Ортоцентр и его свойства

Ортоцентр и его свойства Выполнила: ученица 9-1 класса Каржавина Жанна Сергеевна Руководитель: учитель математики Злобина Элла Вячеславовна Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей математики и информатики» Кировского района города Саратова

Содержание ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА I. Ортоцентр Свойство 1 Свойство 2 Свойство 3 Свойство 4 Свойство 5 Формула Гамильтона Прямая и окружность Эйлера ГЛАВА II. ЗАДАЧИ Задача №1 Задача №2 Задача №3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение Планиметрия – наука, включающая множество теорем, лемм, заключений и конструкций, которые помогают нам для решения задач. Знакомство с геометрией мы начинаем со свойств евклидовых треугольников, как может показаться, самой простейшей из геометрических фигур. В процессе анализа выяснилось, что природа произвольного треугольника чрезвычайно богата: количество его замечательных точек исчисляются пятьюдесятью тысячами! Мы заинтересовались одной из этих точек, как ортоцентр в треугольнике. Ища различную информацию в статьях, учебниках и интернет-ресурсах, мы обнаружили, что у ортоцентра есть свойства, а также множество задач решается благодаря им. Как же это поможет нам в решении задач? Ортоцентр является одной из четырех замечательных точек треугольника, а также пересечением его высот. В первой главе этого проекта рассмотрены главные свойства ортоцентра, некоторые теоретические факты. Во второй главе рассмотрены задачи, решаемые с помощью свойств ортоцентра.

Цель работы: научиться собирать информацию по данной теме, изучить некоторые свойства ортоцентра и решить задачи на эти свойства, научиться применять их в олимпиадных, школьных, экзаменационных задачах. Задачи: Собрать информацию по теме «Ортоцентр и его свойства» и сконтруировать полученные знания по теме. Научиться пользоваться различными источниками, такие как Geogebra Рассказать про некоторые свойства ортоцентра. Рассмотреть задачи, при решении которых используются свойства ортоцентра. Доказать такие теоретические факты, как формула Гамильтона, прямая и окружность Эйлера и теорема Монжа. Гипотеза: изучение свойств ортоцентра необходимо для решения и экзаменационных, и олимпиадных задач. Методы исследования: Аналитический Актуальность: необходимость расширения знаний о точках треугольника. Данную фигуру можно считать основой планиметарной геометрии. Знание о его точках, прямых, окружностях – залог решения задач любой сложности.

Определение Ортоцентр - точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Пусть H – ортоцентр треугольника, O – центр описанной окружности.

Свойство 1 Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.

Свойство 2 Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины его стороны, лежит на окружности, описанной около треугольника, и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне. (рисунок 3)

Свойство 3 Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в 2 раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Свойство 4 Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.

Свойство 5 Угол между радиусом и стороной равен углу между высотой и стороной (все они выходят из одной вершины).

Формула Гамильтона Формула Гамильтона имеет вид = , где А, В, С - вершины треугольника, H – его ортоцентр,O – центр описанной окружности вокруг треугольника  

Прямая и окружность Эйлера Если H - ортоцентр треугольника, а O - центр описанной окружности, точка пересечения медиан(центроид треугольника) M лежит на отрезке HO, причём HM : MO = 2 : 1.

Задача №1 Задача Архимеда. Сумма квадратов отрезков, на которые точка пересечения делит взаимно перпендикулярные хорды, равна квадрату диаметра окружности.

Теорема Монжа Перпендикуляры, опущенные из середин сторон на противолежащие стороны вписанного четырёхугольника, пересекаются в одной точке - ортоцентре вписанного четырёхугольнике.

Заключение Моя гипотеза подтвердилась. Изучение свойств ортоцентра и вправду полезны для решения. Мы познакомились с таким понятием как ортоцентр, посмотрели доказательства свойств ортоцентра и разобрали задачи на свойства ортоцентра. Это помогло нам для дальнейшего изучения предмета и получения новых знаний в этой сфере, а также поможет для решения школьных, экзаменационных и олимпиадных задач. Также мы улучшили свои навыки публичного выступления, познакомились с новыми информационными источниками.