата, а затем вынести получившееся выражение из-под знака корня в соответствии с правилом . Это же определение квадратного корня в совокупности с формулами сокращённого умножения используют для того, чтобы разложить на множители выражение, содержащее корень.

Пусть требуется упростить выражение Для этого представим число 75 в виде произведения, в котором один из множителей является квадратом натурального числа, и применим свойство извлечения корня из произведения. Итак: Мы представили в виде произведения чисел 5 и . В этом случае говорят, что мы вынесли множитель за знак корня.

Теперь упростим исходное выражение: .

Для демонстрации процесса внесения под знак корня сравним значения выражений и .

Представим в выражении множитель 2 в виде арифметического квадратного корня и выполним умножение корней. Мы заменили произведение выражением В таких случаях говорят, что мы внесли множитель под знак корня.

Теперь можно сравнить и . Так как , то

Под знак корня можно вносить только неотрицательный множитель. Например, выражение можно преобразовать, внеся под знак корня множитель 7:

Выражение где с<0, можно преобразовать, внеся под корень положительный множитель – с:

Представим разложение на множители следующим примером.

Найти наибольшее значение дроби .

Представим знаменатель дроби в виде разности квадратов, воспользовавшись тем, что а≥0. Получим:

Дробь принимает наибольшее значение, когда её знаменатель является наименьшим. Этого можно достичь при а=0. Если а=0, то . Значит, наибольшее значение дроби равно .

Сложение и вычитание выражений, содержащих корень. Применение ФСУ к выражениям, содержащим корень

Сложение и вычитание выражений, содержащих корень, проводится как приведение подобных. То есть можно складывать выражения, содержащие корень с одинаковым подкоренным выражением, но с разным или одинаковым коэффициентом.

Т.е., например,

Для применения ФСУ к выражениям, содержащим квадратный корень, нужно устно представить (или заменить) корень вместе с подкоренным выражением как новую переменную и, если получившийся вид нового выражения совпадает с ФСУ, решить это выражение с применением формулы. По окончании решения вернуться к исходному значению корня.

Пример 1

Если мысленно заменить на х, а на у, то можно увидеть, что в скобках находится сумма и разность двух выражений (), поэтому применяем формулу сокращенного умножения «разность квадратов».

Пример 2

Выполнить умножение

Пример 3

Раскрыть скобки

Пример 4

Упростить

Данное выражение определяет ФСУ «разность кубов»: а3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

То есть

Умножение и деление одночленов и многочленов, содержащих корни

При умножении иррациональных выражений перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Примеры:

Докажите тождество

Необходимо в каждой из скобок привести дроби к общему знаменателю. В первой скобке общим знаменателем будет выражение (b-a), представляющее собой разность квадратов . Во второй скобке общим множителем будет выражение .

Таким образом

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Преобразовать заданное алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней: .

Воспользуемся тем, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим, .

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют обычно освобождением от иррациональности в знаменателе.

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

Разложить знаменатель дроби на множители.

Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на . Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на .

Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.

Выражения вида и называются сопряженными.

Рассмотрим общие случаи и конкретные примеры.

Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:

Примеры.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный или кубический корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:

Примеры.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Тема 17. Модуль действительного числа Свойство модуля. Построение графика функции «Модуль». Свойства функции

Если рассматривать геометрический смысл модуля, то говорят, что модуль – расстояние до конкретной точки координатной прямой от начала координат в единичных отрезках. Так как никакое расстояние не может быть отрицательным, то легко понять, что значение модуля любого числа – это число неотрицательное. Например, расстояние от начала координат до точки А(-5) равно 5. По-другому, |-5|=5.

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта, т.е. удалена от начала координат на 0 единичных отрезков. Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а|=|а|.

Итак, .

Свойства модулей чисел: 1) |а|≥0; 2) |ab|=|a|⸳|b|; 3) (b≠0); 4) |a2|=a2; 5) |a|=|-a|

Решим уравнение |x-1|=2, используя определение и смысл модуля.

|-2|=2 и |2|=2. Т.е. х-1= –2 или х-1=2. Получили 2 линейных уравнения. Корнем уравнения х-1= –2 является число х= –1, а корнем уравнения х-1=2 является число х=3.

Проверим решения. |-1-1|=|-2|=2, |3-1|=|2|=2.

Перейдём к построению графика функции у= |х|. Вспомним алгоритм построения графика функции:

находим область определения функции;

берём несколько точек из области определения функции;

подставляем значения х из ООФ в уравнение функции;

полученные пары чисел (х;у) – точки графика функции.

Областью определения функции «Модуль» является вся числовая ось. Для построения графика возьмём 3 или 5 точек. 1 точка – вершина графика, 2 или 4 точки – для более точного построения.

х	-2	-1	0	1	2
у	2	1	0	1	2

Построим график функции у=|х-1|. Так как в формулу функции входит модуль, то его необходимо раскрыть, рассмотрев 2 случая. Поэтому функцию можно записать в виде

То есть при х≥1 строится луч, удовлетворяющий уравнению х-1, а при х<1 строится луч, удовлетворяющий уравнению 1-х.

Для построения графика возьмём точки, ближайшие к 1 – точки -1, 0, 1, 2 и 3.

|x-1|=|0-1|=1, |x-1|=|1-1|=0, |x-1|=|2-1|=1.

х	-1	0	1	2	3
у	2	1	0	1	2

Центральная точка (вершина графика) – точка А(1;0), крайняя левая точка С (-1;2), крайняя правая точка В(3;2).

СА – луч 1-х, а ВА – луч х-1.

Таким образом, графиком данной функции является ломаная САВ.

Свойства графика функции «Модуль»:

область определения функции – вся числовая ось;

функция симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину;

функция убывает при х(-), возрастает при х(-), где а – координата вершины;

функция ограничена снизу если у= |kx+b| и ограничена сверху, если у= – |kx+b|.

Используя определения арифметического квадратного корня и модуля, можно сделать вывод, что при любом значении х верно равенство .

Кроме построения графиков функций, содержащих модуль, и решения уравнений модуль ещё рассматривается при решении неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим неравенство |х|≤а, где а>0. Этому неравенству удовлетворяют все точки х, находящиеся на расстоянии, не большем а, от точки 0, т.е. точки отрезка [-a;a].

Отрезок [-a;a] – это множество чисел х, удовлетворяющих неравенству -а≤х≤а.

Следовательно, неравенство |х|≤а, где а>0, означает то же самое, что и двойное неравенство -а≤х≤а.

Решим неравенство |5-3х|<8. Запишем данное неравенство в виде -8<5-3x<8.

-8<5-3x<8 → -8-5< -3x<8-5 → -13< -3x<3 → - < -x<1 → 1< x < .

Решим ещё одно неравенство в качестве примера. |х-1|≥2.

Рассмотрим два случая: если х-1 ≥0 и если х-1<0.

Пусть х-1 ≥0. Тогда х-1≥2. Значит, х≥3. Пусть х-1<0, тогда –(х-1)≥2 или х-1≤ -2. Отсюда х≤ -1.

Итак, во-первых, неравенство |х-1|≥2 выполняется при х≥3, а во-вторых, при х≤ -1. Так как возможны оба этих случая, то эти решения объединяются.

Ответ: .

Тема 18. Квадратичная функция и функция «Обратная пропорциональность» ООФ. ОЗФ. Определение свойств по графику. Построение графика по точкам

Ранее (в 6, 7 и начале 8 классов) вы познакомились с понятием функции, со свойствами и графиками некоторых функций и способами задания функций.

Если рассматривать графики реальных зависимостей, можно заметить, что всегда имеются две взаимосвязанные величины. С изменением первой величины меняются и значения второй. В таких ситуациях первую величину называют независимой, а другую зависимой. Так, например, с течением времени меняются рост человека, вес ребёнка, пройденная бегуном дистанция. В этих примерах время – независимая величина. Остальные величины, значения которых определяются значениями времени – зависимые. При построении графиков независимую величину всегда откладывают по горизонтальной оси, а зависимую – по вертикальной.

Функцией называется соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y.

Переменную х (элемент множества Х) называют независимой переменной или аргументом, а переменную у (элемент множества Y) – зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х. Если переменная у является функцией от переменной х, то используется запись y=f(x) (читается: «у равен f от х»). Если функция задана выражением с переменной х, то символом f(x) обозначается выражение, которым задаётся эта функция.

Если одновременно рассматриваются несколько функций, то для их обозначения используются и другие буквы латинского или греческого алфавитов. Например, буквы g, h, φ.

Множество значений аргумента (значения х, при которых функция будет иметь смысл) называют областью определения функции. Если задаётся функция, то указывается правило соответствия и область её определения. Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считают, что она совпадает с областью допустимых значений аргумента. Например, областью определения функции f(x)=x2-2x является множества всех чисел. А областью определения функции является множество всех чисел, кроме 0 и 2.

В формулу S=a2 вместо переменной а можно подставить любое число. Однако если речь идёт о площади квадрата S как функции его стороны а, то областью определения этой функции является множество положительных чисел.

Область определения функции y=f(x) принято обозначать символом D(f) или D(y).

Используя эти обозначения, область определения функции f(x)=x2-2x можно записать так: D(f)=.

А область определения функции так: D(y)=.

Все значения, которые принимает функция, называют областью значений функции.

Для области значений функции у=f(x) принято обозначение Е(f) или Е(у).

Например, для функции f(x)=x2, где -3≤х≤3, областью значений служит промежуток [0;9], т.е. E(f)=[0;9].

Значения аргумента, при которых функция у=f(x) обращается в нуль, называют нулями функции. Промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения, называют промежутками знакопостоянства.

В различных областях науки и техники часто встречаются функции, которые называют квадратичными. Например, площадь квадрата у со стороной х, или если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой , где s0 – расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t=0.

В этих примерах рассмотрены функции вида y=ax2+bx+c.

Функция вида y=ax2+bx+c, где a, b, c – заданные действительные числа, а≠0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией.

Например, квадратичными являются функции: y=x2, y= –2x2, y=x2 – x, y=x2 –5x+6, y=.

Рассмотрим функцию у=х2, т.е. квадратичную функцию y=ax2+bx+c при а=1, b=с=0. Для построения графика этой функции составим таблицу некоторых её значений.

х	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
у=х2	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции у=х2. Кривая, являющаяся графиком функции у=х2, называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у=х2. Для этого внимательно прочтём график функции.

Значение функции у=х2 положительно при х≠0 и равно нулю при х=0. Можно увидеть, что парабола у=х2 проходит через начало координат, а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у=х2 касается оси абсцисс в точке (0;0).

График функции у=х2 симметричен относительно оси ординат. Таким образом, ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы. Для параболы у=х2 вершиной является начало координат.

Сравним графики функций у=2х2 и у=х2. Составим таблицы значений этих функций.

х	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
у=х2	16	9	4	1	1	4	9	16
у=2х2	32	18	8	2	2	8	19	32

При одном и тои же х значение функции у=2х2 в 2 раза больше значения функции у=х2. Это значит, что каждую точку графика у=2х2 можно получить из точки графика функции у=х2 с той же абсциссой увеличением её ординаты в 2 раза.

Говорят, что график функции у=2х2 получается растяжением графика функции у=х2 от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

В то же время можно заметить, что график функции получается сжатием графика функции у=х2 к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

Сравним функции у= –х2 и у=х2. При одном и том же х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции у= –х2 можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции у=х2. Аналогично график функции симметричен графику функции относительно оси Ох.

График функции у=ах2 при любом а≠0 также называют параболой. При а>0 ветви параболы направлены вверх, а при a<0 – вниз.

Рассмотрим график и свойства функции . Для этого нам сначала нужно вспомнить функцию, называемой прямой пропорциональностью. Прямая пропорциональность – это функция, которую можно задать формулой y=kx, где k – не равное нулю число. Почему эта функция называется пропорциональностью? Потому что у изменяется пропорционально изменению х. При k>0 во сколько раз увеличивается х, во столько же раз увеличивается и у.

Функции прямо пропорциональна числам, обратным значениям х. Здесь х стоит в знаменателе дроби. А мы уже знаем, что в дроби, чем больше знаменатель, тем меньше дробь и наоборот, чем меньше знаменатель, тем больше дробь. То есть функцию называют обратной пропорциональностью. Во сколько раз увеличивается х, во столько же раз уменьшается у, и во сколько раз уменьшается х, во столько же раз увеличивается у. При этом k≠0. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Областью определения функции, заданной формулой , является множество действительных чисел, отличных от нуля, так как выражение имеет смысл при любых х, где х≠0.

Графиком функции обратная пропорциональность является гипербола. При k>0 график функции получается из графика функции путём его растяжения от оси х в k раз, если k>1, и его сжатия к оси х в раз, если 0<k<1. При k<0 график функции получается из графика функции в результате симметрии относительно оси х.

Наибольшее и наименьшее значение функций. Ограничение сверху и снизу

Когда мы рассматриваем любой из графиков квадратичных функций, то можем заметить, что значения функции на одной ветви параболы всегда уменьшаются, а значения на другой ветви параболы увеличиваются. В таком случае говорят, что на первой ветви функция убывает, на второй возрастает.

Аналитически это можно описать так: если при любых значениях аргументов, где х2>x1, значения функции у2>у1, то функция является возрастающей. Если же при любых х2>x1 значения функции у2<у1, то функция является убывающей.

Если взять часть убывающей ветви параболы, то крайнее левое значение будет максимальным на этой части ветви параболы, а крайнее правое значение – минимальным. В то же время, на возрастающей части ветви параболы крайнее левое значение функции – максимально на рассматриваемом участке, а крайнее правое – минимально.

Если ветви параболы направлены вверх, то минимальным значением функции будет являться значение функции в её вершине, если же ветви параболы направлены вниз, то значение, которое принимает функция в вершине – это её максимальное значение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на каком-либо промежутке нужно сначала определить возрастает или убывает функции на данном промежутке. Если возрастает, то на отрезке [a;b] в точке а функция принимает наименьшее значение, а в точке b наибольшее. Если же функция убывает, то, наоборот, на отрезке [a;b] в точке а функция принимает наибольшее значение, а в точке b наименьшее.

Если квадратичная функция имеет наибольшее значение, значит, функция ограничена сверху, если же имеет наименьшее значение, то она ограничена снизу. График любой квадратичной функции всегда ограничен с одной стороны.

Пересечение графиков функций. Определение количества решений системы уравнений

Если два графика функций пересекаются, значит, у них есть 1 или более общих точек. Общая точка имеет координаты, удовлетворяющие уравнениям обеих функций.

Точку пересечения находят аналитически с помощью решения системы уравнений.

Если при решении системы 2-х уравнений с двумя неизвестными получается 1 или другое конечное количество решений, значит, функции имеют одну или несколько общих точек. Количество точек пересечения – это и есть количество решений системы. Если система не имеет решений, значит, графики функций не пересекаются. Если система имеет бесконечно много решений, значит, графики функций полностью совпадают.

Например, система имеет одно решение. Это означает, что графики функций у=х2 и имеют одну общую точку (точку пересечения).

Решить систему двух уравнений с двумя неизвестными можно двумя способами. Графическим – построить в одной системе координат графики функций, записанных в системе, точки пересечения – решения системы. Аналитическим – представить оба уравнения системы в виде у= f(x) и y=g(x). Так как решение – это точки пересечения, значит, у них совпадают соответствующие координаты у и х. Для решения нужно приравнять правые части уравнений и найти значение х. Затем подставить это значение в любое из уравнений системы и получить у. Полученная пара (х;у) – решение системы.

Тема 19. Движение графиков по оси ОХ, ОY

y=f(x)+m, y=f(x+l), y=f(x+l)+m. Как определить положение графика по уравнению

Вы уже изучили некоторое количество элементарных функций: y=x, y=x2, y=|x|, y=. Но этим функции не ограничиваются. Существуют функции y=kx+b, y=ax2+bx+c и т.д., которые определённым преобразованием получаются из элементарных. Если параллельно перенести график элементарной функции по горизонтали, вертикали или отобразить зеркально, то это преобразование можно выразить в уравнении.

Чтобы определить положение графика по его уравнению нужно сначала преобразовать уравнение к одному из видов: .

у=f(x)+m означает, что график функции f(x) сместили по вертикали (по оси OY) на m единиц. При m>0 движение вверх, при m<0 движение вниз. у=f(x+l) означает движение по горизонтали (по оси ОХ) на l единиц. При l>0 движение производится влево по оси ОХ, если l<0, то движение производится вправо по оси ОХ. y=f(x+l)+m означает одновременное движение графика и по оси ОХ и по оси OY.

Рассмотрим несколько примеров.

Функция у=(х+3)2+4 означает, что функцию у=х2 сместили на 3 единицы влево по оси ОХ и на 4 единицы вверх по оси OY.

Преобразуем выражение у=х2-4х+5 к виду y=f(x+l)+m. у=х2-4х+5=х2-4х+4+1=(х-2)2+1. Из этого уравнения можно сделать вывод, что график функции у=х2-4х+5 получается параллельным переносом графика функции у=х2 на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Как построить график функции y=f(x+l)+m, если известен график функции у=f(x)

Так как мы уже знаем, как по графику определить смещение графика функции, то нам не составит труда разработать алгоритм построения графика функции y=f(x+l)+m.

Чтобы построить график функции нужно сместить сначала вершину графика функции y=f(x) по определению (см. пред. пункт), затем провести через эту точку воображаемые координатные прямые, а затем построить график функции y=f(x) в «новой» системе координат.

Тема 20. Функция у=ах2+bx+c, её свойства и график Определение вершины параболы и направления осей

Координаты вершины параболы y=ax2+bx+c можно найти с помощью уравнений.

А(х0, у0) – вершина параболы y=ax2+bx+c, где х0 находят с помощью уравнения , а у0=у(х0)= ax02+bx0+c.

Направление осей параболы определяется по знаку коэффициента а. Если a<0, то ветви параболы направлены вниз, а если a>0, то ветви параболы направлены вверх.

y=3x2+2+1 а=3>0, значит, ветви параболы направлены вверх.

у= –х2 а= –1<0, значит, ветви параболы направлены вниз.

Построение графика функции у=ах2+bx+c движением графика функции y=x2

Любой график функции y=ax2+bx+c можно получить из функции у=ах2.

Например, функцию у= х2 – 2х + 3 можно получить сдвигом вправо на 1 единицу и вверх на 2 единицы графика функции у=х2.

Проверим графически, действительно ли функцию у= х2 – 2х + 3 можно получить движением графика функции у=х2. Для этого построим график функции у= х2 – 2х + 3 по точкам.

Составим таблицу значений функции у= х2 – 2х + 3.

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у= х2 – 2х + 3	18	11	6	3	2	3	6

Построим найденные точки и проведём через них плавную кривую.

Вершина параболы по отношению к графику функции у=х2 сместилась вправо на 1 единицу и вверх на 2 единицы.

Не составляя таблицы значений и построения функции по точкам, можно сразу узнать, куда сместиться вершина параболы и, проведя мысленно через эту точку координатные прямые (взяв эту точку за начало координат), а затем построив график функции у=х2, получить искомый график. Для этого необходимо преобразовать выражение y=ax2+bx+c методом выделения полного квадрата.

Как же мы до построения графика определили, что график сместился на 1 единицу и вверх на 2 единицы графика функции у=х2? Это можно сделать преобразованием уравнения.

Преобразуем у= х2–2х+3 методом выделения полного квадрата: у= х2–2х+3=

= х2–2х+1+2=(х-1)2+2. То есть наше уравнение у= х2–2х+3 мы привели к виду y=f(x+l)+m. А чтение таких уравнений мы уже рассмотрели в предыдущем параграфе.

Построение графика функции у=ах2+bx+c, определение свойств квадратичной функции. Нахождение точек пересечения графика с осью ОХ

Научимся находить точки пересечения графика функции у= ax2+bx+c с осью ОХ.

Если график пересекает ось ОХ, значит, в точках пересечения у=0. Такие точки называют нулями функции. Для их нахождения нужно приравнять уравнение функции к нулю, затем разложить уравнение на множители вида у=а(х-х1)(х-х2) х1 и х2 – это и есть нули функции.

Найдём, например, нули функции . Разложим это уравнение на множители.

. Это значит, что в точках А(-2;0) и В(3;0) график функции пересечёт ось ОХ.

Мы уже с вами выяснили, что график функции y=ax2+bx+c можно построить двумя способами: по точкам или движением графика функции у=аx2.

Разберём ещё один алгоритм построения графика функции y=ax2+bx+c, если под рукой нет шаблона для построения движением.

1. Построить вершину параболы (х0, у0), где х0 находят с помощью уравнения , а у0=у(х0)= ax02+bx0+c.

2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.

3. Найти нули функции (f(x)=0 - точки пересечения графика с осью ОХ), если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

4. Построить 2 какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно её оси. Для этого надо взять 2 точки на оси ОХ, симметричные относительно точки х0, и вычислить соответствующие значения функции. Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х0, если х0≠0 (ординаты этих точек равны с).

5. Провести через построенные точки параболу. Заметим, что для более точного построения графика полезно найти ещё несколько точек параболы.

Свойства функций мы уже неоднократно учились определять по графику. Напомним, какие это свойства:

область определения функции;

область значений функции;

промежутки возрастания и убывания функции;

точки максимума и минимума функции;

нули функции;

значения f(0).

Рассмотрим в качестве примера функцию у=х2-4х+3. Так как квадратичную функцию можно построить при любом значении х, значит, мы можем сделать вывод о том, что область определения функции D(f)=. Чтобы определить область значений функции, нужно представить функцию в виде y=f(x+l)+m. у=х2-4х+3= х2-4х+4-1=(х-2)2-1. Таким образом, область значений функции E(f)=. Это разложение мы можем использовать для построения графика функции. Сдвинем на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз график функции у=х2.

Ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке , а возрастает на промежутке . Точка (2;-1) – минимум функции. Нули функции мы можем найти, разложив уравнение нашей функции на множители. у=х2-4х+3=

Нули функции А(1;0) и В(3;0). Точки пересечения с осью OY: f(0). f(0)= 02-4⸳0+3=3. C(0;3) – точка пересечения с осью OY. Симметричная ей точка относительно прямой, проведённой через вершину, это точка D(4;3).

Ну и, наконец, построим график функции у=х2-4х+3.

Тема 21. Графическое решение квадратных уравнений Решение квадратного уравнения – нахождение точек пересечения графика функции с осью ОХ

Любое уравнение можно решить несколькими способами. Один из способов решения – графический.

Что значить решить квадратное уравнение графическим методом? Для этого сначала выясним, как выглядит квадратное уравнение. Квадратным уравнением называется такое, в котором старшая степень переменной равна 2. То есть уравнение, приводимое к виду ax2+bx+c=0, называется квадратным. Как мы можем заметить, левая часть уравнения совпадает с общим видом квадратичной функции. Таким образом, получается, что значения х квадратичной функции, при которых у=0, будут являться корнями квадратного уравнения. А что за значения х, при которых у=0? А это точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох.

Как найти точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох по уравнению мы уже рассматривали ранее. Чтобы решить уравнение графически, нужно построить график функции любым из удобных способов, затем по графику можно определить точки пересечения.

Графическое решение квадратного уравнения – не самый надёжный способ решения, так как график не всегда может быть построен абсолютно точно. Это хорошо, если точки пересечения с осью Ох целые числа, а если числа дробные или иррациональные, тогда точно определить точки пересечения может быть очень сложно, а иногда практически невозможно. Тогда нужно находить точки пересечения аналитическим способом (по уравнению). Этим мы займёмся в следующем параграфе.

Рассмотрим пример графического решения квадратного уравнения.

Решим графически уравнение . Для решения этого уравнения нам необходимо построить график функции и найти точки его пересечения с осью Ох. Для построения можно воспользоваться одним из способов: построение по точкам или движением основного графика у=х2. Этот график легче построить, преобразовав функцию.

. Значит, можно сместить вершину графика функции у=х2 сначала вправо по горизонтали от начала координат на 9 единиц, а затем вниз по вертикали на 1 единицу. Получим (см. рис.) то, что график пересекает ось Ох в двух точках А(8;0) и В(10;0). Значит, решением квадратного уравнения будут числа х1=8 и х2=10.

Тема 22. Квадратные уравнения

Коэффициенты уравнений. Типы квадратных уравнений. Приведение квадратного трёхчлена к стандартному виду. Умножение многочлена на многочлен и приведение его к стандартному виду квадратного трёхчлена

С общим видом квадратного уравнения мы уже с вами познакомились в предыдущем параграфе. Вспомним его: ax2+bx+c=0. Переменные а, b, c в общем виде уравнения представляют собой числа или по-другому коэффициенты. А мы знаем, что числа имеют много разных типов и видов. Уравнение ax2+bx+c=0 называется полным. Если же любой из коэффициентов a или b или оба сразу равны 0, то такие уравнения называют неполными.

Вид полного квадратного уравнения ещё называют квадратным трёхчленом стандартного вида. Коэффициенты полного уравнения называются старший коэффициент или первый (при переменной второй степени), в нашем случае коэффициент a при х2, второй коэффициент или средний (при переменной первой степени), в нашем случае коэффициент b при х и свободный член уравнения (число без переменной), в нашем случае это с.

Научимся для начала определять коэффициенты уравнений, тип уравнения, приводить квадратный трёхчлен к стандартному виду. Чтобы безошибочно определить коэффициенты, вначале обучения лучше приводить уравнение к стандартному виду. Если в любом уравнении вы будете безошибочно определять коэффициенты, то в этом уже не будет необходимости.

Есть ещё два типа квадратных уравнения, связанных со старшим коэффициентом. Если старший коэффициент а равен 1, то уравнение называют приведённым, а если коэффициент а отличен от 1, то уравнение называют не приведённым.

Пример 1

Уравнение неполное, так как в нём отсутствует средний член уравнения. Коэффициент – это число вместе со знаком. Чтобы правильно привести уравнение к стандартному виду надо сначала сделать так, чтобы между членами уравнения стояли только знаки «плюс», так как стандартный виду уравнения ax2+bx+c=0 не содержит знака «минус». Как же этого добиться? Нужно вспомнить, что такое отрицательное число. Это число противоположное положительному с тем же модулем.

Итак, . Это стандартный вид уравнения. Давайте определим его коэффициенты.

Откуда мы взяли 0х? В математике отсутствие чего-либо обозначается нулем. Так и в этом уравнении. Раз нет переменой х в первой степени, значит, она была умножена на 0 или, по-другому, коэффициент перед х равен 0.

Отсюда вывод: а= –5, с=2.

Пример 2

Возьмём уравнение . Видим, что левая часть уравнения не равна 0. Этот вывод мы сделали из того, что справа стоит число –2. Значит, уравнение не находится в стандартном виде. Так как в нашем примере есть член уравнения при второй степени переменной, член уравнения при первой степени переменной и свободный член уравнения, значит, уравнение полное. Приведём его к стандартному виду. Ранее в курсе алгебры вы уже научились переносить члены уравнения из одной стороны в другую, менять местами члены уравнения. Это мы и сделаем для приведения уравнения к стандартному виду.

Итак, мы привели уравнение к стандартному виду. В этом уравнении старший коэффициент а=5, средний коэффициент b=, свободный член уравнения с=6.

Пример 3

Уравнение 2х2+4х=0 находится в стандартном виде. В уравнении отсутствует свободный член, значит, оно неполное. Коэффициенты: а=2, b=4.

Умножение многочлена на многочлен тоже может привести к получению квадратного трёхчлена, если умножаются два многочлена, в которых переменная находится в первой степени.

Например (х+3)(х+4)=0 сведётся к квадратному трёхчлену. Проверим это.

Получили один член уравнения второй при переменной второй степени, два члена уравнения при переменной первой степени, один свободный член уравнения. Старшая степень в этом уравнении вторая. Можем сделать вывод, что этот многочлен квадратный. Но есть подобные члены, значит, он не в стандартном виде. Приведём данный многочлен в стандартный вид. Получившийся многочлен – квадратный трёхчлен стандартного вида. В качестве повторения материала определим его коэффициенты. Старший коэффициент а=1, средний коэффициент b=7, свободный член с=12.

Методы решений полных и неполных квадратных уравнений

Методы решения полных квадратных уравнений мы уже немного рассмотрели. Первый способ – это разложение квадратного трёхчлена на множители. Второй способ – графическое решение. Вспомним принцип этих методов.

Любой квадратный трёхчлен ax2+bx+c можно представить в виде а(х – х1)(х – х2). Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то это уже получится квадратное уравнение. Выражение а(х – х1)(х – х2) представляет собой произведение трёх элементов а, (х–х1) и (х–х2). Любое произведение равно нулю в том случае, если один или несколько (а может и все) его множителей равны нулю. Значит, корнями уравнения а(х – х1)(х – х2)=0 будут являться числа х1 и х2.

Для примера решим уравнение .

Мы получили уравнение вида а(х – х1)(х – х2)

Если и/или , то и уравнение .

, значит, х1=1. , значит, х2= –3.

Решение неполного уравнения полностью зависит от того, какой коэффициент равен нулю. Если уравнение вида ах2+bx=0, то оно при водится к виду ах(х+b). Корнями этого уравнения являются числа х1=0 и х2= –b.

Примеры

7х2+14х=0

7х2+14х=7х(х+2)=0. Корнями этого уравнения являются числа 0 и –2.

Если уравнение вида ах2+с=0, то мы должны разложить его на разность квадратов а(х-х1)(х-х2). Это возможно только если с<0. Если же с>0, то уравнение вида ах2+с=0 не имеет корней. И, наконец, любое уравнение х2=р имеет 2 корня при р>0 это и .

2х2–2=0 2х2–2=2(х2–1)=0 2(х–1)(х+1)=0. Отсюда х1=1, а х2= –1.

Уравнение х2+6=0 на множители не раскладывается. Можно ещё заметить, что

х2+6=0 х2= –6 Мы знаем, что любое число в квадрате – число положительное, а у нас х2= –6<0. Значит, уравнение х2+6=0 не имеет корней.

Тема 23. Формулы корней квадратных уравнений Дискриминант. Определение количества корней квадратного уравнений по дискриминанту. Взаимное расположение оси ОХ и параболы

Несколько способов решения квадратных уравнений мы уже рассмотрели. Но есть ещё один способ решения. Он является универсальным для всех уравнений полного вида. Это решение по формулам.

Главным элементом в этих формулах является дискриминант. Дискриминант можно получить, преобразовав квадратное уравнение. Конечно, каждый раз мы его так выводить не будем. Здесь вывод даётся для ознакомления.

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: ax2+bx+c=0, где a≠0. Разделим обе части уравнения на а. Получим: . Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился квадрат двучлена: ,

Если , то , откуда

, или .

Эта формула корней квадратного уравнения. Под корнем в этой формуле располагается дискриминант.

Итак, можно решение любого квадратного уравнения свести к следующим формулам:

Мы с вами знаем, что подкоренное выражение не может быть отрицательным. Из этого делается вывод о количестве корней. Если D>0, то уравнение имеет 2 корня.

. Если D=0, то уравнение имеет один корень , так как . Если же D<0, то уравнение корней не имеет.

Мы ранее рассматривали графическое решение квадратных уравнений. Решение квадратного уравнения – точки пересечения параболы с осью Ох. Если D>0, значит, парабола пересекает ось Ох в двух точках. Если D=0, значит, вершина парабола лежит на оси Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось Ох, а лежит либо выше оси Ох (ветви параболы направлены вверх) или ниже оси Ох (ветви параболы направлены вниз).

Решение квадратных уравнений по формулам

Есть определённый алгоритм для решения квадратного уравнения полного вида.

Определить коэффициенты уравнения.

Подставить значения коэффициентов в формулу дискриминанта.

Определить количество корней квадратного уравнения.

Если D>0, то уравнение имеет 2 корня.

Если D=0, то уравнение имеет один корень.

Если же D<0, то уравнение корней не имеет.

Найти корни либо записать, что корней нет.

Если D>0, то уравнение имеет 2 корня .

Если D=0, то уравнение имеет один корень .

При необходимости проверить корни, подставив их в исходное уравнение.

Решим несколько квадратных уравнений для примера.

Коэффициенты:

Вычислим дискриминант: , т.е. D>0.

Уравнение имеет 2 корня.

Найдём корни уравнения:

Проверка: Подставим корни в уравнение

Ответ:

Это уравнение неприведённое, для облегчения решения поменяем знаки всех членов уравнения на противоположные, умножив обе части на –1. Получим уравнение , коэффициенты которого .

Найдём дискриминант: D=

Значит, наше уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Преобразуем уравнение так, чтобы его коэффициенты стали целыми числами. Для этого умножим обе его части на 100. Получим 100х2+20х+1=0.

Определим коэффициенты: .

Найдём дискриминант: . Уравнение имеет один корень.

По формуле находим корень .

Проверка:

Ответ:

Тема 24. Рациональные уравнения Решение пропорций. Приведение дробей к общему знаменателю

В уравнениях , , левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая и правая часть является дробным выражением, называют дробным. Так, уравнение целое, а уравнения и дробные рациональные. Причём последнее имеет вид пропорции.

Основной способ решения рациональных уравнений состоит в преобразовании их в простейшие целые уравнения: линейные или квадратные.

При решении дробных рациональных уравнений и в частности уравнений, записанных в виде пропорции нужно помнить главное правило: в знаменателе не может стоять выражение, обращающееся в нуль при каких-либо значениях переменных. Это правило записывается при решении и носит название определение «области допустимых значений». Область допустимых значений позволяет исключить так называемые «посторонние корни», которые иногда образуются при преобразовании исходного уравнения.

Итак, посторонними называют те корни линейного или квадратного уравнения, при которых хотя бы один из знаменателей рационального уравнения обращается в нуль. Естественно, они уже не будут являться корнями данного рационального уравнения и их надо исключить.

При решении дробных рациональных уравнений есть определённый алгоритм:

Привести все дроби, входящие в уравнение, к общему знаменателю, разложив для этого все знаменатели предварительно на множители.

Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель, исключив при этом те значения переменных, которые обращают знаменатели в нуль, из области допустимых значений.

Решить получившееся целое уравнение.

Исключить посторонние корни и записать ответ.

Решим уравнение . Здесь всего одна дробь в левой части, поэтому мы можем сразу умножить обе части этого уравнения на знаменатель дроби, стоящей в левой части. При этом мы должны сразу исключить х=2 как посторонний корень, так как при х=2 знаменатель дроби обращается в нуль. Умножив обе части на , получим квадратное уравнение

D =

х=2 – посторонний корень

Ответ: х=3.

Решим дробное рациональное уравнение

1) Найдём общий знаменатель дробей, входящих в уравнение: .

2) Область допустимых значений (ОДЗ): все значения х, кроме х=5 и х=.

3) Умножим все члены уравнения на это выражение.

4) Решим получившееся целое квадратное уравнение

Корень - посторонний корень.

Ответ: х=2.

Метод введения новой переменной

Очень часто для решения уравнений используется способ замены переменной. Если в уравнение неизвестная входит в состав выражения, повторяющегося в уравнении, то это выражение целиком заменяют на новую переменную. Затем уравнение решают для новой переменной, а затем возвращаются к старой переменной и вновь решают уравнение, но уже для старой переменной.

Рассмотрим следующее уравнение: .

Если мы немного преобразуем это уравнение, то легко заметим повторяющееся выражение, в состав которого входит переменная х.

В уравнение неизвестная х входит в виде выражения . Поэтому введём новую переменную . Тогда исходное уравнение примет вид: .

ОДЗ у≠0. Найдём дискриминант и корни уравнения

Вернёмся к исходной переменной: → и и . Получим 2 квадратных уравнения: и . Решив их, получим корни: для , а для уравнения корни .

То есть исходное уравнение имеет 4 корня: , .

Метод введения новой переменной используется также для решения биквадратных и иррациональных уравнений.

Уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0, где a, b и c — некоторые числа, x — переменная, причем a ≠ 0, называется биквадратным уравнением. Биквадратное уравнение ax4+bx2+c=0 заменой x2 = t сводится к квадратному.

Решим уравнение: 9s4 + 26s2 − 3 = 0.

Пусть s2 = a. Тогда 9a2 + 26a − 3 = 0. Отсюда a = −3 или a =.

Значит, s2 = −3 или s2 =.

Уравнение s2 = −3 не имеет корней.

Корнями уравнения s2 = являются числа и .

Ответ: s1 = −; s2 =.

С помощью замены можно решать и некоторые другие уравнения.

Решим уравнение

Пусть |t|=y. Тогда Это позволяет данное уравнение заменить уравнением , корнями которого являются числа: и

Вернёмся к исходной переменной t. При получаем . Отсюда получаем 2 корня: .

Если y = 2, то |t| = 2.

Это дает еще два корня: t3 = −2, t4 = 2.

Ответ: −2, 2, .

Решение задач с использованием рациональных уравнений. Задачи на движение

Большинство задач в математике решаются с использованием уравнений. При решении таких задач неизвестное данное обозначается переменной, остальные данные связывают с этой переменной, и таким образом получается уравнение.

При решении таких задач необходимо обязательно указывать, что взято за х, как переменная связана с другими данными в задаче, пояснять, как получилось уравнение.

Рассмотрим несколько задач на движение.

Задача 1.

Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть х км/ч – скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х+3) км/ч, а против течения (х – 3) км/ч.

Время измеряется как частное от деления пути на скорость. Поэтому можно заметить, что по течению реки 25 км лодка прошла за часа, а против течения 3 км – за часа. Значит, время, затраченное на весь путь, равно часам. По условию задачи на весь путь лодка затратила 2 часа, значит, .

Решим это уравнение.

Очевидно, что х=2 не подходит, так как скорость лодки против течения (х – 3) км/ч, т.е. 2–3= –1, а скорость не может быть отрицательным числом.

Итак, скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Задача 2.

Из Червеня в Березино (см. рис.) выехал автобус, а через 10 мин — маршрутное такси, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости автобуса и такси, учитывая, что они приехали в Березино одновременно.

По рисунку находим, что путь от Червеня до Березино составляет 40 км. Пусть v км/ч — скорость автобуса. Тогда скорость такси равна (v+20) км/ч. Автобус был в пути ч, такси — ч. В соответствии с условием задачи разность между временем движения автобуса и временем движения такси составляет 10 мин, т. е. ч. В результате получаем уравнение .

Решим это уравнение:

v1 = −80; v2 = 60.

При этих значениях v знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю. Значит, числа −80 и 60 являются корнями уравнения. Из них только второе число удовлетворяет условию задачи, поскольку скорость автобуса должна быть положительной. Поэтому скорость автобуса равна 60 км/ч, скорость такси — 80 км/ч.

Задача 3.

В шахту брошен камень, и звук от его удара был услышан спустя 9 с. Определите глубину шахты, считая скорость звука равной 320 м/с, а ускорение силы тяжести g равным 10м/с2.

Для нахождения глубины шахты достаточно определить время t падения камня, так как глубина шахты согласно закону свободного падения равна метрам.

По условию g=10м/с2, поэтому глубина шахты равна 5t2 метрам. С другой стороны, глубину шахты можно найти, умножив скорость звука на время его распространения от момента удара камня до момента, когда был услышан звук, т.е. на секунд. Следовательно, глубина шахты равна метрам. Приравнивая два найденных выражения для глубины шахты, получаем уравнение . Решим это уравнение:

Так как время падения камня положительно, то t=8 с. Следовательно, глубина шахты равна 5t2=м.

Задачи на работу и изменение дробей

Самые распространённые задачи на работу – это задачи про бассейны и задачи про изготовление деталей. Решим одну такую задачу.

Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить бассейн каждый кран, работая отдельно?

Пусть один кран наполнит бассейн за х ч, тогда другой кран – за (х+6) ч. Пусть объём бассейна составляет V л. Тогда первый кран в час наливает в бассейн л воды, второй кран наливает в час л. Вместе в час они наливают л. С другой стороны эти краны наполняют бассейн за 4 ч и в час наливают в него л воды. Поэтому получаем рациональное уравнение

Разделим все члены уравнения на V и получим:. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей 4х(х+6) и получим: , или , или . Корни этого квадратного уравнения х1=6 и х2= – 4.

Итак, один кран заполнит бассейн за 6 ч, тогда другой кран – за 6+6=12 ч.

Решим ещё одну задачу. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби больше её числителя на 5. Если и числитель и знаменатель увеличить на 2, то полученная дробь будет больше первоначальной на . Найдите первоначальную дробь.

Пусть числитель данной дроби равен х, тогда её знаменатель равен х+5 и дробь имеет вид . После увеличения на 2 числитель дроби стал равен х+2, знаменатель х+7. Полученная дробь имеет вид . По условию новая дробь больше данной на . Поэтому имеем рациональное уравнение . Решим его.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей 8(х+7)(х+5) и получим:

Корни этого квадратного уравнения Итак, числитель дроби 3, её знаменатель равен 3+5=8. Тогда данная дробь равна .

Задачи на сплавы

К сплаву меди и цинка, содержащему 19 кг цинка, добавили 20 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве уменьшилось на 25%. Какова была первоначальная масса сплава?

Пусть первоначальная масса сплава была равна х кг. Тогда меди в нём было кг и она составляла от массы сплава. Масса нового сплава, полученного после добавления 20 кг цинка, оказалась равной (х+20) кг, а медь в нём составила . По условию задачи содержание меди уменьшилось на 25%. Следовательно, . Отсюда .

Решив это уравнение, найдём, что оно имеет два корня х1=20 и х2=40. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 20 кг или 40 кг.

Тема 25. Другие формулы корней квадратных уравнений

и формула корней

Квадратные уравнения, у которых второй коэффициент – чётное число, удобно решать по формуле корней, записанной в другом, более простом виде.

Рассмотрим квадратное уравнение, которое имеет вид ax2+2kx+c=0, где k – целое число. Найдём его дискриминант: .

Введём новое обозначение: .

Если D1>0, то по общей формуле корней квадратного уравнения будем иметь

Можно заметить, что если заменить ax2+2kx+c=0 на выражение ax2+bx+c=0, то b=2k. Отсюда k=. Если вернутся к общему виду квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то получим следующую формулу , где D1=. Её называют формулой корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

При D1=0, корень, по-прежнему находится по формуле х=, а при D1<0 уравнение корней не имеет.

Для примера решим уравнение .

. x1=1;

Теорема Виета

Между корнями приведённого квадратного уравнения и его коэффициентами существует определённая связь. Давайте её проследим с помощью некоторых примеров.

Уравнение	Корни	Сумма корней	Произведение корней
	2 и 3	5	6
	– 3 и – 4	– 7	12
	– 1 и 5	4	– 5

Сравнив сумму и произведение корней каждого уравнения с его коэффициентами, можно обнаружить, что в каждом случае сумма корней противоположна коэффициенту при х, а их произведение равно свободному члену. Этим свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Справедливо следующее утверждение: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это утверждение носит название теоремы Виета.

Итак, подведём итог.

Приведённое квадратное уравнение принято записывать так: . Тогда связь корней квадратного уравнения с коэффициентами можно выразить следующим образом: и . Эти формулы называют формулами Виета.

Разделив обе части неприведённого квадратного уравнения на а, получим приведённое квадратное уравнение с теми же корнями. Значит, мы можем применить теорему Виета и для неприведённого квадратного уравнения.

В некоторых случаях можно, используя теорему Виета, подобрать корни, не прибегая к формуле корней.

Решим в качестве примера уравнение Число 15 можно получить перемножением целых чисел только одним способом, если х1=5, а х2=3. А сумма 5+3 действительно равна 8.

Для проверки подставим эти числа в исходное уравнение: и

Тема 26. Иррациональные уравнения Виды иррациональных уравнений и их решение

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

При решении иррациональных уравнений следует помнить несколько ограничений:

1) Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (т.е. больше или равным нуля).

2) Корень четной степени может принимать только неотрицательные значения.

Почти каждое уравнение можно решать двумя подходами:

А) найти область допустимых значений (ОДЗ) для переменной и проверить, входят ли в эту область полученные корни,

Б) решать «в лоб», но для всех полученных корней сделать проверку, подставив их в исходное уравнение.

Но в любом случае, всегда следует стараться сделать проверку. Иногда это затруднительно, особенно если корень получился похожим на нечто такое: , но пробовать стоит всегда.

Для того, чтобы показать необходимость проверки полученных корней, рассмотрим два равенства: 2=2 и –2 =2.

Первое из них верное, а второе – нет.

Возведем обе части каждого из них в квадрат.

Получим 4=4 и 4=4.

Получено два верных равенства.

Из этого бесхитростного примера можно сделать вывод: при возведении в квадрат обеих частей уравнения нередко появляются лишние корни, т.к. при возведении в квадрат отрицательные величины становятся положительными.

Алгоритм решения уравнений вида: .

1) Найти область допустимых значений переменной, решив систему неравенств

2) Возвести в квадрат обе части уравнения, тем самым избавиться от корня.

3) Решить полученное уравнение:

4) Проверить, входят ли полученные корни в область допустимых значений.

5) Сделать проверку корней, подставив их в исходное уравнение.

Пример 1 (Уравнение имеет корни):

ОДЗ:

Возведём обе части уравнения в квадрат

, значит, не является корнем уравнения, т.к. не входит в ОДЗ.

Корень уравнения . Проверим этот корень, подставив его в исходное равенство.

Преобразуем левую часть

Получили верное равенство , значит, является корнем уравнения.

Ответ:

Пример 2 (уравнение корней не имеет):

Эта система не имеет решения, так как не существует таких чисел, которые одновременно были больше 8, но меньше 5. Получается, что область допустимых значений не содержит ни одного элемента, т.е. ни одно из значений переменной х не может быть корнем этого уравнения. На этом решение окончено.

Ответ: корней нет.

Замечание: Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей равенства в степень, равную степени корня, дабы от оного избавиться. Но есть еще замены, преобразования, сокращения и т.д. и т.п.

Метод введения новой переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1

Пусть , тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого у=6 и у= –7. Но должно быть неотрицательным. Значит, нас интересует только корень у=6.

Решая уравнение , получаем х = 3 и х = –4,5.

В следующем примере используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду , корнями которого являются и у=1.

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Тема 27. Свойства числовых неравенств Сложение и вычитание обеих частей неравенства с одним и тем же числом. Сложение двух неравенств

Для начала вспомним основное определение. Как сравнивают любые два числа. Число a больше числа b, если разность (a – b) – положительное число; число а меньше числа b, если разность (a – b) – отрицательное число; число а равно числу b, если разность (a – b) – равна нулю.

Основные свойства числовых неравенств:

Если a<b, то b>a; если a>b, то b<a.

Если a<b и b<c, то a<c.

Если a<b и с – любое число, то a+c<b+c.

Если a<b и c<d, то a+c<b+d.

Примеры: 1) 3>2,5 2) 1,2<1,3

5>4 – 3< – 2

8>6,5 – 1,8< – 0,7 Все неравенства можно определить как строги и нестрогие. Строгие это те, которые содержат знак > или <. Нестрогие это те, в которых для сравнения выражений используются знаки ≤ или ≥.

Умножение и деление неравенства на положительное или отрицательное число

Для умножения и деления неравенств пользуются следующими свойствами.

Если a<b и с – положительное число, то ac<bc; если a<b и с – отрицательное число, то ac>bc.

Если а и b – положительные числа и a<b, то

Если a<b и c<d, причём a, b, с и d – положительные числа, то ac<bd.

Примеры: 1) 3,2>3,1 2) 1,8<2,1

3>2 4< 5

9,6>6,2 7,2< 10,5

Двойные неравенства. Сравнение рациональных и иррациональных выражений

С помощью рассмотренных свойств неравенств можно оценить значение выражения с переменными, если известно, в каких границах заключены значения переменных.

Пример. Зная, что 11,5<a<11,6, оценим значение выражения 2а+3,2.

Умножим обе части каждого из неравенств 11,5<a и а<11,6 на 2. Получим соответственно 23<2a и 2а<23,2. Прибавим к обеим частям каждого из полученных неравенств по 3,2. Получим, что 26,2<2a+3,2 и 2а+3,2<26,4. Запишем всё то, что получилось в виде цепочки двойных неравенств.

11,5<a<11,6

23<2a<23,2

26,2<2a+3,2<26,4

Сравнение иррациональных выражений иногда составляет некоторую трудность. При рассмотрении иррациональных выражений необходимо предварительно выяснить имеет ли смысл данное выражение, то есть является ли подкоренное выражение не отрицательным, если корень четной степени.

При сравнении иррационального и рационального выражений, нужно преобразовать их таким образом, чтобы они стали одного типа.

Рассмотрим несколько примеров сравнения.

Пример 1. Сравните выражения и .

Для сравнения А и В можно возвести оба выражения в квадрат.

12>11 и

А значит и А>В.

Пример 2. Сравните числа и .

Возведём в квадрат оба выражения.

Получили: 6=6, значит, и = .

Пример 3. Сравним А= и В=14.

При решении этого задания воспользуемся свойствами неравенства: деление обеих частей неравенства на одно и то же число и вычитание из обеих частей неравенства одного и то го же числа.

Возведём в квадрат оба числа. и 142.

Получим: и 196.

Вычтем 98 из обоих чисел. Получим: и 98.

Разделим на 2 оба числа. Получим: и 49

Теперь снова возведём в квадрат получившиеся числа. Получим: и 492.

, а 492=2401. Из того, что 2392<2401 делаем вывод, что А<B.

Тема 28. Исследование функций на монотонность Определение возрастания и убывания функции по её графику

В параграфе 14 мы уже учились определять возрастание и убывание функции.

По графику возрастание и убывание функции определить довольно просто. Нужно представить рассматриваемую часть графика как «схематическое изображение горы». Если встать в крайнюю левую точку «горы», то если справа будет «подъём на гору», то функция возрастает, а если «спуск с горы», то функция убывает. Промежуток возрастания-убывания определяется так: от крайних левой и правой точек графика функции, где определяется возрастание-убывание, опускаются перпендикуляры на ось ОХ. Координаты точек, куда попадёт основание перпендикуляра, и есть границы возрастания-убывания функции.

Рассмотрим пример.

На рисунке, изображен график функции на отрезке [–4; 4]. Найдите промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых функция убывает.

Как можно заметить, график условно можно разбить на три участка. Точки, где график меняет своё направление, являются его точками минимума и максимума. Через эти точки, как вы можете заметить проведены пунктирные прямые. Это сделано для того, чтобы легко определить промежутки возрастания и убывания функции. Если мы пойдём с крайней левой точки графика, то сначала нам придётся спускать вниз, а значит, на промежутке функция убывает. Затем мы будем подниматься вверх по графику, значит, на промежутке функция возрастает. А затем на промежутке функция снова убывает. А мы при этом будем спускаться вниз по графику.

Итак, можно промежутки возрастания и убывания записать следующим образом: и .

Аналитическое определение монотонности

Давайте рассмотрим функцию .

Промежутки возрастания и убывания функции по-другому называют промежутками монотонности функции.

Тема 29. Решение линейных неравенств Решение простейших неравенств вида x≥a, x≤a, x>a, x<a. Запись решений в виде промежутков

Неравенство с переменной выделяет из множества всех чисел определенную его часть. Рассмотрим двойное неравенство −3 < c < 4. Отметим на координатной прямой точки A и B с координатами −3 и 4. Точка X(c), координата которой удовлетворяет неравенству −3 < c < 4, лежит между точками A(−3) и B(4), и наоборот, если точка X(c) лежит между точками A(−3) и B(4), то её координата c удовлетворяет неравенству −3 < c < 4.

А Х В

– 3 с 4

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество его решений, иначе говоря, решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

В частности, неравенства, не имеющие решений, являются равносильными.

При решении неравенств стремятся данное неравенство заменить более простым, равносильным ему, для которого множество решений легко указать.

Для того чтобы сформулировать условия перехода к равносильному неравенству, введём понятие области определения неравенства.

Областью определения неравенства с одной переменной называется множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.

Например, областью определения неравенства является множество всех чисел (то есть решением данного неравенства возможно любое число), а неравенства – множество, состоящее из всех чисел, кроме 3.

Рассмотрим примеры решения простейших неравенств.

Пример . Решим неравенство 0,2х>4.

Разделим обе части неравенства на 0,2. Получим: x>20. Это и есть решение неравенства 0,2х>4. Ответ можно записать как в виде неравенства (x>20), так и в виде промежутка: .

Пример 2. Решим неравенство .

Разделим обе части неравенства на отрицательное число –18, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Получим: . Множество решений неравенства – числовой промежуток .

Итак, рассмотрим решения всех простейших неравенств.

Вид неравенства	Графическое решение a	Запись решения в виде промежутка	Название промежутка
x>a	a		Открытый числовой луч
x≥a	a		Числовой луч
x	a		Открытый числовой луч
x≤a			Числовой луч

Алгоритм решения линейных неравенств ax+b≤kx+m и т.п.

Каждое из неравенств ax < b; ax > b; ax ≥ b; ax ≤ b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа, называется линейным неравенством с одной переменной.

При решении неравенств используются такие свойства:

1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

Эти свойства позволяют заменять данное неравенство другим, имеющим те же решения. Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сводится к линейному, нужно:

1) произвести необходимые преобразования неравенства (прибавить или вычесть какое либо число, умножить или разделить на нужное положительное число)

2) перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую;

3) приведя подобные члены, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

При решении линейных неравенств возможны двойные неравенства. Рассмотрим все виды числовых промежутков, которые могут понадобиться для записи ответа.

Пусть а и b – некоторые числа, причём a<b. Отметим на координатной прямой точки с координатами а и b. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число х, которое больше а и меньше b. Верно и обратное: если число х больше а и меньше b, то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами а и b.

числовой отрезок

интервал

полуинтервал

Пример 1. Решим для примера неравенство.

Умножим обе части неравенства на 6:

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

откуда или .

Пример 2. Решим неравенство 6(d − 3) + 5d > 12(d − 1) − d.

Раскроем скобки и выполним перенесение слагаемых:

6d − 18 + 5d > 12d − 12 − d;

6d + 5d − 12d + d > −12 + 18.

После приведения подобных получаем: 0 · d > 6.

Это неравенство не имеет решений, поскольку оно при любом значении переменной d преобразуется в числовое неравенство 0 > 6, которое ложно. Поэтому не имеет решений и данное неравенство, поскольку оно равносильно неравенству 0 · d > 6.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

Пример 3. Решим неравенство 7(3 + k) ≥ 3(k + 5) + 4k − 13.

Имеем: 21 + 7k ≥ 3k + 15 + 4k − 13; 7k − 3k − 4k ≥ 15 − 13 − 21; 0 · k ≥ −19.

При любом значении переменной k неравенство 0 · k ≥ −19 преобразуется в числовое неравенство 0 ≥ −19, которое истинно. Поэтому его решением является любое число. Это означает, что и исходное неравенство своим решением имеет любое число.

Ответ. Решение неравенства — любое число.

Иногда приходится решать линейные неравенства, имеющие общие решения. Такие неравенства мы встречаем при решении систем неравенств.

При решении систем возникает необходимость в объединении или пересечении промежутков.

Объединение промежутков.

Пересечение промежутков.

Решим для примера одну систему неравенств.

Последовательно получаем:

Множество решений каждого из неравенств b≥8 и b>2 изобразим на координатной прямой.

То, что неравенства объединены в систему,

говорит о том, что её решением будет пересечение множеств решений каждого неравенства.

Ответ:

Тема 30. Решение квадратных неравенств Алгоритм решения квадратных неравенств, содержащих квадратный трёхчлен

Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным.

Квадратные неравенства можно решать двумя способами: графическим и методом интервалов.

В этом пункте рассмотрим графический способ решения или по-другому метод парабол.

Решение рассмотрим на конкретном примере. Решим неравенство x2 – 8x+12 ≥ 0.

Первый шаг всегда одинаков и прост. Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует. Делаем из неравенства уравнение: x2 – 8x+12 = 0

Решаем это уравнение. Решаем, как обычно, через дискриминант. Получаем корни:

х1= 2; х2= 6

Первый шаг сделан.

Второй шаг решения.

На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.

Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.

Итак, на первом шаге мы из неравенства сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу: y = x2 – 8x+12

Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:

Точки 2 и 6 - это корни уравнения x2-8x+12 = 0. Они располагаются прямо на оси ОХ.

Корни уравнения - это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. А нулевой игрек - это, как раз, ось ОХ и есть.

Фиксируем: корни уравнения (2 и 6) - это значения икса, при которых выражение x2 – 8x+12 равно нулю.

А теперь прикинем: при каких иксах выражение x2 – 8x+12 будет больше нуля? Как раз для такой прикидки нам и нужна парабола. Выражение x2 – 8x+12 и есть наш игрек. На графике чётко видно, где игрек больше нуля (положительный) и где он меньше нуля (отрицательный).

Если возьмём любую точку левее х=2,например х2, то соответствующий ему у2 будет положительный. Если возьмём точку х1 ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.

Если мы возьмём икс правее точки х=6,скажем, х5, снова получим положительный у5.

Если же мы возьмём любую точку между х=2 и х=6, например х3 или х4 - мы получим соответствующие им отрицательные значенияу3 и у4.

По параболе сразу видно, при каких иксах наш игрек (а это выражение x2 – 8x+12) больше нуля, меньше нуля и равен нулю!

По параболе, визуально, мы мгновенно определили знаки выражения x2 – 8x+12 при различных иксах. Можно нарисовать вот такую картинку:

При всех иксах, которые меньше (левее) двойки, парабола проходит выше оси ОХ. Игрек при таких иксах - положительный, т.е. больше нуля. Следовательно, наше выражение x2-8x+12при таких иксах больше нуля. Если мы убежим влево за рисунок, возьмём икс, равный минус сто миллионов, всё равно наше выражение будет больше нуля. Парабола - она бесконечная, и внезапно загибаться вниз не может.

Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком "плюс".

А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.

Вот, практически и всё.

На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было "решать уравнение"... НЕ сказано было "строить график"... Это, всего лишь, наши подручные средства.

Нам было сказано: решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!

Смотрим на исходное неравенство: x2 – 8x+12 ≥ 0

Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. Мы уже всё нашли. Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак "+", (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).

Остаётся просто записать ответ.

Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.

Вот и записываем окончательный ответ: х ∈ (–∞; 2] ∪ [6; +∞)

Итак, обобщим решение в виде алгоритма решения квадратных неравенств.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.

2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

3. Рисуем ось Ох, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки - черные (закрашенные). Если строгое - белые (пустые внутри).

4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.

Решим с помощью графика ещё одно неравенство: .

График квадратичной функции - парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, имеет ли эта парабола точки пересечения с осью Ох, для чего решим квадратное уравнение .

Следовательно, парабола пересекает ось Ох в точках Неравенству удовлетворяют те значения х, при которых значения функции равны нулю или отрицательны, т.е. те значения х, при которых точки параболы лежат на оси Ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка .

Можно рассмотренный выше алгоритм представить так:

1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции;

2) найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет;

3) изобразить эскиз графика квадратичной функции, используя точки пересечения или касания с осью Ох, если они есть;

4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения.

Многочлен второй степени в неравенстве. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Второй способ решения квадратных неравенств – метод интервалов. Он плавно вытекает из предыдущего способа. В методе интервалов первое – это определить точки, в которых квадратный трёхчлен равен нулю. А это не что иное, как точки пересечения параболы с осью Ох. Для этого определения нет необходимости каждый раз полностью чертить график функции. Достаточно разложить квадратный трёхчлен на множители, нарисовать ось Ох, отметить на ней нули функции, нарисовать схематически часть параболы, обращая внимание на направление ветвей, расставить знаки и выделить ту часть графика, который соответствует знаку неравенства.

Поясним этот метод на примере.

Решим неравенства и . Для решения обоих неравенств достаточно один раз пройти весь алгоритм, а в последнем пункте для каждого из неравенств выбрать нужно решение.

1) Разложим на множители , а для этого найдём корни уравнения. х1=1, х2=3. Получаем: .

2) Точки х=1 и х=3 разбивают числовую ось на 3 промежутка:

Отмечаем на числовой оси корни уравнения . Ветви параболы, определённой этим уравнением направлены вверх. Нарисуем схематически параболу на этой оси.

1 3

Заметим, что левее 1 и правее 3 парабола выше оси, а значит, на этих промежутках значения у>0, а в промежутке между 1 и 3 значения у<0.

Теперь соответствующие значения у выберем для записи решения неравенств.

при , а при .

Интересно заметить, что с помощью этого же рисунка можно решить неравенства

и . В этом случае нам достаточно только поменять вид скобок с круглых на квадратные там, где стоят числа 1 и 3.

при , а при .

Метод интервалов применим не только к квадратному трёхчлену в стандартном виде. Если неравенство в левой части уже представляет собой произведение вида (х – х1)(х – х2), причём множители могут стоять в какой-либо степени, то можно сразу отметить на числовой оси точки х1 и х2. Если все степени множителей нечётные, а произведение имеет перед переменной х всегда положительный знак, то первым знаком справа всегда будет «+», остальные знаки чередуются. Если какой либо множитель стоит в чётной степени, то этот хn можно не включать в перечень корней, так как он не меняет знака промежутка. Если же в каком-либо множителе х стоит со знаком «-», то знаки расставляют уже по-другому. Чтобы не сбиться в правильности расстановки знаков промежутков, нужно привести левую часть неравенства к виду (х – х1)(х – х2), где перед х стоят «плюсы». Преобразовывать мы уже умеем, зная, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Для иллюстрации сказанного приведём примеры.

+ - +

(х – 5)(х + 4) > 0

– 4 5

Ответ:

(5 – х)(х + 4) < 0То есть решение (5– х)(х+ 4)<0 будет таким же.

Решим теперь такое неравенство (х – 5)2(х + 4) > 0

(х – 5)2>0 при любом х, поэтому решение будет идентичным решению неравенства (х+4)>0 или x> – 4 и выглядеть так:

– + +

– 4 5

Решим ещё одно неравенство: .

Чтобы удобнее проводить вычисления, представим данное неравенство в виде квадратного неравенства с положительным первым коэффициентом. Для этого умножим обе его части на – 1: .

Представим наше неравенство в виде . Найдём корни уравнения .

Получим: .

+ – +

– 2

Решение квадратных неравенств, содержащих корень из квадратного трёхчлена

Иногда квадратный трёхчлен стоит под знаком корня. В этом случае решение неравенства сводится к одному из двух или , если последний находится в знаменателе дроби. Почему так? Потому что подкоренное выражение не может быть отрицательным, а если в знаменателе, то выражение под корнем должно быть положительным.

Пример. Найти область определения функции у=. Область определения – это множество значений аргумента функции, при которых функция имеет смысл. А выражение имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение ≥0. То есть нахождение области определения функции у=это решение неравенства ≥0.

при .

Если же наша функция выглядит так: , то D(f)=.

Тема 31. Стандартный вид числа и приближённые значения действительных чисел Приближение по недостатку и по избытку. Вычисление с точностью до 0,1; 0,01 и т.д.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями различных величин. Приближённые значения обычно получаются при подсчёте большого количества предметов, например, числа деревьев в лесу; при измерениях различных величин с помощью приборов, например, длины, массы, температуры; при округлении чисел; при вычислениях на микрокалькуляторах и т.д.

Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «приблизительно 1000», а другой на тот же вопрос ответил: «приблизительно 950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

Первый школьник ошибся на 14, а второй – на 36. Следовательно, более точным был ответ первого учащегося.

Заметим, что разность между точным и приближённым значениями числа учащихся в первом случае отрицательна: , а во втором случае положительна: .

1000 – это приближение с избытком, а 950 – с недостатком.

Практически важно знать отклонение приближённого значения от точного в ту или другую сторону, т.е. модуль (абсолютную величину) разности между точным значением и приближённым.

Модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью приближения.

Таким образом, если а – приближённое значение величины, точное значение которой равно х, то абсолютная погрешность приближения равна . Абсолютную погрешность приближения часто называют просто погрешностью.

Округление чисел используется при действиях с приближёнными значениями различных величин во многих практических задачах математики, физики, техники.

Например, ускорение свободного падения на уровне моря и широте 450 равно 9,80665 м/с2. Обычно это число округляют до десятых: 9,8. При этом пишут: (читается «g приближённо равно 9,8»).

Запись означает, что число а является приближённым значением числа х.

Чтобы абсолютная погрешность приближения при округлении положительных чисел была наименьшей, пользуются следующим правилом:

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно округлять с недостатком (просто отбросить), а если эта цифра больше или равна 5, то нужно округлять с избытком (увеличить цифру перед отбрасываемой на 1).

Например, при округлении до десятых получаем: 3,647≈3,6; 2,658≈2,7; при округлении до сотых получаем: 0,6532≈0,65; 9,0374≈9,04.

Заменить число десятичной дробью, равной этому числу с точностью до 0,01. Это задание не что иное, как округление десятичного представления числа до сотых.

Запишем результат деления 2 на 7 в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой: . Округляя это число до сотых, получаем .

Для оценки качества приближения вводится относительная погрешность. Относительной погрешностью называют частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения величины.

Запись чисел в виде a·10n, где 1≤а<10, nϵZ.

Стандартным видом числа х называют запись этого числа в виде a·10n, где 1≤а<10, nϵZ. Число а называют значащей частью числа х, а целое число n называют порядком этого числа.

В алгебре приняты следующие обозначения: где n – натуральное число.

С помощью этих обозначений можно одну и ту же положительную десятичную дробь представить по-разному.

Например,

Рассмотрим примеры записи числа в стандартном виде.

Пример 1. Представим в стандартном виде число х=63800000. Число х должно иметь вид 6,38⸳10n. Поставив в числе х запятую после первой цифры 6 (6,3800000), мы тем самым отделили запятой 7 цифр справа, т.е. уменьшили число х в 107 раз. Значит, х=6,38⸳107.

Пример 2. Запишем в стандартном виде число х=0,0000327. Число х должно иметь вид 3,27⸳10n, т.е. в значащей части числа должна быть одна цифра, отличная от нуля. Переставив запятую на 5 знаков вправо, мы увеличили число в 105 раз. Поэтому число х меньше числа 3,27 в 105 раз. Значит, .

Пример 3. Представим произведение в стандартном виде числа.

Пример 4. Разделим 1,767⸳105 на .

Приближённые значения, как и точные, можно складывать и умножать между собой.

Пример 5. Найдём х + у, если

Чтобы результат сложения получить в стандартном виде, выполним следующие преобразования:

При умножении и делении приближённых значений в произведении и частном оставляют столько цифр (не считая нулей, стоящих перед первой значащей цифрой), сколько значащих цифр имеет приближённое значение с меньшим числом значащих цифр.

Пример 6. Найдём ху, если х≈0,69, у≈2,3857. Округлив второй множитель до 3 значащих цифр, получим 2,3857≈2,39. Найдём произведение ху и результат округлим до двух значащих цифр: ху≈0,69⸳2,39=1,6491≈1,6.

Пример 7. Найдём х : у, если х≈3,20⸳105, а у≈6,17865⸳102. Округлив делитель до 4 значащих цифр, получим 6,17865⸳102≈6,179⸳102. Найдём частное х : у и результат округлим до 3 значащих цифр: