Стереометрия в архитектуре

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя школа №2 г. Котельниково Волгоградской области.

Проект по математике

«СТЕРЕОМЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………….. 3

1.История возникновения понятия пространственных фигур..6

2. Понятие пространственные фигуры………………………....7

3.Основные виды пространственных фигур…………………...8

4. Пространственные фигуры в архитектуре…..……………..15

4.1.Понятие архитектуры..……. ……………………………….15

4.2 Роль пространства в архитектуре...………………………...16

4.3 Использование пространственных фигур в архитектуре....17

4.3.1 Храм Кукульмана…………………….....…………………17

4.3.2 Лондонский Тауэр………………………………………...19

4.3.3 Частное домовладение (г.Краснодар)...………………….21

4.3.4 Шуховская башня…………………………….………….. 22

4.3.5 Магазин «Магнит»………………………………………...23

5. Модель школы будущего ……………………………… 24

Заключение………………………………………………………….34

Список использованной литературы……………………………...35

ВВЕДЕНИЕ

Прикладное значение геометрии состоит в том, что, изучая свойства геометрических фигур как воображаемых объектов, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов (форма, размер, взаимное расположения и иные характеристики). Эти ценные и незаменимые сведения применяются во многих практических областях (машиностроение, строительство, дизайн, проектирование, создание виртуальной реальности), в том числе и в архитектуре.

Стереометрия как наука о пространственных фигурах стала основой знаний архитекторов ещё в те древние времена, когда в обиходе не существовало слова «геометрия».

Считается, что основоположниками геометрии стали египтяне. Греки же, в свою очередь, в лице учёных и философов активно перенимали достижения науки Древнего Востока.

Так древнегреческий учёный Платон – ученик Сократа, учитель Аристотеля, - создал трактат о правильных многогранниках – «Тимаус». Платон сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.

Актуальность нашего проекта заключается в том, что пространственные фигуры окружают нас повсюду, и обширная область их применения – архитектура.

Объектом исследования являются пространственные фигуры, а предметом исследования – пространственные фигуры в архитектуре.

Цель проекта – изучить понятие «пространственные фигуры», основные виды и свойства пространственных, их применение в архитектуре, и создать собственную модель архитектурного строения с применением этих свойств.

Гипотеза исследования состоит в том, что интерес к изучению пространственных фигур, зародившийся ещё тысячелетия назад, постоянно растёт в связи с их применением в различных сферах деятельности и в быту; изучив их виды и свойства, можно самому изготовить модель архитектурного строения, сочетающую в себе основные свойства пространственных фигур.

Основные этапы работы:

подготовка к проекту (выбор темы, определение проблемы и оптимальных решений этой проблемы, составление плана собственного исследования)

общее ознакомление с литературными и электронными источниками информации

изучение теоретического материала по теме

выписки из прочитанного

составление плана прочитанного

анализ и сравнение информации из разных источников

выдвижение гипотезы исследования

выбор методов исследования и практическое применение этих методов в своей работе

исследование

анализ

синтез

обобщение, выводы

изготовление модели архитектурного строения

отчёт

защита проекта

Методы исследования:

классификация

сравнение

описание

анализ

теоретическое исследование

обобщение

материальное моделирование

Научная новизна состоит в том, что работа представляет собой интересный теоретический и практический материал о пространственных фигурах, их видах и свойствах, в ракурсе применении этих свойств в архитектуре.

Теоретическая значимость проекта состоит в том, что нами были обобщены основные теоретические представления о пространственных, их классификации, свойствах, а также применении в архитектуре.

Практическая значимость исследовательской работы заключается в том, что её результаты могут быть использованы на уроках геометрии, истории, технологии и изобразительного искусства, а также всеми желающими для общего образования.

История возникновения понятия пространственных фигур

Геометрия (греч. Geometria, от geo — Земля и metreo — мерю) как наука, считают учёные, возникла в Древнем Египте. Древнегреческий философ, ученик Аристотеля Евдем Родосский (370 г. До н. э.) писал: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития Нила, постоянно смывавшего границы».

Египтяне, безусловно, вели развитую торговлю, поэтому им было необходимо вычислять объём сосудов и ёмкостей. Постройка величайших древних пирамид также требовала знаний свойств пространственных фигур, но уже более обширных.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. Кеплер предложил собственную модель Солнечной системы. Она представляла собой пять правильных многогранников, помещающихся один в другой и разделяющихся серией вписанных и описанных сфер.

Однако, зарождение и дальнейшее развитие понятия «пространство» началось только в XIX веке. Именно тогда французский математик Жан-Виктор Понселе создал геометрию проективного пространства, в которой рассматривались проекции геометрических фигур и их особые свойства, а российский математик Н. И. Лобачевский создал знаменитую неевклидову геометрию.

В середине XIX века появилось понятие (1854) «Риманова геометрия» - многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. Е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка, сравнительно с размерами области).

Понятие пространственных фигур и науки стереометрии

Стереометрия – (от др.-греч. Στερεός [стереос] «твёрдый; объёмный, пространственный» + μετρέω [метрео] «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Пространственные фигуры представляют собой фигуры, не все точки которых лежат в одной плоскости. Ярким примером такого вида фигур может служить прямоугольный параллелепипед (рис.1).

Основные виды пространственных фигур и их свойства

Рассмотрим основные виды пространственных фигур:

Прямоугольный параллелепипед – это четырёхугольная призма, основанием которой служит прямоугольник (рис.2).

Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.

Свойства:

У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники;

Противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях;

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Формулы:

Sпов.= 2(ab + bc + ac)

V = abc

Интересный факт:

Известный иллюзионист Девид Блейн в рамках необычного эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В своё добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку, матрац и носовые платки.

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого многоугольника (рис.3).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Свойства:

В правильной пирамиде боковые рёбра, двугранные углы и высоты всех боковых граней; пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит внутри пирамиды;

В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Формулы:

Sб.пов.= pl/2 = Sосн./cosL = Sгр. * n (где p – полупериметр, угол L – угол наклона боковой грани к основанию, n – количество граней)

Интересный факт:

Тщательные измерения показали, что длина основания Пирамиды по периметру, деленная на её удвоенную величину практически составила 3, 14159… – то есть число π. Открытие этого числа в размерах Пирамиды Хеопса произвело сенсацию. Из «папируса Ринда», хранящегося в настоящее время в британском музее и найденного А.Х. Риндоу в 1858 г., стало известно, что египтяне скрупулёзно и усердно занимались числом π.

Правильный октаэдр (от греч. Octo – восемь, hedra – грань) – правильный многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников (рис.4).

Свойства:

Сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240°;

Все ребра правильного октаэдра имеют равную длину, а грани – равную площадь.

Формулы:

Sпов. = 2a²√3

V = a³√2/3

Интересный факт:

Исторически первой формой огранки, появившейся в середине XIV века, стал «октаэдр». Алмаз «Шах» почти сохранил свой естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла-октаэдра, массу 88,7 карата и цвет воды с желто-бурым оттенком. В начале XIX века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А. С. Грибоедов, и персидское правительство для разрешения конфликта подарило алмаз Николаю I.

Правильный икосаэдр – (от греч. Ico — шесть, hedra — грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников (рис.5).

Сумма углов при вершине равна 300°.

Свойства:

Все 20 граней имеют представляют собой равносторонние треугольники.

Формулы:

Sпов. = 5a²√3 

V = 5a³(3+√5)/12

Интересный факт:

Правильный икосаэдр очень часто встречается в природе, хотя мы можем это не замечать – форму правильного икосаэдра имеют кристаллы бора и даже скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra), которая защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из двенадцати вершин скелета.

Сфера – (от др. –греч. Σφαῖρα - «мяч», «шар») — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки – центра сферы.

Свойства:

Все точки сферы одинаково удалены от центра;

Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

Формулы:

V = 4/3πR³ = 1/6πD³

S = 4πR² = πD²

Уравнение сферы:

x² + y² + z² = R²

Интересный факт:

В апреле 2016 года в селе Подунавлье недалеко от Завидовичи, Босния и Герцеговина была найдена гигантская металлическая сфера (около 3,3 метров в диаметре и весом примерно 35 тонн). Учёные полагают, что данная геометрическая фигура – дело рук древней, возможно даже не известной нам, цивилизации. До конца это не выяснено, но найденный предмет определённо поражает своей почти идеальной конструкцией.

Куб – правильный многогранник, грани которого – квадраты (рис.7)

Ребро куба – это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.

Ось куба – это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.

Диагональ куба – отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

Свойства:

Все грани имеют одинаковую площадь;

Каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом;

Рёбра куба (a) имеют одинаковую длину;

Оси куба (i) взаимно перпендикулярны;

Диагонали куба (d) имеют одинаковую длину;

Диагонали куба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в центре куба.

Формулы:

d = a√3

V = a3

S = 6a2

P = 12a

Интересный факт:

В 1966 году фотограф Чарльз Кокран сделал фотографию, которую окрестили «сумасшедшим ящиком». Это вывернутый наизнанку каркас фигуры гексаэдра (куба). «Сумасшедший ящик» основывается на неправильных соединениях, которые допустили при рисовании фигуры.

Пространственные фигуры в архитектуре

4.1 Понятие архитектуры

Архитектура - искусство и наука строить, проектировать здания и сооружения (включая их комплексы), а также сама совокупность зданий и сооружений, создающих пространственную среду для жизни и деятельности человека (рис.7).

Роль пространства в архитектуре

Стереометрия и архитектура неразрывно связаны. Каждый памятник архитектуры, будь то величественный небоскрёб или тихая библиотека, представляет собой комбинацию пространственных геометрических фигур.

Для строительства любого сооружения необходимы не только знания строительных материалов, точный расчёт и креативность архитектора, но и обширные знания в области стереометрии.

Так, например, благодаря правильно спроектированному пространству готические соборы (рис.8) вызывают у посетителей эстетическое удовольствие не только своей внешней конструкцией, но и внутренней организацией. Большое пространство в данном случае создаёт великолепные акустику и условия для звучания такого необыкновенного музыкального инструмента, как орган.

Использование пространственных фигур в архитектуре

Храм Кукульмана

Чтобы архитектурное сооружение, помимо утилитарных качеств, несло в себе идейно-образное, художественно-эстетическое начало, воздействовало на наши эмоции, вызывало ответные чувства и определенное настроение, в нём сочетают множество пространственных фигур.

Рассмотрим использование пространственных фигур на примере шедевров зодчества.

На рисунке ниже (рис.9) изображена знаменитая пирамида – она же храм бога Кукулькана, - расположенная в древнем городе племени майя – Чичен-Ице. Данное сооружение может показаться довольно не замысловатым: оно предстовляет собой усечённую пирамиду с прямоугольным параллелепипедом на «срезанной» плоскости и четырьмя плоскостями, расположенными вдоль граней пирамиды. Но на самом деле древняя храмовая постройка таит в себе столь необычайные геометрические свойства, что, узнав о них, учёные долго не могли прийти в себя.

Здание сооружено таким образом, что в день осеннего и весеннего равноденствия солнечные лучи, падающие на каменные балюстрады, позволяют лицезреть змея, «ползущего» из храма к основанию пирамиды (рис.10 и рис.11).

4.3.2 Лондонский Тауэр

Лондонский Тауэр – не только символ Великобритании, но и прекрасный пример использования свойств пространственных фигур в военных целях. Крепость была постоена примерно в 1066 году королём Вильгельмом Завоевателем для защиты города от вражеских нападений и защиты королевской семьи в случае восстания народа, недовольного правлением норманнов.

Сначала Тауэр представлял собой устойчивое строение кубической формы под названием и возвышающуюся над ним Белая Башню (рис.12).

Кубическая форма наряду с величественностью и мощностью придаёт главному зданию устойчивость. Выгодное стратегическое расположение достигается благодаря основному свойству куба – все грани фигуры равны между собой.

Во-первых, для возведения сооружения такой формы потребуется меньше времени, нежели для крепости, схожей с готическим собором.

Во-вторых, кубическая форма предоставляет одинаково обширный угол обзора из любой части здания.

Наиболее современный Тауэр представляет собой целую систему крепостей (рис.13), центром которой по-прежнему является Белая Башня. Она представляет собой массивное сооружение (около 27 метров высотой) в форме прямоугольного параллелепипеда с толщиной стен примерно 4 метра. Устойчивость и необходимая изоляция верхних этажей достигаются благодаря свойствам прямоугольного параллелепипеда: все грани – прямоугольники.

4.3.3 Частное домовладение (г. Краснодар)

Применение свойств пространственных фигур не ограничивается священными храмами или объектами стратегического назначения: хорошие примеры можно встретить на обычной улице (рис.16).

На рисунке ниже мы можем наблюдать жилое здание с крышей необычной формы. Куб, к которому примыкает часть сферы, «вырезанная» из середины фигуры, в сочетании с необходимыми декорациями превращается в привлекательную старинную мельницу.

4.3.4 Шуховская башня

Ещё одним ярким примером применения свойств пространственных фигур в архитектуре можно считать знаменитую краснодарскую Шуховскую башню.

Сооружение было возведено в 1929 году по проекту архитектора, инженера, изобретателя и ученого Владимира Григорьевича Шухова. Именно он первым в мире применил для строительства зданий стальные сетчатые оболочки и впоследствии ввёл в архитектуру однополостный гиперболоид вращения, ставший основой для гиперболоидных конструкций.

4.3.5 Магазин «Магнит»

Примечательным можно найти и здание продуктового магазина «Магнит» (г.Краснодар, ул. Полины Осипенко), которое, несмотря на исключительно бытовое значение, сочетает в себе множество интересных форм (рис.18).

Здесь мы видим здание кубической формы с «волнистой» крышей и входом в виде большого цилиндра, увенчанного «обрезанной» сферой. Удачное сочетание форм пространственных фигур и симметричных элементов делает сооружение приятным глазу и узнаваемым.

Модель школы будущего

Опираясь на изученный материал и наблюдения, полученные за время работы над проектом, нам удалось изготовить модель школы будущего (какой я себе её представляю), в которой сочетаются использование свойств пространственных фигур и оригинальная цветовая гамма.

Заключение

Геометрия (греч. geometria, от geo — Земля и metreo — мерю) как наука, считают учёные, возникла в Древнем Египте.

Однако, зарождение и дальнейшее развитие понятия «пространство» началось только в XIX веке. Именно тогда французский математик Жан-Виктор Понселе создал геометрию проективного пространства.

Пространственные фигуры представляют собой фигуры, не все точки которых лежат в одной плоскости. Именно пространственные фигуры являются основной составляющей архитектуры как искусства строить на протяжении многих тысячелетий. Ведь для строительства любого сооружения необходимы не только знания строительных материалов, точный расчёт и креативность архитектора, но и обширные знания в области стереометрии.

Так, например, правильно спроектированное пространство создаёт великолепную акустику в тех случаях, когда она является необходимой в силу назначения здания.

Свойства пространственных фигур сыграли ключевую роль в создании шедевров зодчества, которые дошли до наших дней и до сих пор поражают воображение своей искусной иллюзией.

Также благодаря знаниям в области стереометрии создавались здания, служащие надёжной крепостью или объектом стратегического назначения, что значительно повлияло на ход мировой истории.

Таким образом, работая над теоретической частью проекта и создавая уникальную модель школы будущего с использованием свойств пространственных фигур, мы:

Выяснили, что пространственные фигуры окружают нас повсюду, и наиболее обширная область их применения – архитектура;

Доказали, что интерес к изучению пространственных фигур, зародившийся ещё тысячелетия назад, постоянно растёт в связи с их применением в различных сферах деятельности и в быту; изучив их виды и свойства, можно самому изготовить модель архитектурного строения, сочетающую в себе основные свойства пространственных фигур.

Изучили понятие «пространственные фигуры», основные виды и свойства пространственных, их применение в архитектуре;

Создали собственную модель архитектурного строения с применением этих свойств.

Список использованной литературы

http://isgeom.narod.ru/str3.html

https://sibac.info/studconf/science/xxxiv/88784

https://fb.ru/article/247962/mnogogranniki-v-arhitekture-arhitekturnyie-formyi-i-stili

https://mydocx.ru/10-5860.html

Степанов, А.В., Малыгин, В.И., Иванова, Г.И., Кудряшов. К.В. и др. Обьемно-пространственная композиция: Учеб. для вузов/Под ред. А.В. Степанова. - М.: «Архитектура-С», 2007 г. -256 с.

Шенцова О.М. Геометрический вид как свойство архитектурно-пространственных форм//Архитектура. Строительство. Образование. 2015. № 2 (6). С. 46-52.

https://mydocx.ru/6-36014.html

https://trcroyal-city.ru/

https://www.litres.ru/elena-pakalina/chudesa-sveta/

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

https://www.youtube.com/watch?v=S_AzwJwy7Ns

https://yugarf.ru/shuhovskaya-bashnya-v-krasnodare/#name2