Урок по теме «Уравнение касательной» (Алгебра, 10 класс)

Цель урока: Формирование навыков составления уравнения касательной к графику функции и рассмотреть основные типы заданий ЕГЭ, связанных с пониманием геометрического смысла производной.

Задачи урока:

Обучающие:

Систематизировать навыки применения геометрического смысла производной.

Закрепить такие понятия, как «угловой коэффициент касательной», «тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ», значение производной в точке касания».

Продолжить развивать навыки вычисления производных с использованием формул и правил дифференцирования.

отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции».

Развивающие:

способствовать развитию внимания;

интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

организовывать себя на работу, пользоваться умением самопроверки;

развивать познавательный интерес;

способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;

способствовать развитию и пониманию у учащихся межпредметных связей;

Воспитательные:

воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели;

развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, умение аргументировать свою точку зрения);

показать красоту математики;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

создавать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;

осознавать большую практическую и историческую значимость производной.

Тип урока урок закрепления изучаемого материала

Планируемый результат урока:

1.Учащиеся знают правила нахождения производных и готовы к выполнению заданий ЕГЭ.

2.Учащиеся почуствовали ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке.

Формы учебной работы:

индивидуальная;

индивидуально – коллективная (парами, в группе).

Оснащение: интерактивная доска, меловая доска, листы с заданиями из тренировочных вариантов ЕГЭ и из открытого банка заданий ЕГЭ, оценочный лист, презентация.

Ход урока:

1. Организационный момент

-Здравствуйте! Я очень рада всех вас видеть, надеюсь, что это взаимно, и в доказательство оного улыбнемся, друг другу и начнём урок.

-Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста Дени Дидро (1713 – 1784) – современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой. «Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» (Дени Дидро) (слайд).

2) Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка цели и задач урока.

-В первом полугодии мы исследовали функцию по её графику. На данный момент стоим на пути исследования функция по её формуле. Три шага уже сделали.

-Какие это шаги? (Высказывания учащихся: изучили определение производной, правила нахождения производных, уравнение касательной)

-Какую тему мы начали рассматривать на предыдущем уроке? (Высказывания учащихся: Уравнение касательной)

-Какие цели ставите вы перед собой на этом уроке? (Высказывания учащихся: отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции»).

-Сегодня мы закрепим материал на тему «Уравнение касательной» решением ключевых или опорных задач, проверим усвоение техники нахождения производной и исследуем связь уравнения касательной с исследованием свойств графика функции , что в дальнейшем нам даст аппарат для построения практически графика любой функции и нахождения ее свойств.

-Настройтесь на то, что сегодня на уроке вы будете много работать самостоятельно. В центре внимания на уроке будет «Оценочный лист» (приложение 1). Она находится у каждого из вас. Впишите фамилию и имя. После каждого этапа урока оцените себя и внесите результат в оценочный лист. Просмотрите критерии оценивания каждого этапа урока. В конце урока сами подведёте итог своей работы и поставите оценку за усвоение темы.

3. Повторение опорных знаний.

3.1. Выполнение заданий из открытого банка ЕГЭ 2 мин (УЭ-1) (Приложение № 2)

-В начале урока выполним задание из открытого банка заданий ЕГЭ на движение. Перед вами лежат карточки.

Выполнение заданий. Самопроверка по слайду.

-Заносим результат в оценочный лист.

3.2. Выполнение теста. (УЭ-2)

-Для того, чтобы исследовать в дальнейшем функцию, нужно уметь находить производные функции. Какие существуют правила вычисления производных? (Ответы учащихся).

-Повторим их применение. Выполним тест. (Приложение № 3). Зашифровано, как Исаак Ньютон называл производную функции. Для этого вы должны найти производные функции и записать в тетрадь букву, соответствующую правильному ответу. (Выполнение теста).

-Итак, как Исаак Ньютон называл производную?

Самопроверка теста. Ответ: флюксия (на слайде).

-Заносим результат в оценочный лист.

3.3. Мини проект.   (УЭ-3)  

Работа по созданию мини-проекта прошла следующие этапы:

Постановка проблемы;

планирование работы,;

исследование, на котором учащийся выполнил задания, согласно правилу, алгоритму и сделал вывод по результатам работы.

представление мини-проекта одноклассникам, ответы на вопросы по проведенному исследованию.

Он дал возможность организовать учебную деятельность, соблюдая разумный баланс между теорией и практикой; успешно интегрируется в образовательный процесс; обеспечивает не только интеллектуальное, но и нравственное развитие детей, их самостоятельность, активность.

-О методе флюксий расскажет учащийся. (Приложение № 4).

Представление мини-проекта.

Заносим результат в оценочный лист.

3.4. Фронтальный опрос. (УЭ-4)

1.Что называется секущей для графика функции y=f(x)?

2. Какая прямая называется касательной к графику функции?

3.В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Когда касательная наклонена к под тупым углом к положительному направлению оси Ох?

5. Когда касательная наклонена к под острым углом к положительному направлению оси Ох?

6. Назвать уравнение касательной к графику функции в заданной точке в общем виде.

7. Рассказать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Заносим результат в оценочный лист.

4. Решение задач.

4.1. Работа в парах. (УЭ-5)

-Вам выданы карточки на нахождение значения производной в заданной точке на чертеже, выполняете совместно задания на партах. (Приложение № 5). Далее правильные ответы появятся на экране. Самостоятельно проверите правильность выполнения задания. Занесете результат в оценочный лист.

Выполнение заданий. Самопроверка по слайду.

-Проверяем. Заносим результат в оценочный лист.

4.2. Самостоятельная работа по вариантам. (УЭ-6) Задания подготовлены на карточках. (Приложение № 5).

-Выполним индивидуальную самостоятельную работу по вариантам на составление уравнения касательной. Приглашаются двое учащихся, от каждого варианта для работы на закрытой от класса плоскости меловой доски. Для тех, кто справится с самостоятельной работой быстрее, чем появится готовое решение на доске, выполняет дополнительное задание.

По мере выполнения учитель проверяет работу учащихся у доски. Остальные проверяют правильность своих решений по решениям на доске, так как они уже выверены учителем.

Самопроверка.

-Заносим результат в оценочный лист.

4.3. Работа в группах. (УЭ-7) Формируются группы, учитывая математические способности ребят, каждой группе предлагаются карточки с разными видами заданий. С карточкой работают вчетвером. В группе идет совместное решение задания и один учащийся от группы отчитывается о проделанной работе. Проверка выполнения заданий учителем.

-Работаем в группах постоянного состава. Выполняем задание на применение геометрического смысла производной. Совместно решаем и один учащийся от группы отчитается о проделанной работе.

Выполнение заданий.

-Проверяем. Заносим результат в оценочный лист.

5. Домашнее задание: Пункт 19(уравнение касательной, геометрический смысл производной), стр. 134 № 256 (в,г), № 257 (а,б) , стр. 171 №4(3(а)) . Практическая задача на карточке:

6. Рефлексия. Итоги урок.

- Подсчитайте, пожалуйста, сумму баллов за сегодняшний урок и поставьте себе отметку в соответствии с критериями в оценочном листе, подчеркните на ваш взгляд верные высказывания в таблице «Итоги урока»

- Спасибо вам за урок, мне было приятно с вами работать. До свидания!

Список литературы:

1. Учебник- Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова -М..: Просвещение, 2011

2. Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. – К.: Радянська школа, 1989.

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1985.

Электронные издания:

Большая Российская энциклопедия. - © «Кирилл и Мефодий», 2002.

Источники:

http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

https://infourok.ru/vneklassnoe-meropriyatie-po-matematike

Приложение № 1

Урок по теме «Уравнение касательной»

Цель урока:

Отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной для различных функций и применения геометрического смысла производной.

Итог урока:

Я считаю, что сегодня на уроке работал на ______(оценка)

Приложение № 2

Вариант 1

1.На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер.

Вариант 2

На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной -время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер

Приложение № 3

Тест

Найдите производную функции:

y=x2+3sinx 2) y= 3) y= 4) y=cos3x 5)y= 6)y=cos(4x-1) 7)y=sin2x

С- y’= Ф- y’=2х+3cosх Я- y’=sin2х Л- y’=3х5 И- y’=-4 sin(4x-1)

Ю- y’= К- y’=-3 sin3х

Приложение №4

История появления производной.

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу.

Английский поэт Александр Поуп так охарактеризовал то время:

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой. Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Метод флюксий применяется здесь к большому числу геометрических вопросов (задачи на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

Приложение № 5

1)

2)

Приложение № 6

Вариант 1

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Вариант 2

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Дополнительное задание: Составьте уравнение касательной к графику

функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. х0=2

Приложение № 7

1 группа

Прямая y = 6x +9 является касательной к графику функции

у=х3 -4х2 +9х+14. Найдите абсциссу точки касания.

2 группа

Прямая y = 6x + 8 параллельна касательной к графику функции

у = х² +7х - 6. Найдите абсциссу точки касания

3 группа

При каком значении а прямая у = 3х + а является касательной к графику функции у = 2х² - 5х + 1?