Наталья Казанцева

Тригонометрические уравнения

Материал опубликован 3 February

Открытый урок по математике для студентов 1 курс.

Разработала преподаватель математики Казанцева Наталья Владимировна

Томский Политехнический Техникум, г.Томск

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

- обобщение и систематизация материала;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- исторические сведения .

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема (приложение 1);

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы , листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста , комплект «Математическая игра-лотерея», карточки заданий с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

1. Организационный момент.(3 мин)

Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3) Сформулируйте определение:
а) арксинуса числа б) арккотангенса числа
4) Для каких чисел определен
арккосинус
5) Записать общий вид корней уравнения
sin x = a
6) Записать формулу корней уравнения tg x = a

7).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы». На столах находится раздаточный материал –это приложения, справочный материал, карточки заданий и математическое информационное лото .

3. Выполнение устного теста.(3 мин)

Работа выполняется на листах

Решить уравнение

1.1. 2sin x  2  0 ;

1.2. 3  3ctgx  0 ;

1.3. 2cos x  3  0

Студенты осуществляют контроль в ходе самопроверки (правильные ответы на слайде).

4. Математическая лотерея(5 мин). Работа парная, меняются листами и проверяют друг у друга правильность подбора ответов,(выставляются оценки на листах учета знаний)

Учитель: «Найдите соответствие».

5. Работа в группах.(20 мин)

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

Ответы учащихся:

Введение новой переменной.

Разложение на множители.

Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени.

Деление обеих частей уравнения на cos2(mx) для однородных уравнений второй степени.

Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению. Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б )

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

_____________________________________________________________

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах ,на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске , а потом проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями.( на столах- карточки без ответов)

Уравнение

О тветы

а)sin2x + 4cos x = 2,75;

в) 2 sin х · cos х - cos2x = 0;

г) 5 sin2x + sin х · cos х – 2 cos2x = 2;

д)cos x – sin x=1

(желательно решить 2-мя способами):

1 способ.Введением вспомогательного угла,

т. е. представить в виде

(cos x – sin x )=1,раскрыть скобки, представить в виде формулы сложения и довести до конца.

2 способ: преобразование разности в произведение.

Представить уравнение в виде

sin ( - x) - sin x = 1,

далее применить формулу разности синусов, довести до конца решение вторым способом.

x = – +2 πn, n∈Z.

Проводится обсуждение и взаимопроверка работ. Если ответ в уравнении не совпадает с правильным ответом, то на слайде рассматривается решение уравнения и исправляются ошибки .

6.Решение уравнения несколькими способами – уравнение д)

(решение представлено на слайде)-5-7 мин

cos x – sin x=1.

1 способ. Введение вспомогательного угла

cos x – sin x=1,

(cos x – sin x )=1,

sin cos x – cos sin x=1,

sin( – x)= .

x = 2 πn, n∈Z;

x = – +2 πn, n∈Z.

2 способ. Преобразование разности в произведение.

3 cos x – sin x=1,

sin ( - x) - sin x = 1,

4 sin ( - x) cos = 1,

sin(x - )= - ,

x = 2 πn, n∈Z;

x = – +2 πn, n∈Z.

7. Решение упражнений на систематизацию уравнений. (3 мин)-самопроверка

Ученикам предлагаются блоки уравнений на сравнение, обобщение, выделение главного.

Нельзя?!

1) sin x + cos x = 0

2) sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0

3) 4 sin x cos x - cos2 x= 0

Можно ?!

Ответ: 1 - однородное уравнение первой степени, решается методом деления

на cos x (sin x);

2 - однородное уравнение второй степени, решается методом деления

на cos2 x (sin2 x);

3 - нельзя делить на cos2 x, это приведет к потере корней.

8. Подведение итогов урока.(1-2 мин)

Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение разных типов тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами, ознакомились с информацией на математическом лото ,систематизировали знания».

Проводится рефлексия. Лист учета знаний ученики сдают учителю, за работу

на уроке выставляется оценка в журнал.

9. Домашнее задание.

Решение уравнений по индивидуальным карточкам(Приложение 4), а отдельной группе подготовить решение систем уравнений №175(в, б) и №176 б),с объяснением у доски.

Приложение №1-таблица значений для синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов.

Приложение 2. Карточки с домашними заданиями.

1)4 sin x + cos x = 0

1) sin6 x + sin2 x = 0

2) sin2 x - 4 sin x cos x + 5 cos2 x = 0

2) arcsin(x + 1) =

3) 5 sin x cos x - cos2 x= 0

3) 4 cos 6x +4 cos x = 0

4) sin4 x + sin2 x = 0

4) sin2 x - 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0

5) sin x · cos3x + cos x ·sinx >

5 ) cos (2x -

Вариант 1 Вариант2

Приложение 3 Учет знаний учащегося

Устный тест

(1 ошибка- оценка4)

Математическое лото

( 2-3 ошибки -оценка 4, 4 ошибки-оценка 3, более 4-х ошибок-оценка 2)

Решение уравнений

Правильно решено-оценка 5, есть недочеты в решении- оценка 4, (есть фрагмент правильного решения-добавляется полбалла к общей оценке)

Уравнение д)

Индивидуальная

оценка знаний,

прибавляется балл к общей оценке

Можно или нельзя?

Индивидуальный и фронтальный опрос

Найди лишнее уравнение

Индивидуальный и фронтальный опрос равнение

Приложение 4.

Задание заключается в следующем: среди уравнений на карточке (доске) выберите те, которые решаются

а) методом замены переменных;

б) как однородные тригонометрические уравнения;

в) с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

2sin x + cos x = 5sin x cos x;

cosx sin 7x = cos 3x sin5x

cosx – sin x = 0

sin x – sin2x+sin3x – sin4x = 0

2cos x+3sin x+2cosx = 0

cos x + 3sin2x + 2 sinx cosx = 3

sin2x - sin2x = cos2x

sin x + cos x = 1

sin2x + cos22x +sin23x = 1,5

10)sin2x -2sin x -3 = 0

11)sin x + sin 3x = sin 5x – sin x