Стереометрия

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

 

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Автор: Белова Лариса Григорьевна, преподаватель математики

ГБОУ СПО НО «Нижегородский медицинский базовый колледж»

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов по специальностям СД, ЛД и призвано помочь усвоить курс стереометрии. В данном пособии представлен теоретический материал по основным темам стереометрии в конспективной форме.

Краткое изложение теоретических вопросов сопровождается необходимыми простыми рисунками и формулами для вычисления площадей поверхностей и объемов пространственных тел, изучаемых в разделе стереометрии.

Целью пособия является:

• оказание помощи обучающимся, пропустившим по тем или иным причинам занятия;
• воспитание навыков самостоятельной и индивидуальной работы;
• выработка визуального образного мышления;
• указание путей и возможностей в дальнейшем для решения стереометрических задач.

Пособие окажет помощь учащимся в создании конспекта по предмету в аудиторных и домашних условиях, поможет в изучении нового материала и в повторении, обобщении и систематизации пройденного, а также поможет в подготовке к экзаменам.

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:

• общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;
• умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;
• практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.

Учебно-методическое пособие состоит из восьми практических заданий, каждое из которых включает в себя краткий конспект с рисунками и систему контролирующих вопросов и заданий. Результаты практических работ необходимо оформить в тетради, а ответы контролирующих заданий сдать преподавателю для контроля.

Особенностью пособия является наглядность изложения теории, направленная на усвоение теоретических знаний по стереометрии и развитие пространственного воображения и индивидуальных интеллектуальных способностей обучающихся.

 

Практическое задание № 1. ПРИЗМА

ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Призма».

ХОД работы:

Прочитайте текст.

Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

Выполните отдельно контролирующие задания.

ПРИЗМА

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих и разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Многоугольники ABCDE = A1B1C1D1E называются основаниями призмы. Многоугольники AA1B1B1, BB1C1C, … (параллелограммы) называются боковыми гранями призмы (рис. 1).

Рис. 1

Отрезки AA1, BB1, CC1… называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр HH1 опущенный из какой-нибудь точки верхнего основания на плоскость нижнего основания, называется высотой призмы.

Призма называется треугольной, четырёхугольной и т.д., когда её основание-треугольник, четырёхугольник и т.д.

Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не перпендикулярны к основаниям.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Призма называется правильной, если она прямая и её основания - правильные многоугольники.

Плоскость, перпендикулярная к боковому ребру призмы, пересекает её грани. Полученный в сечении многоугольник называется перпендикулярным сечением (рис. 2).

 

Сечения призмы плоскостью

а) перпендикулярное сечение

б) диагональное сечение

Рис. 2

Рис. 3

Площадь боковой поверхности - это сумма площадей всех боковых граней.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (на длину бокового ребра), т.е.

S=P·H

Площадь поверхности призмы - это сумма площадей всех граней.

Развертка

Площадь полной поверхности призмы

вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок + 2Sосн.

 

Рис. 4

Объём прямой призмы вычисляется по формуле: V=Sосн · H

где Н-высота призмы; Sосн- площадь основания призмы.

Объем наклонной призмы вычисляется по формулам:

а)V=Sосн · H б)V=S · L

где S - площадь перпендикулярного сечения; L – боковое ребро

Контролирующие задания к теме «Призма»:

Изобразите наклонную пятиугольную призму

а) из одной ее вершины проведите высоту;

б) укажите стрелками элементы призмы;

в) постойте все диагональные сечения этой призмы.

Какая призма не имеет диагональных сечений?

Перечислите свойства правильной призмы.

Выпишите формулы объема и полной поверхности.

 

Практическое задание № 2. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Параллелепипед».

ХОД работы:

Прочитайте текст.

Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

Выполните отдельно контролирующие задания.

 

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Параллелепипедом – называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Параллелепипеды, как и всякие призмы могут быть прямые и наклонные.

Из определения следует:

у параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы;

у прямого параллелепипеда четыре боковые грани - прямоугольники, а два основания – параллелограммы;

у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники.

В любом параллелепипеде:

противоположные грани равны и параллельны;

диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Квадрат длинны диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

d2=a2+b2+c2

где a, b, c –измерения прямоугольного

параллелепипеда; d-диагональ.

Развертка

Площадь полной поверхности параллелепипеда

вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=Sосн · H

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = a · b · c

где a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба вычисляется по формуле:

V=a3

где a – ребро куба.

Контролирующие задания к теме «Параллелепипед»:

Какие виды параллелепипедов Вы знаете? Разместите их в схему.

Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что он частный случай призмы?

Чем прямой параллелепипед отличается от наклонного?

В параллелепипеде проведено диагональное сечение. На какие многогранники разбился параллелепипед?

Сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками?

 

Практическое задание № 3. ПИРАМИДА

ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Пирамида».

ХОД работы:

1. Прочитайте текст.

2. Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

3. Выполните отдельно контролирующие задания.

ПИРАМИДА

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. На рисунке изображена пирамида SABCD, где АВСD – основание, точка S – вершина. Треугольники SAB, SBC, SCD, CDA называются боковыми гранями. Прямые SA, SB SC, SD называются боковыми рёбрами пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды и обозначается Н.

Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагонали, основания, называется диагональным сечением пирамиды.

ASC и BSD диагональные сечения

Пирамида называется треугольной, четырёхугольной и т.д., если её основание - треугольник, четырёхугольник и т.д.

Пирамида называется правильной, если основание её - правильный многоугольник, а высота её проходит через центр основания.

Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники, равные вежду собой.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой пирамиды.

Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Если все четыре грани тетраэдра - правильные треугольники, то и тетраэдр называется правильным.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

боковые рёбра и высота разделяется на пропорциональные части;

в сечении получатся многоугольник, подобной основанию;

площадь сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

объём двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

 

Sбок =ph

где p-полупериметр основания; h- апофема.

Развертка пирамиды

Площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

Sполн=Sбок+Sосн

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3 Sосн ·Н

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится новый многогранник, который называется усечённой пирамидой.

На рисунке треугольник ABC – нижнее основание, треугольник MNK - верхнее основание.

Для усечённой пирамиды площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

 

S полн=Sбок+S1+S2

где S1-площадь нижнего основания;

S2-площадь верхнего основания.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

где h – высота усеченного конуса.

Контролирующие задания к теме «Пирамида»:

Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и покажите на ней стрелками основные элементы.

Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды. Как найти площадь ее полной поверхности?

Перечислите свойства правильной пирамиды.

В пирамиде проведено сечение параллельно ее основанию. Как называются полученные части пирамиды?

Сколько диагональных сечений имеет шестиугольная пирамида?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Атанас ян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 кл. (базовый и профильный уровни) М.: Просвещение, 2014.
2. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 2013.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2012.
4. Погорелов А. В. Геометрия. 10-11 кл. – М. Дрофа, 2012.