| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
 | Елена Вениаминовна Чурина14171 учитель математики Россия, Ивановская обл., Южа Материал размещён в группе «Математика - наука великая» |
Великие тайны теоремы Пифагора
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1 г. Южи
Ивановской области
Проект на тему:
«Великие тайны
теоремы Пифагора»
Работа ученика 9б класса
Смирнова Артёма
Руководитель: Чурина
Елена Вениаминовна,
учитель математики
г. Южа 2020
Оглавление
I теоретическая часть
Введение……………………………………………………………………….
актуальность
Цель работы и ее задачи…………………………………………………
1. Теорема
2. Теорема Пифагора
2.1 История
2.1.1 Слово о Пифагоре
2.1.2 Геометрическая теорема
2.2 Практическое применение
3.Доказательства теоремы Пифагора
3.1Через подобные треугольники 3.2Доказательство через равнодополняемость 3.3Доказательство методом Евклида 3.4Доказательство Леонардо да Винчи
4.Задачи
4.1 Базовые
4.2 Практико-ориентированные
II практическая часть
5. Сборник задач
5.1. Структурирование
7.Вывод
8.Источники
I теоретическая часть
Введение
Актуальность:
Теорема Пифагора – пожалуй, самая узнаваемая теорема из курса геометрии. И правда, не доставляет труда найти человека, который не только слышал о ней, но и помнит её даже после многих лет. Свою же популярность теорема заслужила благодаря своей значимости. К слову, дальнейшее изучение геометрии без знания Теоремы Пифагора просто напросто не возможно, ведь именно она служит крепким фундаментом всего дальнейшего курса геометрии, и тот факт, что на её основе доказываются другие теоремы, доказывает мои слова.
Все же знают, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов? Именно так выглядит школьная формулировка теоремы. Кроме того формулировка Пифагора была совсем иначе: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах»
Цель работы:
Изучить литературу по данной теме и создать сборник для подготовки к ОГЭ.
Гипотеза:
Теорема Пифагора – основа геометрии, требующая тщательного изучения.
Задачи работы:
Изучить литературу по данной теме.
Проанализировать полученную информацию.
Извлечь основные и наиболее важные моменты.
Создать сборник задач.
Этапы работы:
1.Разбор литературы.
2.Выборка нужной информации.
3. Получение информации, готовой к структурированию и подаче.
4.Создание сборника задач, для решения которых необходимо использование теоремы Пифагора.
1. Теорема
Теорема в математике – утверждение доказанное на основе других, ранее доказанных утверждений – теорем или аксиом. Доказательством же теоремы называют логический аргумент, который часто принимает вид обоснования истинности утверждения.
Математические теоремы в большинстве своём являются условными утверждениями, а их доказательства – заключения из условий (гипотез).
Чтобы утверждение претендовало на статус теоремы, оно должно иметь доказательство, состоящее из логической цепочки рассуждений, которая в свою очередь основывается на ранее доказанных утверждениях (теоремах) или аксиомах. К сведению, аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств, которое является фундаментальным или, простыми словами, само собой разумеющимся.
2. Теорема Пифагора
2.1. История
Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.
За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.
Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».
Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один:
«Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).
Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями…
Пифагор. Гравюра из старинной книги.
Мысль — превыше всего между людьми на земле.
Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).
В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).
Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.
Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».
А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».
Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла.
2.1.2История теоремы
Точно сказать о том, кто же впервые описал теорему невозможно, так как упоминание о сторонах прямоугольного треугольника можно встретить в рамках истории как Египта и Китая, так и Греции. В тоже время после смерти Пифагора прямых упоминаний его авторства не имеется, хотя Плутарх и Цицерон в своих сочинениях преподносят это авторство как очевидный и всем известный факт. К тому же мы имеем свидетельства Прокла об использовании Пифагором алгебраического метода доказательства пифагоровых троек.
2.2. Практическое применение
В большинстве своём теорема Пифагора имеет применение в проектировке зданий, технических устройств и т.д, но её можно встретить и в физике, а точнее астрономии при расчёте орбит, расстояний и скорости. С подобными задачами мы сейчас ознакомимся.
Строительство
Окно
В
зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В
романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.
По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.
Крыша
В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 мЕсли предположить, что FD=1,5 м, тогда:
А) Из треугольника DBC: DB=2,5м
Б) Из треугольника ABF:
Молниеотвод
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.
Ответ: h ≥ (a2+b2)½
Астрономия
Н
а этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид
c * t = l
Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!
Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:
v * t' = d
Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)
Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:
c * t' = s
Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.
Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.
Получаем уравнение:
s2 = l2 + d2
Мобильная связь
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.
3. Доказательства
3.1 Через подобные треугольники
Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C.Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. 
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
получаем
Что эквивалентно
Сложив, получаем
или
3.2. Доказательство через равнодополняемость
1
. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.
Что и требовалось доказать.
3.3 Доказательство методом Евклида
Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK,AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.
3.4. Доказательство Леонардо да Винчи
Главные элементы доказательства — симметрия и движение.
Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.
4. Задачи
С этого момента мы ознакомимся с задачами, требующими знание теоремы и её принципов. Благодаря своей распространённости и важности теорема применяется во многом числе задач, в том числе и в задачах ОГЭ.
Базовые:
Задачи, проверяющие базовый уровень применения теоремы для решения геометрических и встречающееся в 16 задании ОГЭ.
Практические задачи:
Задачи основанные на практическом применении теоремы Пифагора.
Нам известны катеты прямоугольного треугольника равные 4,4м и 3,3м.
По теореме Пифагора найдём длину троса, которая является гипотенузой треугольника 
Ответ:5,5м
Нам известны катеты прямоугольного треугольника, равные 3,5м и 1,2м.
По теореме Пифагора найдём длину лестницы, которая является гипотенузой треугольника 
Ответ:3,7м
Представим одну ступень в виде прямоугольного треугольника, тогда его катеты равны 22,5см и 30см. Переведём сантиметры в метры и получим 0,225м и 0,3м.
По теореме Пифагора найдём гипотенузу ступени 
Далее найдём длину всей лестницы 
Ответ:7,5м
Также встречаются практические задачи другого типа, которые могут быть в 4 задании ОГЭ. Зачастую они направлены на нахождение расстояния в виде гипотенузы, а значит пригодится наша теорема.
Выводы:
Теорема Пифагора, пожалуй, привлекает своей практичностью и удобностью, а её важность не уступает другим, хоть и более сложным. Данный симбиоз заслуживает внимания не только математика, но и ученика. По словам античных легенд, теорема словно дарование свыше человеку от человеческого образа бога – Пифагора. А если абстрагироваться от антинаучных легенд, то можно уверенно сказать: Теорема Пифагора – очень важное достижение человечества, хоть и не так осязаемо, как технологический прогресс, который, по-моему, не мог существовать без фундаментальных знаний математики в целом. Из этого следует очевидный вывод: Любой научный прогресс человечества состоит из совокупности маленьких открытий – частичек труда, которые сливаются воедино и обретают огромную мощь. Поэтому категорически нельзя называть какую-либо науку или её часть бессмысленной.
Так как теорема важна сама по себе, то я предпринял попытку повысить успеваемость учеников путём создания сборника задач для самостоятельного решения. Оказалась ли моя попытка успешной? На этот вопрос я отвечу нескоро. Мне остаётся надеется на то, что моя работа не пройдёт мимо и станет для кого-то полезной.
Источники:
Приложение 1
Сборник задач
Справочный материал
Теорема Пифагора
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а точнее
Нахождение неизвестного катета
Мы можем найти неизвестный катетпри условии, если известны другой катет и гипотенуза, а точнее 
или
Доказательство
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
получаем
Что эквивалентно
Сложив, получаем
или
Что и требовалось доказать.
Задачи
Примеры:
Нам известны катеты прямоугольного треугольника равные 4,4м и 3,3м.
По теореме Пифагора найдём длину троса, которая является гипотенузой треугольника
Ответ:5,5м
Нам известны катеты прямоугольного треугольника, равные 3,5м и 1,2м.
По теореме Пифагора найдём длину лестницы, которая является гипотенузой треугольника
Ответ:3,7м
Представим одну ступень в виде прямоугольного треугольника, тогда его катеты равны 22,5см и 30см. Переведём сантиметры в метры и получим 0,225м и 0,3м.
По теореме Пифагора найдём гипотенузу ступени
Далее найдём длину всей лестницы
Ответ:7,5м
Задачи для самостоятельного решения
1)
2)
3)
4)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
Ответы
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
Комментарии (4)
