Технологическая карта урока математики по теме:Комбинаторика, 1 курс СПО

Технологическая карта урока № 12-13-14

Решение расчетных задач

Задача 1 Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение: Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, т.е. необходимо применить правило сложения.

 = способами можно выбрать 2 юношей;
  = способами можно выбрать 2 девушек. Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: 45+78=123 способами. Ответ: 123

Задача 2 Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Первую цифру в разряд сотен можно записать 9 способами, любую из  цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9).  Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр, т.е. 10 способами.

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в разряде единиц нас устраивают только 2 цифры.

Итого, существует: 9·10·2=180 трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

Ответ: 180

Пример 3. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

Т.е. надо выбрать четыре страницы из двенадцати для размещения фото, порядок расположения важен:

Ответ: 11880 способов

Самостоятельная работа:

В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 2?

В группе 24 человека , из них 13 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно выбрать трех человек одного пола?

Решение комбинаторных задач с повторениями

Задача 1. Автомобильный номер состоит из 5 цифр (из такого набора: 0, 1, 2, 3, ..., 9) и двух букв. Выбрали номера в которых используются только буквы А, Б. В, И. К, Н. Сколько таких автомобильных номеров можно составить ?

Решение: Числовая часть номера – это размещения с повторениями.

Их количество: =

Из них необходимо исключить номер 000-00, так как такой номер не используется, то есть, всего будет: - 1 = 99 999.

Способов составить буквы в номере 6·6 или Общее число всех автомобильных номеров при заданном условии равняется: 99999·36=3599964.

Ответ: 53599964 номеров

Задача 2 На складе нужно получить 5 однотипных деталей, каждая из которых может быть покрашена в один из трёх цветов: красный, чёрный, зелёный. Сколько имеется способов, чтобы выбрать 5 деталей трёх цветов?

Решение : Имеем дело с сочетанием с повторением ===

(продолжи решение и сверься с ответом!)

Ответ: 21 способ.

Задача3. Сколько есть способов, чтобы расставить на первой горизонтальной линии шахматной доски такие фигуры: две ладьи, два коня, два слона, одного ферзя и одного короля?

Решение:

Всего 8 фигур, имеем дело с перестановками с повторением: = = (продолжи решение!)

Ответ: 5 040 раз.

Самостоятельная работа:

1.Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «колосок»?

2.Автомобильный номер состоит из 3 цифр (из такого набора: 0, 1, 2, 3, ..., 9) и трех букв. При этом используются буквы Н,О,М, Е и Р. Сколько можно получить различных номеров?

3.В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Комбинаторика в жизни человека

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который  начинается словами:
   Сколькими способами…? Сколько вариантов…?

Комбинаторные задачи можно решать методом перебора. Например:

1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. Для того чтобы не пропустить сначала вписываем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад. Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел. А используя правило умножения получим: 3·3=9

2. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 5, 6, 7, 9?

1 способ. Перечислим возможные варианты.

Дополни таблицу, а потом реши задачу по правилу умножения!

№1. В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку? Ответ прост: 2 · 6 = 12

№2. Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету? Решение аналогично: …….

№3. В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш? Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

№ 4. Имеется 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать 2 изделия одного сорта. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: По правилу умножения два изделия 1-го сорта можно выбрать 20·19 = 380 способами. Аналогично два изделия 2-го сорта можно выбрать 30·29 = 870 способами.. Тогда по правилу сложения общее число способов выбора изделий одного сорта равно 380 + 870 = 1250.

Самостоятельная работа:

1)В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

2) Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеются материи из 8 тканей?