Учебно-методическое обеспечение практических занятий в соответствии с рабочей программой Математика специальностей: 44.02.02. Преподавание в начальных классах (базовой подготовки) и 44.02.01. Дошкольное образование (базовая подготовка) в рамках реализации ФГОС среднего (полного) общего образования в пределах основной профессиональной образовательной программы СПО

Название предмета

Максимальная нагрузка

Аудиторные занятия

Практические занятия

Самостоятельная работа студентов

Семестр

Контроль

Математика

234

96

60

78

1,2

Э/Э

Наименование разделов и тем

Максимальная учебная нагрузка студента (час)

Количество аудиторных
часов при очной форме
обучения

Самостоятельная работа студента

Всего

(ауд.)

Занятий на уроке

Практические
занятия

Введение

2

2

2

2

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

2

2

2

2

Раздел 1. Алгебра

58

58

36

22

26

Тема 1.1. Развитие понятия о числе

8

8

4

4

4

1.1.1. Целые и рациональные числа.

2

2

2

2

1.1.2. Действительные числа.

2

2

2

1.1.3. Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами

2

2

2

2

1.1.4. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

2

2

2

Тема 1.2.
Корни, степени, логарифмы

20

20

14

6

6

1.2.1. Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.

2

2

2

1.2.2. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями, их свойства.

2

2

2

2

1.2.3. Преобразование выражений, содержащих радикалы.

2

2

2

1.2.4. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами.

2

2

2

2

1.2.5. Переход к новому основанию логарифма.

2

2

2

1.2.6. Преобразование алгебраических выражений.

3

3

2

1.2.7. Преобразование рациональных, иррациональных выражений.

3

3

3

2

1.2.8. Преобразование степенных и показательных выражений.

2

2

2

1.2.9. Преобразование логарифмических выражений.

2

2

1

2

Тема 1.3. Основы тригонометрии

16

16

10

6

10

1.3.1. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Основные тригонометрические тождества.

2

2

2

2

1.3.2. Формулы приведения.

2

2

2

1.3.3. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла.

2

2

2

2

1.3.4. Преобразование простейших тригонометрических выражений.

2

2

2

2

1.3.5. Преобразование выражения А sin х+В cos х к виду С sin (х+t)

2

2

2

1.3.6. Обратные тригонометрические функции.

2

2

2

2

1.3.7. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

2

2

2

1.3.8. Простейшие тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств.

2

2

2

2

Тема 1.4.
Функции, их свойства и графики.

14

14

8

6

6

1.4.1. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Преобразования графиков функций.

2

2

2

2

1.4.2. Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

2

2

2

1.4.3. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.

2

2

2

2

1.4.4. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

2

2

2

1.4.5. Арифметические операции над функциями. Сложная функция.

2

2

2

1.4.6. Степенная, показательная функции, их свойства и графики

2

2

2

2

1.4.7. Логарифмическая и тригонометрические функции, их свойства и графики.

2

2

2

Раздел 2. Начала математического анализа

30

30

18

12

16

Тема 2.1.
Производная и ее приложения

8

8

4

4

6

2.1.1. Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей.

1

1

1

2

2.1.2. Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

1

1

2

2.1.3. Производные суммы, разности, произведения частного. Производные основных элементарных функций.

2

2

1

2

2.1.4. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

2

2

2.1.5. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

2

2

2

Тема 2.2. Интеграл и его приложения

8

8

6

2

4

2.2.1. Первообразная..Определение первообразной функции.

2

2

2

2.2.2. Неопределённый интеграл и его свойства.

2

2

2

2

2.2.3. Определённый интеграл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.

2

2

2

2.2.4. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

2

2

2

2

Тема 2.3. Уравнения и неравенства

14

14

8

6

6

2.3.1. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

2

2

2

2.3.2. Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения.

2

2

2

2

2.3.3. Показательные и тригонометрические уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения.

3

3

1

2

2.3.4. Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приемы их решения.

2

2

2

2

2.3.5. Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

2

2

2

2

2.3.6. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

3

3

1

2

Раздел 3. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей.

10

10

6

4

6

Тема 3. 1. Элементы комбинаторики

4

4

2

2

2

3.1.1. Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов.

2

2

2

2

3.1.2. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник паскаля.

2

2

2

Тема 3. 2. Элементы теории вероятностей

2

2

2

2

3.2.1. Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.

2

2

2

2

Тема 3. 3.
Элементы математической статистики

4

4

2

2

2

3.3.1. Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Понятие о задачах математической статистики.

2

2

2

2

3.3.2. Решение практических задач с применение вероятностных методов.

2

2

2

Раздел 4. Геометрия

56

56

34

22

28

Тема 4.1.
Прямые и плоскости в пространстве

14

14

10

4

6

4.1.1. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.

2

2

2

2

4.1.2. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

2

2

2

2

4.1.3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

3

3

1

2

4.1.4. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей.

3

3

1

2

4.1.5. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

2

2

2

2

4.1.6. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.

2

2

2

2

Тема 4.2. Многогранники

14

14

8

6

6

4.2.1. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы.

2

2

2

4.2.2. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

2

2

2

4.2.3.Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

2

2

2

2

4.2.4. Решение задач на вычисление площади поверхности призмы, пирамиды.

3

3

2

2

4.2.5. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника.

1

1

2

4.2.6. Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде.

2

2

2

2

4.2.7. Сечения куба, призмы, пирамиды.

2

2

2

Тема 4.3. Тела и поверхности вращения

8

8

6

2

4

4.3.1. Цилиндр. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

3

3

3

2

4.3.2. Конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Сечения конуса.

3

3

1

2

4.3.3. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Площади поверхностей сферы и её частей.

2

2

2

2

Тема 4.4. Измерения в геометрии

10

10

4

6

4

4.4.1. Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

2

2

2

2

4.4.2. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра, пирамиды, конуса.

2

2

2

4.4.3. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы

2

2

2

2

4.4.4. Подобие тел. Отношения подобия площадей поверхностей и объемов подобных тел.

2

2

1

2

4.4.5. Вычисление объёмов фигур вращения с помощью определённого интеграла.

2

2

1

2

Тема 4.5. Координаты и векторы

10

10

6

4

6

4.5.1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

2

2

2

2

4.5.2. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

2

2

2

2

4.5.3. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Операции над векторами. Угол между векторами.

2

2

2

4.5.4. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

2

2

2

2

4.5.5. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

2

2

2

Экзамен

Итого

156

156

96

60

78

Практическая работа №1

Тема «Целые и рациональные числа. Действительные числа»

Базовый уровень

Задание 1.

Сократить дроби:;

Расположить числа в порядке возрастания: ; -3; 0; ;

Задание 2.

Сравнить числа:

и ; - и-

Повышенный уровень

Задание 3

Найти значения выражений:

48-(66,4-66,25)•()+28,2:5-44,2

Практическая работа №1

Тема «Целые и рациональные числа. Действительные числа»

Базовый уровень

Задание 1.

Сократить дроби:;

Расположить числа в порядке убывания: ; 3; ; ; 0;

Задание 2.

Сравнить числа:

и ; - и-

Повышенный уровень

Задание 3

Найти значения выражений:

+ 64,5•( - ) – 5:( + )•2,25

Практическая работа №2

Тема «Приближённые вычисления. Комплексные числа»

Базовый уровень

Задание 1.

Обратите обыкновенные дроби в десятичные десятичные периодические: ; .

Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные:

0,(72); b. 0,(918).

Задание 2.

Выполните сложение комплексных чисел:

;

Выполните действия:

;

Повышенный уровень

Задание 3.

Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных проводников с сопротивлениями r1=4,8±0,05 (Ом), r2=6,25±0,005 (Ом), r3=7,725±0,05 (Ом). Вычислите общее сопротивление цепи R по формуле R=r1 + r2 + r3. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

С какой точностью следует измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность не превышала 0,3%? Приближенное значение стороны квадрата равно 6 м.

Практическая работа №2

Тема «Приближённые вычисления. Комплексные числа»

Базовый уровень

Задание 1.

Обратите обыкновенные дроби в десятичные десятичные периодические: ; .

Обратите чистые периодические

десятичные дроби в обыкновенные:

0,(72); b. 0,(918).

Задание 2.

1.Выполните сложение комплексных чисел:

;

2.Выполните действия:

;

Повышенный уровень

Задание 3.

Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных проводников с сопротивлениями r1=4,8±0,05 (Ом), r2=6,25±0,005 (Ом), r3=7,725±0,05 (Ом). Вычислите общее сопротивление цепи R по формуле R=r1 + r2 + r3. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

С какой точностью следует измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность не превышала 0,3%? Приближенное значение стороны квадрата равно 6 м.

Практическая работа №3

Тема «Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства»

Базовый уровень

Задание 1.

Ввести множитель под знак корня:

; ; а•

Выполнить действия:

; ( )3

Задание 2.

Упростить выражения:

;

Проверить равенство:

Повышенный уровень

Задание 3.

1.Выполнить сложение и вычитание корней:

2.Выполнить действия:

;

Практическая работа №3

Тема «Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства»

Базовый уровень

Задание 1.

Ввести множитель под знак корня:

; ; а•

Выполнить действия:

; ( )3

Задание 2.

Упростить выражения:

;

Проверить равенство:

Повышенный уровень

Задание 3.

1.Выполнить сложение и вычитание корней:

2.Выполнить действия:

;

Практическая работа №4

Тема «Преобразование алгебраических выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить уравнения:

Задание 2.

Решить систему уравнений:

Повышенный уровень

Задание 3.

Упростите выражение:

Практическая работа №4

Тема «Преобразование алгебраических выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить уравнения:

Задание 2.

Решить систему уравнений:

Повышенный уровень

Задание 3.

Упростите выражение:

Практическая работа №5

Тема «Преобразование степенных, показательных, логарифмических выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислите:

;

;

Найдите значение выражения:

;

;

;

Задание 2.

Найдите x, если:

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти область определения функции

Построить график функции по точкам

Практическая работа №5

Тема «Преобразование степенных, показательных, логарифмических выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислите:

;

;

2.Найдите значение выражения:

;

;

;

Задание 2.

Найдите x, если:

;

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти область определения функции

Построить график функции по точкам

Практическая работа №6

Тема «Формулы приведения»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислите:

Задание 2.

Зная, что, вычислите

Повышенный уровень

Задание 3.

Докажите тождество:

Практическая работа №6

Тема «Формулы приведения»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислите:

Задание 2.

Зная, что, вычислите

Повышенный уровень

Задание 3.

Докажите тождество: .

Практическая работа №7

Тема «Преобразование выражения А sin х+В cos х к виду С sin (х+t)»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислите:

Задание 2.

Упростить выражение: а)

б)

в)

Повышенный уровень

Задание 3.

Преобразуйте в произведение:

Задание 4.

Докажите тождество:

Практическая работа №8

Тема «Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений»

Базовый уровень

Задание 1.

Решите уравнения:

Задание 2.

Решите уравнения:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решите уравнение

Решите уравнение

и найдите:

-Наименьший положительный корень

-Корни, принадлежащие промежутку

-Наибольший отрицательный корень

-Корни, принадлежащие промежутку

Практическая работа №8

Тема «Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений»

Базовый уровень

Задание 1.

Решите уравнения:

Задание 2.

Решите уравнения:

Повышенный уровень

Задание 3.

1.Решите уравнение

2.Решите уравнение

и найдите:

-Наименьший положительный корень

-Корни, принадлежащие промежутку

-Наибольший отрицательный корень

-Корни, принадлежащие промежутку

Практическая работа №9

Тема «Свойства функции: монотонность, чётность, нечётность, ограниченность, периодичность»

Базовый уровень

Задание 1.

Установите, какие функции являются четными и нечетными:

Определите, какие из нижеследующих функций будут периодическими:

Постройте график функции

Задание 2.

1.Постройте в одной системе координат графики функций . При каких значениях x каждая из этих функций убывает, возрастает, принимает наибольшее или наименьшее значение и какое именно?

2.Найдите область определения данных функций:

3.Начертите график какой-либо функции так, чтобы эта функция имела свойства:

1. D(y)=[-5;5]

2. E(y)=[-4;6]

3. Нули функции: х = -3

4. Возрастает в промежутках [-5;0] и [2;5]. Убывает в промежутке [0;2]

5. Наибольшее значение у(0)=3, наименьшее значение у(2)=1.

Повышенный уровень

Задание 3.

Докажите, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных функций – четная функция, произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Практическая работа №9

Тема «Свойства функции: монотонность, чётность, нечётность, ограниченность, периодичность»

Базовый уровень

Задание 1.

Установите, какие функции являются четными и нечетными:

Определите, какие из нижеследующих функций будут периодическими:

Постройте график функции

Задание 2.

1.Постройте в одной системе координат графики функций . При каких значениях x каждая из этих функций убывает, возрастает, принимает наибольшее или наименьшее значение и какое именно?

2.Найдите область определения данных функций:

3.Начертите график какой-либо функции так, чтобы эта функция имела свойства:

1. D(y)=[-5;5]

2. E(y)=[-4;6]

3. Нули функции: х = -3

4. Возрастает в промежутках [-5;0] и [2;5]. Убывает в промежутке [0;2]

5. Наибольшее значение у(0)=3, наименьшее значение у(2)=1.

Повышенный уровень

Задание 3.

Докажите, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных функций – четная функция, произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Практическая работа №10

Тема «Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Задайте формулой функцию,

обратную данной функции:

Дано: и . Найти область определения и множество значений данных функций.

Задание 2.

Докажите, что данные функции являются взаимно обратными

Для функции, заданной табличным способом, укажите, имеет она обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции:

Повышенный уровень

Задание 3.

Постройте графики обратных функций для следующих функций:

Для функции у = f(x), график которой изображен на рисунке, постройте график обратной функции

Практическая работа №10

Тема «Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Задайте формулой функцию,

обратную данной функции:

Дано: и . Найти область определения и множество значений данных функций.

Задание 2.

Докажите, что данные функции являются взаимно обратными

Для функции, заданной табличным способом, укажите, имеет она обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции:

Повышенный уровень

Задание 3.

Постройте графики обратных функций для следующих функций:

Д ля функции у = f(x), график которой изображен на рисунке, постройте график обратной функции

Практическая работа №11

Тема «Логарифмическая и тригонометрические функции, их свойства и графики»

Базовый уровень

Задание 1.

Найдите область определения функции:

Задание 2.

Исследуйте функции на четность:

1) ; 2) ; 3).

Задание 3.

Построить график функции:

Повышенный уровень

Задание 4.

Запишите все решения уравнения , принадлежащие промежутку .

Задание 5.

Запишите все решения неравенства , принадлежащие промежутку .

Практическая работа №11

Тема «Логарифмическая и тригонометрические функции, их свойства и графики»

Базовый уровень

Задание 1.

Найдите область определения функции:

Задание 2.

Исследуйте функции на четность:

1) ; 2); 3).

Задание 3.

Построить график функции:

Повышенный уровень

Задание 4.

Запишите все решения уравнения , принадлежащие промежутку .

Задание 5.

Запишите все решения неравенства , принадлежащие промежутку .

Практическая работа №12

Тема «Производная. Уравнение касательной к графику функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные данных функций

Повышенный уровень

Задание 2.

Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.

1)

2)

3)

4)

Практическая работа №12

Тема «Производная. Уравнение касательной к графику функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные данных функций

Повышенный уровень

Задание 2.

Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.

1)

2)

3)

4)

Практическая работа №1

Тема «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Базовый уровень

Задание 1.

Определите промежутки монотонности функций:

Восстановить порядок следования этапов исследования функции и построения ее графика:

Построить график функции.

Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Найти точки пересечения с осями координат

Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Найти наклонные асимптоты функции.

Задание 2.

Найдите точки экстремума заданных функций и определите их характер:

2.Используя данные о производной , приведенные в таблице, укажите

Промежутки возрастания функции;

Промежутки убывания функции;

Точки максимума и минимума функции.

Повышенный уровень

Задание 3.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

Функция возрастает при x ≤ 1 и при x ≥ 5 и убывает на промежутке [1;5]; точка x=1 является критической, а точка x =5 – стационарной;

Функция имеет разрыв в точке x = -2, максимум в точке x = -1 и минимум в точке x = 1;

Функция имеет горизонтальную асимптоту y = 3 при , одну точку максимума и одну точку минимума.

Исследуйте функцию и постройте её график:

Практическая работа №1

Тема «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Базовый уровень

Задание 1.

Определите промежутки монотонности функций:

Восстановить порядок следования этапов исследования функции и построения ее графика:

Построить график функции.

Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Найти точки пересечения с осями координат

Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Найти наклонные асимптоты функции.

Задание 2.

Найдите точки экстремума заданных функций и определите их характер:

2.Используя данные о производной , приведенные в таблице, укажите

Промежутки возрастания функции;

Промежутки убывания функции;

Точки максимума и минимума функции.

Повышенный уровень

Задание 3.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

Функция возрастает при x ≤ 1 и при x ≥ 5 и убывает на промежутке [1;5]; точка x=1 является критической, а точка x =5 – стационарной;

Функция имеет разрыв в точке x = -2, максимум в точке x = -1 и минимум в точке x = 1;

Функция имеет горизонтальную асимптоту y = 3 при , одну точку максимума и одну точку минимума.

Исследуйте функцию и постройте её график:

Практическая работа №2

Тема «Первообразная. Определение первообразной функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Доказать, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x), если:

Задание 2.

Найдите первообразную для функции:

;

.

Повышенный уровень

Задание 3.

Найдите неопределенный интеграл:

;

Практическая работа №2

Тема «Первообразная. Определение первообразной функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Доказать, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x), если:

Задание 2.

Найдите первообразную для функции:

;

.

Повышенный уровень

Задание 3.

Найдите неопределенный интеграл:

;

Практическая работа №3

Тема «Равносильность уравнений, неравенств, систем»

Базовый уровень

Задание 1.

Решите уравнение

Задание 2.

Решите неравенство

1); 2); 3); 4); 5).

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить систему уравнений: 1) 2)

Практическая работа №3

Тема «Равносильность уравнений, неравенств, систем»

Базовый уровень

Задание 1.

Решите уравнение

1)

2)

Задание 2.

Решите неравенство

1); 2); 3); 4); 5).

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить систему уравнений: 1) 2)

Практическая работа №4

Тема «Показательные и тригонометрические уравнения и системы уравнений»

Базовый уровень

Задание 1.

Решите уравнения:

sin2x + 2sinx = 3

Задание 2.

Решите системы уравнений:

Повышенный уровень

Задание 3.

В треугольнике АВС АВ=6 дм, АС=5 дм. Найдите угол А, если площадь треугольника на 1 дм2 больше площади квадрата, сторона которого равна расстоянию от вершины В до АС.

Практическая работа №4

Тема «Показательные и тригонометрические уравнения и системы уравнений»

Базовый уровень

Задание 1.

Решите уравнения:

sin2x + 2sinx = 3

Задание 2.

Решите системы уравнений:

Повышенный уровень

Задание 3.

В треугольнике АВС АВ=6 дм, АС=5 дм. Найдите угол А, если площадь треугольника на 1 дм2 больше площади квадрата, сторона которого равна расстоянию от вершины В до АС.

Практическая работа №5

Тема «Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем»

Базовый уровень

Задание 1.

Используя метод интервалов, решите неравенства:

Задание 2.

Найти целочисленные решения систем уравнений:

Окружность, изображенная на рисунке, задается первым уравнением системы. Укажите в ответе, сколько решений будет иметь система.

Повышенный уровень

Задание 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системами:

Практическая работа №5

Тема «Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем»

Базовый уровень

Задание 1.

Используя метод интервалов, решите неравенства:

Задание 2.

Найти целочисленные решения систем уравнений:

Окружность, изображенная на рисунке, задается первым уравнением системы. Укажите в ответе, сколько решений будет иметь система.

Повышенный уровень

Задание 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системами:

Практическая работа №6

Тема «Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник паскаля»

Базовый уровень

Задание 1.

Проверить справедливость разложений биномов:

Найти восьмой член разложения бинома

Задание 2.

Найти показатель степени бинома, если биноминальные коэффициенты четвертого и шестого членов разложения равны между собой.

Найти x из заданного условия:

Пятый член разложения бинома равен 5/9.

Разность между пятым и третьим членами разложения бинома равна 300.

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить задачу:

Из пункта А по сети дорог идет группа из 27 человек. На каждом перекрестке, начиная с а, пришедшие туда люди, делятся пополам – половина идет по направлению l, половина – по направлению m. Сколько человек придет в пункты В, C, D,…., I соответственно?

Практическая работа №7

Тема «Решение практических задач с применением вероятностных методов»

Базовый уровень

Задание 1.

Дискретная случайная величина x имеет закон распределения вероятностей. Найти ее математическое ожидание.

Закон распределения случайной величины

По статистическому распределению выборки, представленному в таблице, установите ее объем.

Закон распределения случайной величины

Найдите среднюю выборочную (математическое ожидание) и среднеквадратичное отклонение ряда 5,2-3,4,5.

Двум группам испытуемых, в каждой из которых было по 10 человек, предложили оценить у себя степень владении двумя коммуникативными навыками по 10-бальной шкале (таблица). Проверьте, различаются ли группы по уровню владения данными навыками.

Повышенный уровень

Задание 3.

В эксперименте, проводимом в НПК №2, участвовали 16 студентов. Им предлагались задачи на разные темы. Каждому студенту необходимо было решить только одну группу задач. У исследователя сложилось впечатление, что над некоторым задачами испытуемые продолжали думать дольше, чем над другими. Показатели длительности приведены в таблице. Можно ли утверждать, что длительность решения каждой из четырех групп задач примерно одинакова?

Практическая работа №8

Тема «Прямые и плоскости в пространстве»

Базовый уровень

Задание 1.

Сторон правильного треугольника АВС равна 2√3 см. К его плоскости проведен перпендикуляр АК, равный 4см. Найдите расстояние от точки К до стороны ВС.

Через сторону АВ прямоугольника ABCD проведена плоскость α. Сторона CD удалена от этой плоскости на 3 см, СВ=6см, CD=8см. Найдите:1)угол между прямой DA и плоскостью α ,2)синус угла между прямой BD и плоскостью α.

Катет АС прямоугольного ΔАВС с прямым углом С лежит в плоскости α., а угол между плоскостями α и ΔАВС равен 600 . Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС=5см, АВ=13см.

Плоскости прямоугольных треугольников АВС и АВК перпендикулярны. АВ=8см, АК=10см, ﮮАВК=ﮮАВС=900 , ﮮВАС=450 . Вычислите расстояние между точками К и С.

Задание 2.

Стороны прямоугольника ABCD равны 6см и 6√3 см. К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр ОК, равный 6см. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и прямыми КА, КВ, КС и KD.

Плоскости квадратов АВСD и АВКМ перпендикулярны, МК=а. Найдите расстояние между точками D и М, К и С.

Повышенный уровень

Задание 3.

К плоскости ромба ABCD, в котором ﮮА=450 ,АВ=8см, проведен перпендикуляр МС, равный 7см. Найдите расстояние от точки М до сторон ромба.

К плоскости прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (ﮮС=900 ) проведен перпендикуляр МВ, равный а, АС=а. Найдите угол между :1) прямой МА и плоскостью ΔАВС; 2) прямой МС и плоскостью ΔАМВ.

Тупоугольный ΔАВС (ﮮВ=1500 и АВ=АС) расположен стороной АВ на плоскости α и его плоскость составляет с плоскостью α угол в 600. Проекция вершины С на плоскость α удалена от АВ на 12см. Найдите площадь ΔАВС.

Плоскости равносторонних треугольников ΔАВС и ΔАВD перпендикулярны. Вычислите угол между:1) прямой DC и плоскостью АВС, 2) плоскостями АDC и ВDC.

Практическая работа №9

Тема «Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей»

Базовый уровень

Задание 1.

Через центр O квадрата ABCD проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости этого квадрата. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой BD.

Задание 2.

Дан куб A…D1. Докажите перпендикулярность плоскостей: а) AA1D1 и D1B1C1; б) A1B1D и BB1C1.

Задание 3.

Точка  M принадлежит боковой грани ABD треугольной пирамиды ABCD, у которой AB = BD и AC = CD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AD.
Повышенный уровень

Задание 4.

Докажите, что две плоскости a и b параллельны, если они перпендикулярны плоскости g и пересекают ее по параллельным прямым.

Практическая работа №9

Тема «Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей»

Базовый уровень

Задание 1.

Через точку M – середину стороны AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая MH, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите перпендикулярность прямых AB и HC.

Задание 2.

Дан куб A…D1. Докажите перпендикулярность плоскостей: а) ABD и DCC1; б) AB1C1 и ABB1.

Задание 3.

В прямоугольном параллелепипеде A…D1 постройте сечение, проходящее через точку K, внутреннюю точку диагонального сечения AA1C1C, и перпендикулярное прямой BB1.
Повышенный уровень

Задание 4.

Докажите, что прямая a и плоскость a, перпендикулярные одной и той же плоскости b, параллельны, если прямая a не лежит в плоскости a.

Практическая работа №10

Тема «Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Параллелепипед. Куб»

Базовый уровень

Задание 1.

Определить ребро куба, если его поверхность равна 5046 см2

Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: а =10 см, b = 22 см и с = 16 см.

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 9 см, а полная поверхность её равна 144 см2. Определить сторону основания и боковое ребро.

Задание 2.

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами равны 37 см, 15 см и 26 см, а боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению. Определить боковое ребро.

В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см; угол между ними содержит 60°. Боковая поверхность параллелепипеда равна 220 см2. Определить полную поверхность и площадь меньшего диагонального сечения.

Повышенный уровень

Задание 3.

Основанием наклонной, призмы служит правильный треугольник со стороной а; длина бокового ребра равна b; одно из боковых рёбер образует с прилежащими сторонами основания углы в 45°. Определить боковую поверхность этой призмы.

Практическая работа №10

Тема «Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Параллелепипед. Куб»

Базовый уровень

Задание 1.

Определить ребро куба, если его поверхность равна 793 1/2 дм2.

Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: а =10 см, b = 22 см и с = 16 см.

Расстояние между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы: 2 см, 3 см и 4 см; боковая поверхность равна 45 см2. Найти боковое ребро.

Задание 2.

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами равны 37 см, 15 см и 26 см, а боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению. Определить боковое ребро.

В прямой треугольной призме стороны основания относятся как 17 : 10 : 9, а боковое ребро равно 16 см; полная поверхность этой призмы содержит 1440 см2, Определить стороны основания.

Повышенный уровень

Задание 3.