Урок по алгебре «Сравнение чисел по модулю»

24
0
Материал опубликован 8 October 2016 в группе

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Сравнение чисел по модулю

Определение 1. Если два числа1a и b при делении на p дают один и тот же остаток r, то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p.

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число aвсегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

a=sp+r,

(1)

где s - число, и r одно из чисел 0,1, ..., p−1.

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Действительно. Если s получит значение от −∞ до +∞, то числа sp представляют собой совокупность всех чисел, кратных p. Рассмотрим числа между sp и (s+1)p=sp+p. Так как pцелое положительное число, то между sp и sp+p находятся числа

 

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p−1. Следовательно sp+r=aполучит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s1p+r1. Тогда

 

или

(2)

Так как r1 принимает один из чисел 0,1, ..., p−1, то абсолютное значение r1r меньшеp. Но из (2) следует, что r1r кратно p. Следовательно r1=r и s1=s.

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число rназывается остатком от деления числа a на p).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p, то a−b делится на p.

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p, то они при делении на pимеют один и тот же остаток p. Тогда

 

где s и s1 некоторые целые числа.

Разность этих чисел

(3)

делится на p, т.к. правая часть уравнения (3) делится на p.

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p, то эти числа сравнимы по модулю p.

Доказательство. Обозначим через r и r1 остатки от деления a и b на p. Тогда

 

откуда

 

По утверждению a−b делится на p. Следовательно rr1 тоже делится на p. Но т.к. r и r1числа 0,1,..., p−1, то абсолютное значение |rr1|<p. Тогда, для того, чтобы rr1 делился на p должно выполнятся условие r=r1.

Из утверждения следует, что сравнимые числа - это такие числа, разность которых делится на модуль.

Если нужно записать, что числа a и b сравнимы между собой по модулю p, то пользуются обозначением (введенным Гауссом):

a≡b mod(p)

 

Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.

Свойства сравнений по модулю

Свойство 1. Для любого a и p всегда

a≡a mod (p).

 

Свойство 2. Если два числа a и c сравнимы с числом b по модулю p , то a и c сравнимы между собой по тому же модулю, т.е. если

a≡b mod (p), b≡c mod (p).

 

то

a≡c mod (p).

 

Действительно. Из условия свойства 2 следует a−b и b−c делятся на p. Тогда их суммаa−b+(b−c)=a−c также делится на p.

Свойство 3. Если

a≡b mod (p) и m≡n mod (p),

 

то

a+m≡b+n mod (p) и a−m≡b−n mod (p).

 

Действительно. Так как a−b и m−n делятся на p, то

(a−b)+ (m−n)=(a+m)−(b+n) ,

 

(a−b)−(m−n)=(a−m)−(b−n)

 

также делятся на p.

Это свойство можно распространить на какое угодно число сравнений, имеющих один и тот же модуль.

Свойство 4. Если

a≡b mod (p) и m≡n mod (p),

 

то

am≡bn mod (p).

 

Действительно.Так как a−b делится на p, то (a−b)m также делится на p, следовательно

am≡bm mod (p).

 

Далее m−n делится на p, следовательно b(m−n)=bm−bn также делится на p, значит

bm≡bn mod (p).

 

Таким образом два числа am и bn сравнимы по модулю с одним и тем же числом bm, следовательно они сравнимы между собой (свойство 2).

Свойство 5. Если

a≡b mod (p).

 

то

ak≡bk mod (p).

 

где k некоторое неотрицательное целое число.

Действительно. Имеем a≡b mod (p). Из свойства 4 следует

a·a≡b·b mod (p).

 

a·a·a≡b·b·b mod (p).

 

.................

 

ak≡bk mod (p).

 

Все свойства 1-5 представить в следующем утверждении:

Утверждение 4. Пусть f(x1x2x3, ...) целая рациональная функция с целыми коэффициентами и пусть

a1b1a2b2a3b3, ... mod (p).

 

тогда

f(a1a2a3, ...)≡f(b1b2b3, ...) mod (p).

 

При делении все обстоит иначе. Из сравнения

am≡bm mod (p)

 

не всегда следует сравнение

a≡b mod (p).

 

Утверждение 5. Пусть

am≡bm mod (p),

 

тогда

a≡b mod (p/λ),

 

где λ это наибольший общий делитель чисел m и p.

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p. Тогда

m=m1λ и k=k1λ.

 

Так как m(a−b) делится на k, то

 

имеет нулевой остаток. Тогда

.

 

Следовательно

 

имеет нулевой остаток, т.е. m1(a−b) делится на k1. Но числа m1 и k1 числа взаимно простые. Следовательно a−b делится на k1=k/λ и, тогда, a≡b mod (p/λ).

Утверждение 6. Если

a≡b mod (p)

 

и m является один из делителей числа p, то

a≡b mod (m).

 

Действительно. a−b делится на pp делится на m. Следовательно a−b делится на m.

Утверждение 7. Если

a≡b mod (p), a≡b mod (q), a≡b mod (s)

 

то

a≡b mod (h),

 

где h наименьшее общее кратное чисел p,q,s.

Действительно. Разность a≡b должна быть числом, кратным p,q,s. и, следовательно должна быть кратным h.

В частном случае, если модули p,q,s взаимно простые числа, то

a≡b mod (h),

 

где h=pqs.

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнениеa≡b mod (p) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p. Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.


 

Комментарии
Комментариев пока нет.