Основная сложность наук, связанных с математикой, заключается в том, что приходится работать с абстрактными, т.е. не привязанными к чему-то реальному величинами. Центр тяжести – одно из таких понятий. Для лучшего его понимания постараемся привести бытовой пример.

Дан отрезок AB. Представим, что это качели и что они ничего не весят (невесомы).

На отрезке отмечены его концы. Представим себе, что мы ставим на разные концы качелей гирьки m1 и m2.

Если m2>m1 (имеются в виду массы), то вес сместится в т. B.

Если m2<m1, то вес сместится в т. A.

Если m2=m1, то вес не смещается.

В данном случае вес – это сила тяжести.

Того, чтобы вес не смещался, можно добиться и в предыдущих двух случаях. Точка, где это условие выполняется, и называется центр тяжести.

Актуальность темы.

В школьном учебнике геометрии Атанасяна такая тема, как центр масс, рассматривается весьма поверхностно. Но в олимпиадах по математике, а также в ГИА могут встретиться задачи, в которых можно использовать понятие центра тяжести и теоремы, связанные с ним, например, теоремы Менелая и Чевы. Использование их упростит решение. Кроме того, как видно из определения, данного физиками, можно понять, что понятие центра тяжести используется и в этой науке.

Цель.

Изучить теорию, связанную с центром тяжести, научиться находить его у разных геометрических фигур.

Задачи.

1) Разобрать понятие центра тяжести;

2) Разобрать теорию, связанную с центрами тяжести;

3) Обозначить и доказать теоремы Менелая и Чевы;

4) Научиться строить центры тяжести у треугольника, четырехугольника, трапеции и многоугольников вообще, а также у периметра треугольника.

Глава 1. Теоретическая часть по теме «Центр тяжести»

Понятие центра тяжести.

Для выполнения 1 задачи вернемся к примеру с «качелями».

Из него следует что центр тяжести — это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

С точки зрения физики, центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные элементарные части тела (при любом положении тела в пространстве). Такое определение можно применить в случае с «качелями».

Центр тяжести часто считают эквивалентным понятию центра масс или центра инерции. Это утверждение можно считать верным только в том случае, когда система состоит из однородных тел и находится в однородном гравитационном поле. Так мы можем считать и в нашем случае.

Стоит помнить, что данный проект, прежде всего, посвящен геометрии. Поэтому мы можем считать, что центр тяжести отрезка – это его центр, поскольку отрезок имеет равномерно распределенную массу, как в случае, если m2=m1.

Кстати, даже из примера, показанного во вступлении, можно вывести несколько утверждений, касающихся всей темы вообще. Их можно рассматривать как аксиомы.

Аксиома 0. У любой конечной системы точек центр масс существует и определен однозначно.

Аксиома 1. Центр масс точки совпадает с ней.

Аксиома 2. Центр масс системы двух точек с массами mi делит отрезок, их соединяющий, в отношении m1: m2 и расположен ближе к большей массе (если они равны, то он находится посередине).

Из аксиомы 2 можно вывести следующую теорему:

Теорема 1.

Центр тяжести разбивает отрезок в отношении обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.

По аксиоме 2, . Следовательно, , ЧТД.

Система, состоящая из двух материальных точек имеет центр масс, принадлежащий отрезку, соединяющему эти точки, причем его соложение определяется правилом рычага.

Правило рычага отражено этой теоремой: .

Теория, сопряженная с понятием центра тяжести.

По ходу выполнения задачи 2 мы рассмотрим понятие массы и центроида четырехугольника, а также параллелограмм Вариньона.

Масса

Что такое масса? С точки зрения физики однозначное определение дать нельзя. Но мы можем утверждать, что масса—это количество вещества, содержащееся в теле или отдельном звене. Вместе с тем масса — это количественная мера инертности тела (свойства тел по-разному изменять свою скорость при действии на него одной и той же силы) по отношению к действующей на него силе.

Центроид четырехугольника. Параллелограмм Вариньона.

Для того чтобы найти центр тяжести четырех равных масс, можно применить следующий прием.

1) Разбиваем эти массы произвольным образом на две пары;

2) Заменяем каждую пару точкой удвоенной массы, расположенной точно посередине между точками этой пары. Тогда задача сведется к нахождению центра масс системы из двух построенных точек (отрезок).

Так как их массы равны, искомый центр находится ровно посередине между построенными серединами.

Если все четыре точки различны, то они образуют четырехугольник: четыре из шести пар точек образуют его стороны, а две — диагонали.

Бимедианы - отрезки, соединяющие середины противоположных сторон любой фигуры.

С ледовательно, все три указанных отрезка (две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей) пересекаются в одной точке — центре тяжести равных масс, расположенных в вершинах четырехугольника, и эта точка служит их общим центром.

Четырехугольник, образованный серединами сторон данного четырехугольника, имеет указанные бимедианы в качестве диагоналей.

Отсюда следует, что этот срединный четырехугольник является параллелограммом. Он называется параллелограмм Вариньона.

Теорема Менелая

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы.

Теорема 2. Теорема Менелая.

Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков.

Покажем на рисунке. Проще говоря,

Проведем CD;

∠△

ЧТД.

Теорема Чевы

Для начала уточним, что чевиана — отрезок в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 3. Теорема Чевы.

Любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника и пересекающиеся в одной точке делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что произведение отношений чевиан, лежащих на каждой стороне треугольника, равно 1.

Другими словами, истинно равенство:

Рассмотрим данный рисунок.

Выделим треугольники AOB и OBC. . .

. △. ∠ (вертикальные)

===1 ; 1=1.

ЧТД.

Применение теоремы Чевы и метода масс при решении задач.

«В треугольнике ABC проведены чевианы BM и AN так, что BN: NC = 1:2. Найти BO:OM и AO:ON, где О – точка пересечения чевиан.

Для решения задачи используем теорему Чевы и теорему 1 (правило рычага).

Решение.

Помещаем в вершину C массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку B должна быть помещена масса, равная пяти, т.к. BN : NC = 1:5.

Система материальных точек 2А, 5В, 1С с центром масс в точке О.

2А+1С=3М; 5В, 3М – система материальных точек с центром в т.О.

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5. 5В+1С=6N, 2А – система материальных точек с центром в т.О.

Ответ. ВО:ОМ=3:5, АО:ON = 6:2 = 3:1.

Глава 2. Практическая часть. Построение центров тяжести у геометрических фигур. 2.1. Центр тяжести треугольника

Для того чтобы найти центр тяжести треугольника, можно

Представить состоящим из попарно непересекающихся отрезков, параллельных одной из сторон.

Заменяя каждый из этих отрезков на точку с той же массой (можно считать, например, что масса отрезка равна его длине), сводим задачу к нахождению центра масс системы точек, лежащих на отрезке.

Проще говоря, центр масс треугольника расположен на одной из его медиан. Найти его сразу затруднительно, но это и не нужно — ведь такое же рассуждение показывает, что он лежит и на двух других медианах тоже, а значит, совпадает с их точкой пересечения).

Из школьной программы мы знаем, что центр тяжести – это точка пересечения медиан. Соответственно, нам нужно построить медианы, а затем отметить точку их пересечения, которая и будет центром тяжести треугольника (центроидом).

2.1.1. Нахождение центра тяжести n-угольника. Триангуляция

Для того, чтобы найти центр тяжести любого n-угольника, в том числе и невыпуклого, можно воспользоваться методом триангуляции.

Для этого n-угольник следует произвольным образом разрезать на треугольники, проводя диагонали в многоугольнике, не допуская их самопересечений в точках, отличных от его вершин, до тех пор, пока это возможно. Затем следует найти центры тяжести полученных треугольников и соединить их отрезками. Их пересечение и будет центром масс n-угольника.

2.1.2. Центр тяжести четырехугольника

Центр масс четырехугольника построен с использованием метода триангуляции. Для начала мы провели в нем диагональ BD, тем самым получив два треугольника. Их центры тяжести - и . Соединив их, мы получили пересечение с диагональю BD. Точка I – центр масс данного четырехугольника.

Центр тяжести параллелограмма – точка пересечения его диагоналей.

2.1.3. Центр тяжести трапеции

Для начала мы поставим точки и – центры оснований AD и BC. Соединим их.

В треугольниках ABC и ACD найдем центры тяжестей и . Соединим их. Пересечение с – точка M – и есть центр тяжести трапеции.

Заключение 3.1. Вывод.

Изучив и изложив теорию по теме «Центр тяжести» и освоив методы его построения, я познал новые для себя методы решения задач на экзаменах и олимпиадах. Кроме того, изучение этой темы помогло мне в моем дальнейшем образовании – например, в изучении физики. Пришел к выводу, что знания, полученные мною в ходе выполнения проекта, помогут мне в решении также и стандартных задач.

3.2. Перспективы развития проекта.

Теория по теме «Центры масс» поможет мне в решении задач по физике, а также при обучении в старшей школе. Мною перечислены наиболее общие сведения по теме, углубляясь в нее, можно узнавать для себя новое и дальше. В дальнейшем я могу поставить себе задачу поиска многих интересных задач, которые проще решаются с использованием знаний по данной теме.

Список использованной литературы

Гашков С. Б. Центры тяжести и геометрия. - М.: МЦНМО, 2015.

Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. = М.: Наука. Гл. Ред. физ. –мат. лит., 1987.

Штенгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981.

Метод масс в геометрии треугольника. Исследовательская работа. Лакеева С.Р. МАОУ гимназия № 216 «Дидакт».

Википедия – центр масс

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81

Википедия – центроид треугольника https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B4_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Метод масс при решении геометрических задач https://www.uchmet.ru/library/material/3108820/

Метод масс в геометрии https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/metod-mass-v-geometrii

Центр тяжести и методы его нахождения https://studfile.net/preview/6283175/page:11/

Теоремы Чевы и Менелая – доказательство, формулы, примеры