Вычисление определителей (учебное пособие по дисциплине "Математика" для студентов технических специальностей колледжа)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ

«ОЛЕНЕГОРСК ГОРНОПРОМЫШЛЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

учебное пособие по дисциплине «Математика»

для студентов технических специальностей колледжа

Мурина Людмила Александровна

преподаватель

Оленегорск

2020

Основные понятия. Свойства определителей

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A (или Δ), называемое ее определителем.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Пример 1.

   =   

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Пример 2.

   = -  

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Примеры 3, 4.

= 0;         = 0

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Пример 5.

   = 

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Свойство 6 (« Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Пример 6.

   =     =  

Вычисление определителей.

Разложение определителя по элементам некоторого ряда

Определение

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij. Обозначается Мij

Пример 7. Найти миноры М11; М12 определителя

М11 =      = 3·1-2·4 = -5 М12 =     = 2·1-3·4= -10

Ответ: М11 = - 5; М12 = - 10.

Определение

Алгебраическим дополнением называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j- четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Аij

Пример 8. Найти алгебраические дополнения А11; А12

А11 = 1М11 =    =3*1-2*4= -5              А12 = (-1)М12 = (-1)  = -(2*1-3*4)=10

Ответ: А11 = - 5; А12 = 10.

Чтобы вычислить определитель путем разложения его по элементам некоторого ряда надо найти сумму произведений элементов этого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Вычисление определителей по правилу треугольника (по правилу Сарруса)

Правило Сарруса Пример 9. Вычислите определитель по правилу треугольника (по правилу Сарруса).

    = 3·0·1 + 5·3·1 + 4·2·2 – 5·0·2 – 2·3·3 – 4·1·1 = 9

Ответ:   9

Вычисление определителей с помощью программы Microsoft Excel

Вычислить определитель с помощью электронных таблиц Excel

Решение

а) Введите в диапазон ячеек A1: C3 элементы определителя 

б) Выделите любую ячейку для ответа, например D4.

в) Нажмите в строке формул кнопку fx

г) В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберете - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в рабочем поле функция – имя функции - МОПРЕД.

д) Появившееся диалоговое окно мышью отодвиньте в сторону от определителя.

е) В диалоговое окно Массив введите область определителя A1: C3 , выделив определитель.

ж) Щелкните по кнопке ОК.

В результате в ячейке D4 появится ответ 148

​​​​​​​

Историческая справка

Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827) – французский астроном, математик и физик. Научное наследие Лапласа относится к области небесной механики, математики и математической физики.

Фундаментальными являются работы Лапласа по дифференциальным уравнениям, в частности по интегрированию методом «каскадов» уравнений с частными производными. Введенные Лапласом шаровые функции имеют разнообразные применения. В линейной алгебре Лапласу принадлежит важная теорема о разложении определителя по элементам некоторого ряда.

Для разработки, созданной Лапласом математической теории вероятностей, он ввёл так называемые производящие функции и широко применял преобразование, носящее его имя.

Теория вероятностей являлась основой для изучения всевозможных статистических закономерностей, в особенности в области естествознания.

Список используемой литературы:

Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Уч. пособие для сред. проф. учеб. завед. / Н.Б. Богомолов. – 8-е изд. – М.: Высш. шк., 2006. – 495с.

Большая советская энциклопедия. / Под ред. А.М.Прохорова. – М.: Сов. энцикл., 1970.

Гельман, В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум / В.Я. Гельман – СПб.: Питер, 2008. – 240с.

Омельченко, В.П. Математика: Учеб. пособие / В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. – Ростов на Дону.: Феникс, 2005. – 380с. – (Сред. проф. образ.).

Ляхович, В.Ф. Основы информатики: Учебное пособие / В.Ф. Ляхович, С.О. Крамаров. – 5-е изд.- Ростов на Дону.: Феникс, 2009. – 704с.