Методическая разработка «GeoGebra как средство для моделирования реальных и абстрактных объектов»

Вместо предисловия…

Динамические модели в образовании

Важнейшими проблемами образования, в частности - математического, являются проблемы заинтересованности учащегося в изучении того или иного материала и возможности его эффективного усвоения.

Динамическое моделирование математических объектов в настоящее время выступает как средство и цель образовательного процесса.

Если степень заинтересованности определяется в первую очередь общекультурным уровнем учащегося, качеством и глубиной его ценностных установок и лишь во вторую очередь - трудностями усвоения (понимания) учебного материала, то сама проблема "усвоения" связана с определенной методикой работы с изучаемым материалом. А именно: понять и "усвоить" некий объект (или совокупность объектов как объект) относительно некоего множества задач (т.е. уровня понимания) это значит, свободно оперируя процессом моделирования объекта и связанных с ним других объектов, переходя от одного уровня моделей к другим, добиться, если не решения каждой из этих задач, то, хотя бы, - возможности применения известных методологических подходов для их решения.

Процессы динамического моделирования являются основными в учебной и исследовательской работе на уроках математики, информатики и др., и во внеурочное время на всех ступенях школьного образования.

В.А. Штофф предлагает следующее определение: "Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая и воспроизводя объект, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте". Отвлекаясь от целевой компоненты понятия "модель" и имея в виду школьную математику, в которой "модель" могла бы быть не только средством, но и объектом изучения, дадим следующее определение модели: "Отвлекаясь (абстрагируясь) от некоторых свойств объекта, получаем абстрактную модель. Приписывая объекту дополнительные свойства (материал моделирования), получаем конкретную модель".

Под динамизацией понимается, прежде всего, процесс исследования математических объектов и их структур с помощью изменения базисных элементов или определяющих их параметров, установление функциональных связей и инвариантов.

Как влияет моделирование на учащихся:

1. Динамическое моделирование развивает математическую интуицию и само является эвристическим приемом, выходящим за пределы собственно математики.

2. Надлежащий подбор динамических моделей с учетом возрастных особенностей учащихся позволяет опустить возрастную планку для целостного усвоения связанной между собой группы понятий (например: степень, корень, логарифм), предоставляет новые возможности для опережающего обучения и пропедевтики.

3. Динамическое моделирование развивает мышление учащихся, формирует методологические принципы учебной и исследовательской работы.

4. Оно позволяет дифференцировать обучение учащихся и интегрировать различные темы.

5. Позволяет безболезненно использовать в школьном курсе теоретико-множественный и аксиоматический подходы, более широко использовать точечные и иные преобразования.

6. Расширяет возможности составления исследовательских программ, выявляет новые возможности для обучения учащихся составлению и решению задач, в том числе - и нестандартных.

7. Позволяет ввести в учебный процесс математический эксперимент (а не ту примитивную видимость эксперимента, который часто можно видеть в учебном процессе), четко выделить содержательную и логическую составляющие изучаемой темы, осуществить многоуровневый подход к обучению учащихся как содержательной, так и логической составляющих и их использованию.

8. Эффективность динамического моделирования зависит от динамического опыта ребенка в дошкольный и младший школьный периоды своей конструктивно-познавательной деятельности (ребенок, который работал в детстве с различными подвижными моделями на сознательном или бессознательном уровнях, рисовал различные конструкции, уже обладает начальными навыками динамического моделирования и очень легко входит в среду динамического моделирования в процессе учебной деятельности).

 

Методическая разработка интегрированного урока информатики-математики. 9 класс

Методические рекомендации по проведению занятия

Моделирование реальных процессов, объектов, связей между объектами традиционно относится ко многим темам предметов, изучаемых в школе, в том числе математика и информатика. Ведь с помощью аппарата математики возможно описание любого реального объекта (выделение в нем геометрических фигур и их элементов, связей между ними и обоснование на основе всей математической теории). С помощью многих информационных технологий можно смоделировать тот или иной объект, процесс (макет здания, движение точки и проч.) и изменять их начальные параметры (создание динамических моделей). Эти возможности представляет интерактивная геометрическая среда GeoGebra.

Для создания нужной модели, необходимо создать качественную обобщенную модель, проведя качественный ее анализ. В качестве приемов обобщений при обучении решению задач выделяют отбрасывание ограничений, введениепараметра, видоизменение задачи. 

Сравнение и анализ являются обязательными условиями всякого обобщения. Эффективность осуществления обобщений зависит от умения проводить анализ задачи. 

Часто для решения сложной задачи удобно использовать решение более простой аналогичной задачи. Задачу, аналогичную данной по содержанию, легко можно решить тем же методом. Решение задачи, аналогичной данной, но более общей, может привести к открытию нового общего метода решения класса задач. 

Для успешного решения обобщенных задач на уроке, каждая из которых требует составление не только алгоритма решения, но и построение динамической модели этой самой обобщенной задачи, занятие надо проводить таким образом, чтобы ученик мог:

1) четко понять задачу, провести ее «детализацию»;

2) проанализировать, к какому классу задач она относится, какими способами (алгоритмами) ее можно решить;

3) составить алгоритм решения задачи;

4) выделить в группе задач параметрические данные, с помощью которых будет задана динамическая модель;

5) выбрать необходимые инструменты для решения обобщенной задачи в ИГС;

5) проверить правильность модели, ту ли задачу она решает;

6) в случае обнаружения ошибки необходимо проделать все (или некоторые) вышеперечисленные действия заново с целью исправления ошибки;

7) не исключать возможность различных способов решения обобщенных задач.

Тема: «GeoGebra как средство для моделирования реальных и абстрактных объектов».

Класс: 9 класс.

Форма проведения: урок-практикум.

Тип урока: урок итогового обобщающего повторения.

Цель: Научить создавать обобщающие задачи из спектра задач банка ГИА по математике, используя возможности ИГС GeoGebra.

Задачи:

1. Рассмотреть возможности ИГС по созданию динамических моделей.

2. Рассмотреть примеры динамических моделей реальных и абстрактных объектов.

3. Средствами ИГС GeoGebra создать обобщающие задачи из спектра задач банка ГИА по математике.

Материально-техническое обеспечение: класс, оснащенный компьютерами, на которых установлена ОС Windows XP (и выше) и ИГС GeoGebra, мультимедиа проектор с интерактивной доской, учебники по геометрии 7-9 (Атанасян Л.С).

План урока

Организационный момент (1 мин).

Актуализация, мотивация, цель (4 мин).

Ознакомление с видами работ на уроке (7 мин).

Выполнение заданий учащимися под руководством учителя (27 мин).

Обсуждение и анализ результатов (4 мин).

Итог урока, ДЗ (2 мин).

Ход урока

Актуализация, мотивация, цель.

Как мы уже с вами знаем, моделью понимают отображение фактов, вещей и отношений определенной области знаний в виде простой, более наглядной материальной структуры.

Все модели наглядны для их создателя, для тех, кто их построил, разработал, обладают свойством наглядности. Они наглядны и для тех, кто понимает их, понимает, что они являются моделью определенного объекта.

Материальные объекты наглядны потому, что, во-первых, они чувственны, воспринимаемы, ибо представляют собой объективно существующие предметы или конструкции, аппараты или реальные явления, живые существа, во-вторых, человек, выбравший или сконструировавший ту или иную модель, предварительно создал у себя наглядный образ.

В планиметрии широко используются плоскостные модели - отрезки, углы, треугольники и пространственные - пирамида, куб, и другие.

На прошлом уроке мы с вами создавали модели геометрических объектов в среде программирования Visual Basic и проводили внутримодельное исследование. Но есть компьютерные продукты, которые облегчают задачу построения и исследования моделей, не владея языками программирования. Одна из которых GeoGebra, в которой изменения геометрических объектов можно рассмотреть в динамике.

Сегодня мы с вами научимся создавать обобщающие задачи из спектра банка задач из ГИА по математике. Это и будет нашей целью урока. Тем самым проверим, как вы готовы к экзамену по математике.

Ознакомление с видами работ на уроке

Поэтому, при рассмотрении геометрических объектов в динамике, выделяют здесь такое понятие как динамическая модель.

Динамическая модель – это чертёж в интерактивной геометрической среде, который допускает изменение при сохранении алгоритма его построения.

ИГС GeoGebra даёт следующие возможности:

позволяет строить динамические модели реальных объектов по их изображению.

позволяет строить модели абстрактных математических объектов по их определению или свойствам, признакам, а также по описанию в условии задачи.

Продемонстрирую эти возможности:

1. Создадим динамическую модель реального объекта по изображению - Определим угол наклона пизанской башни:

импорт фотографии реального объекта пизанской башни;

снизить интенсивность цвета изображения;

вызываем закладку Стиль диалога свойств и уменьшим яркость изображения пизанской башни до значения 75.

проведение лучей параллельно стены башни и основания;

Используя инструменты Луч по двум точкам и Угол строим два луча и определяем угол между ними:

Создадим в графическом окне флажок, отвечающий за видимость изображения:

выбираем на Панели инструментов инструмент Флажок отображения/скрытия объектов

2) щелчком по полотну вызываем диалоговое окно этого инструмента

3) в появившемся окне набираем необходимый заголовок, например, «Показать рисунок»

4) в выпадающем списке выбираем объекты, видимостью которых будет управлять «флажок», в нашем примере это Изображение рисунок1

5) нажимаем кнопку Применить, в Графическом окне появляется выбранный заголовок:

6) скрыв с помощью «флажка» изображение пизанской башни, можно оставить в графическом окне только результаты геометрических построений

задача сводится к нахождению градусной меры полученного угла между лучами.

используя инструмент измерения углов измерим полученный угол.

Так уникальность этой постройки заключается в следующем – построено не перпендикулярно основанию, то каким образом определить угол наклона? (90-А), получается угол наклона примерно 3-4 градуса (подтверждение в источниках).

Построена модель реального объекта и проведено внутримодельное исследование.

2. Создам динамическую модель абстрактного объекта - параллелограмм.

Построю параллелограмм (сначала по определению – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, затем по одному из признаков – если в 4-угольнике две стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник параллелограмм).

,

Таким образом, построили модель и провели внитримодельное исследование (использование инструмента Расстояние и длина, с помощью которого измерили длины сторон, и инструмент измерения углов Угол, измерение противоположных углов и внутренних односторонних при пересечении прямых и секущей).

В государственную итоговую аттестацию ГИА по математике входят 2 блока по решению геометрических задач. Для подготовки к экзамену в разных источниках существует большой банк задач, где по блокам разделены и задачи по геометрии.

Сегодня на уроке мы создадим обобщающие задачи из этого спектра задач по нескольким блокам.

Покажу на примере создание обобщающей задачи:

На карточках я представил серию задач (Приложение 1).

Пример:

Посмотрите на условие. Скажите, какой геометрическое действие отображают эти задачи?

(Нахождение катета, если известны длина гипотенузы и один из острых углов прямоугольного треугольника)

Что общего в этих задачах? (меняется параметр – длина гипотенузы).

Каким образом мы можем задать параметр? – создание ползунка.

Внесём условие задачи в рабочее поле, используя инструмент Надпись. Сделаем его динамическим! В условии задачи, которое поместим в надпись, изменяющиеся величины, выберем из вкладки Объекты – тем самым условие задачи стало с параметром.

Выполнение заданий учащимися под руководством учителя

У вас у каждой группы есть свой набор задач (Приложение 1). Составьте для каждого блока задач обобщающую задачу. Решение оформить аналогично примера.

Далее осуществляется самостоятельная работа в группах с взаимопроверкой на доске с промежуточными результатами. В Приложении 2 представлены примерные оформления задач в ИГС GeoGebra.

Обсуждение и анализ результатов

Какие темы по геометрии мы сегодня затронули при решении обобщающих задач?

А что такое обобщающая задача? (Обобщающая задача – задача, составленная на основе класса однотипных задач)

На знании каких геометрических фактов строится обобщающая задача 1 блока задач? 2 блока? 3, 4, 5?

Для чего можно создавать такие обобщающие задачи?

Итог урока, ДЗ

Осуществляется опрос учащихся, выставление оценок за работу на уроке.

Сегодня на уроке, используя возможности интерактивной геометрической среды GeoGebra и знания по алгебре и геометрии, научились решать обобщающие задачи из спектра задач банка ГИА по математике.

Домашнее задание – на карточках (2 блока).

Дома можете использовать эти ЦОР (цифровые образовательные ресурсы) для подготовки к ГИА по математике.

Спасибо!

Литература

Василевский А.В. "Сборник динамических задач и упражнений по геометрии", Минск 1997.

Василевский А.В. "Упражнения по алгебре и началам анализа", Минск 1997.

Г. Фройденталь, "Математика как педагогическая задача", Просвещение, 1983 г.

Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 80 с.

Демонстрационный вариант экзаменационной работы для проведения в 2013 году государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования. ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» - 2014 г.

Дубровский В.Н. и др., Интерактивные стереочертежи к учебнику А.В.Погорелова, [Электронный ресурс]: – Режим доступа: www.mto.ru/katal/index.html (сайт РЦ ЭМТО) – Загл. с экрана.

Информатизация как целевая ориентация и стратегический ресурс образования: сб. науч. Трудов участников Междунар. науч.-практич. конф., 29 февраля – 4 марта 2012 г. / НМС по мат. М-ва образования и науки РФ, Ин-т информатизации образования РАО, Сев (Аркт) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова, Ин-т мат. и информ. Болгар. Аккад. Наук, Аккад. социал. упр. [редкол.: Ипатова Ю.Л. и др.] – Архангельск: КИРА, 2012. – 552 с.: табл., рис.

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования, для проведения государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ. ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» – 2014г.

Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие / Федер. гос. автоном. образоват. учреждение высш. проф. образования «Север. (Аркт.) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова»; [О.Л. Безумова, Р.П. Овчинникова, О.Н. Троицкая и др.; отв. ред. О.Л. Безумова]. – Архангельск: КИРА, 2011. – 140 с.

Обучение геометрии с использованием интерактивной геометрической среды: дидактические материалы для 7-9 классов: методическое пособие / [С.Н. Котова, Р.П. Овчинникова, А.Е. Томилова и др.; отв. ред. М.В. Шабанова] ; Федер. гос. автоном. образоват. учреждение высш. проф. образования «Север. (Аркт.) федер. ун-т им. М.В. Ломоносова». – Архангельск: КИРА, 2011. – 93 с.

Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra // Шабанова М.В. и др. – М.: Издательство «Перо», 2013. – 128 с.

Пирютко О.Н. "Динамические упражнения по геометрии как средство интеграции школьного курса математики" - диссертация, Минск 1997.

Санина Е.И. Обобщающее повторение геометрии: Учебно-методическое пособие. – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2000. – 68 с.

Семенов А.Л. 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 / А.Л. Семенов, И.В.Ященко и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2013. – 399, [1] с. (Серия «Банк заданий ГИА»).

Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2014 году государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования. ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» - 2014 г.

Фридман Л.М. "Психолого-педагогические основы обучения математике в щколе" и "Психологическая наука - учителю".

Шабанова М.В. и др. Методы решения планиметрических задач. – Архангельск: КИРА, 2005. – 100 с

Штоф В.А. "Моделирование и философия", Наука, 1966.

Приложение 1

Раздаточный материал для учащихся «Блоки задач»

«GeoGebra как средство для моделирования реальных и абстрактных объектов».

Пример:

Задания:

Для каждого блока задач создайте обобщённую задачу.

Блок 1.

Блок 2.

Блок 3.

Блок 4.

Блок 5.

Домашнее задание:

Блок 1.

Блок 2.

Приложение 2

Решения задач

1 блок

2 блок

3 блок

4 блок

5 блок