Проектно - исследовательская работа по теме "Формулы приведения"

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Тригонометрия... Этот страшный термин пугает людей с 1595 года. Появился он в качестве названия книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса. Но сама наука использовалась ещё раньше, в самой далекой древности, когда нужно было производить расчеты в астрономии, архитектуре и геодезии. Тригонометрические вычисления пронизывают все области физики, геометрии и любого другого инженерного дела. Зачастую при выполнении тригонометрических вычислений необходимо привести тригонометрические функции к одному аргументу (углу). В этом помогают формулы приведения.

Формулы приведения имеют широкое практическое применение. Они позволяют упрощать выражения, находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Нужно ли заучивать формулы приведения? Для всех популярных углов получается 32 формулы (с учетом тангенса и котангенса). Возможно, ли их знать без понимания? Это возможно, но абсолютно не нужно и даже вредно. Инженерное мышление, прежде всего основывается на умении решать задачи по общим принципам, на умении думать и находить решение. И уж точно не на заучивании, лишенным всякого смысла.

Актуальность данной работы заключается в том, что используя макет тригонометрической окружности, можно перейти от заучивания формул приведения к их пониманию.

Объект исследования: Тригонометрические функции в школьном курсе математики.

Предметом – Формулы приведения.

Цель работы – Создать макет тригонометрической окружности, используя который, можно выводить формулы приведения тригонометрических функций.

Задачи:

Изучить литературу и ресурсы удаленного доступа по теме проекта;

Проанализировать теоретический материал.

Собрать необходимый материал, для реализации проекта.

Методы исследования – метод сопоставления и анализа данных.

В результате работы мы хотим получить макет тригонометрической окружности, с помощью которой можно доказывать формулы приведения.

Глава I

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1. Косинус, синус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (рисунок 1).

Рисунок 1

Размеры катетов и гипотенузы следующие AC=12, BC=9, AB=15.

Разделим длину катета АС на длину гипотенузы АВ

Возьмем точку С1 на отрезке АС, проведем к нему перпендикуляр С1В1 (рисунок 2).

Рисунок 2

Измерим отрезки АС1 и АВ1. AC1=6; AB1=7,5.

=

Возьмем точку С2 на продолжении отрезка АС и проведем перпендикуляр С2В2 (рисунок 3).

Рисунок 3

Измерим отрезки АС2 и АВ2. AC2=15; AB2=18,75.

Заметим, что катет АС является прилежащим к углу А треугольника АВС. Катет АС1 является прилежащим к углу А в треугольнике АС1В1. Катет АС2 также является прилежащим к углу А, но уже в треугольнике АС2В2. Получилось, что отношение прилежащего катета к гипотенузе во всех трех случаях равно 0,8. Очевидно, что это отношение зависит только от угла А.

Определение: Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это числа. Подумайте, какими числами могут быть синус, косинус и тангенс.

1.2. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла от 0 до 180 градусов

В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рисунок 4).

Рисунок 4

Из точки О проведём луч m, который пересекает построенную полуокружность в точке М с координатами х; у.

Обозначим угол между лучом m и положительной полуосью абсцисс буквой (рисунок 5).

рисунок 5

Если угол острый, то в прямоугольном треугольнике МОН длина катета ОН равна значению абсциссы точки М, то есть х, длина катета МН равна ординате точки М, то есть у, а длина гипотенузы ОМ равна единице (рисунок 6).

Рисунок 6

В прямоугольном треугольнике МОН синус острого угла равен отношению противолежащего катета МН к гипотенузе ОМ:

То есть синус острого угла равен ординате у точки М:

В прямоугольном треугольнике МОН косинус острого угла равен отношению прилежащего катета ОН к гипотенузе ОМ:

То есть косинус острого угла равен абсциссе х точки М:

Если угол альфа прямой, тупой, развёрнутый или равен нулю, то синус и косинус угла определяется по тем же формулам.

Таким образом, для любого угла из промежутка от 0 до 180 градусов синусом угла называется ордината соответствующей точки М единичной полуокружности, а косинусом угла – абсцисса данной точки:

если 0 , то

,

,

где (x; y) – координаты соответствующей точки единичной полуокружности.

Так как абсциссы всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от минус единицы до единицы, то справедливо неравенство: –1

Так как ординаты всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от нуля до единицы, то справедливо неравенство: 0

Тангенсом угла альфа называется отношение синуса альфа к косинусу альфа:

tg

Котангенсом угла альфа называется отношение косинуса альфа к синусу альфа:

ctg

Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, равного нулю градусов. Для этого рассмотрим луч ОА. Он пересекает единичную полуокружность в точке А. Ордината точки А равна нулю, значит синус нуля градусов равен нулю: = 0. Абсцисса точки А равна единице, значит косинус нуля градусов равен одному: = 1. Чтобы найти значение тангенса угла, равного нулю градусов, разделим значение синуса этого угла на значение косинуса. Тангенс угла, равного нулю градусов, равен нулю:

tg = = 0. Котангенс угла, равного нулю градусов не определён, так как синус угла, равного нулю градусов, равен нулю и в формуле котангенса знаменатель обращается в нуль: ctg = – значение не определено

1.3. Формулы приведения

На координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рисунок 7).

Рисунок 7

Эта окружность задаётся следующим уравнением:

Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную в первой и второй четвертях. Координаты любой точки этой полуокружности должны удовлетворять уравнению данной окружности (рисунок 8).

Рисунок 8

Координаты точки М – это значения косинуса и синуса угла, который соответствует этой точке (рисунок 9). 

Рисунок 9

Подставив в формулу окружности выражения для и получим следующее равенство: 1 (0).

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством и выполняется для любого угла от нуля градусов до ста восьмидесяти градусов.

В математике существуют формулы, которые позволяют упростить вычисления синусов и косинусов углов. Эти формулы называются формулами приведения.

Под формулами приведения понимают обычно формулы, сводящие значение тригонометрической функции аргумента вида , к функции аргумента . Покажем, как получаются некоторые из формул приведения.

Подобным же образом выводятся и остальные формулы приведения, эти формулы даны в следующей таблице:

1.4. Мнемоническое правило

Одно дело — воспользоваться формулами, а совсем другое — выучить их. Знать наизусть все формулы приведения или всю таблицу — дело нелегкое и, к счастью, абсолютно ненужное.

1) Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из него)  — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция меняется на кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.

Если же мы прибавляем или вычитаем  — в общем, то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию не меняется.

Это легко запомнить. Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».

Это первая часть правила. Теперь вторая.

2) Изобразите (на листе или мысленно) на единичной окружности данный угол.

С помощью окружности определите знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Напомним знаки тригонометрических функций во всех четвертях тригонометрической окружности (рисунок 10):

Изобразите (на листе или мысленно) на единичной окружности данный угол.

С помощью окружности определите знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Рисунок 10

Глава II

ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЕКТА

2.1. Создание макета тригонометрической окружности

Для создания макета тригонометрической окружности воспользуемся следующими материалами:

1) Магнитный коврик;

2) Цветная пластиковая папка;

3) Перманентный маркер;

4) Саморез;

5) Заглушка.

Ход работы:

1. За основу макета возьмем магнитный коврик.

2. На магнитном коврике строим координатную плоскость и единичную окружность.

3. В первой четверти координатной плоскости строим прямоугольный треугольник отличный от равнобедренного (рисунок 11).

Рисунок 11

4. Из пластиковой папки вырезаем два прямоугольных треугольника, равных треугольнику, изображенному в координатной плоскости.

5. На прямоугольных треугольниках выделяем катеты разным цветом (рисунок 12).

Рисунок 12

7. Размещаем треугольники на макете при помощи самореза (рисунок 13).

Рисунок 13

2.2. Принцип работы макета

Формулы приведения связаны с «популярными» (табличными) углами. Именно к ним нужно сводить большие углы.

Точка с координатой (1;0) является началом отсчета, ей соответствует угол в 0 градусов. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным, по часов стрелке – отрицательным.

Каждая точка М (x; y) на этой единичной окружности — это возможное положение конца радиус-вектора. Таким образом, радиус единичной окружности образует с осью абсцисс угол альфа.

Абсцисса данной точки соответствует значению косинусу острого угла, ордината – значению синуса. Для создания данного макета, мы построили два прямоугольных треугольника, гипотенуза равна радиусу единичной окружности, а катеты являются его проекциями на ось абсцисс (ось косинусов) и ось ординат (ось синусов). Угол между гипотенузой и катетом, являющимся проекцией гипотенузы на ось косинусов равен альфа.

Также важно понимать, что каждая проекция может быть отрицательной, таким образом, мы будем определять знак синуса и косинуса в той или иной четверти.

Рассмотрим различные положения прямоугольных треугольников на единичной окружности. И покажем вывод формул приведения при помощи макета.

Вращая треугольник против часовой стрелки, мы можем показать сумму углов , и т.д (рисунок 14).

Рисунок 14

Рассматривая угол на тригонометрической окружности, можно заметить, что катет выделенный синим цветом совпадает с осью синусов, обращаем внимание на исходный треугольник в первой четверти, катет выделенный синим цветом, равен значение косинуса острого угла, соответственно значение .

Аналогично можем утверждать, что . Так как, рассматривая угол на тригонометрической окружности, можно заметить, что катет выделенный красным цветом проецируется на ось косинусов. В свою очередь, в исходном треугольнике, с острым углом , катет выделенный красным цветом, равен значению синуса острого угла .

Вращая треугольник по часовой стрелке, мы можем показать разность углов , и т.д (рисунок 15).

Рисунок 15

Рассматривая угол на тригонометрической окружности, можно заметить, что катет выделенный синим цветом совпадает с осью косинусов, обращаем внимание на исходный треугольник в первой четверти, катет выделенный синим цветом, равен значение косинуса острого угла, но так как значение косинуса во второй четверти координатной плоскости отрицательно, следовательно, значение .

Аналогично можем утверждать, что . Так как, рассматривая угол на тригонометрической окружности, можно заметить, что катет выделенный красным цветом проецируется на ось синусов. В свою очередь, в исходном треугольнике, с острым углом , катет выделенный красным цветом также равен значению синуса острого угла .

Аналогично, используя макет тригонометрической окружности, можно вывести и все остальные формулы приведения. Формулы приведения для тангенса и котангенса можно легко вывести, зная формулы приведения синуса и косинуса. Ведь тангенс – это отношение синуса к косинусу, а котангенс – косинуса к синусу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью работы было создать макет тригонометрической окружности, используя который, можно выводить формулы приведения тригонометрических функций. И уйти от бездумного заучивания формул, к их пониманию.

В ходе работы мы выяснили, что практически вся школьная тригонометрия строится на модели тригонометрической окружности. Не секрет, что обучающийся, хорошо овладевший понятием «тригонометрическая окружность», свободно и непринужденно работающий с ней, достаточно уверенно обращается с тригонометрическими функциями. Одной из задач, которую решает тригонометрическая окружность - это возможность выводить формулы приведения, которые в дальнейшем можно использовать при решение тригонометрических выражений, уравнений и неравенств.

Таким образом, нами был разработан макет тригонометрической окружности, который может быть использован в учебном процессе учителями математики общеобразовательных школ, а также старшеклассниками при изучении тригонометрии в школьном курсе математики.

ЛИТЕРАТУРА

Л. С. Атанасян. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений –М.: Просвещение, 2015.

А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Геометрия: 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений –М.: Вентана-Граф, 2019.

А..Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2013.

Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов. - М.: Высшая школа, 2014. - 586 c.

Сайт skysmart - https://skysmart.ru/articles/mathematic/formuly-privedeniya

Статья «Формулы приведения – страшная тригонометрия?» - https://dzen.ru/a/ZWgH9eEpRB8fK1LQ