Урок «Сопряжения»

Сопряжения

Под сопряжением понимают плавный переход одной линии в другую. Чаще всего сопряжения представляют собой сочетания прямых и дуг окружностей. Например, изображенная на рис. 1 линия состоит из нескольких элементов: прямая АВ плавно переходит в дугу окружности радиусом R1, затем в дугу окружности радиусом R2 и заканчивается прямой DE. Плавность перехода достигается за счет того, что последовательно расположенные линии касаются друг друга. Прямая АВ касается окружности с центром в точке О1 в точке В, окружность с центром в точке О1 касается окружность с центром О2 в точке С, а окружность с центром в точке О2 касается прямой DE в точке D.

Чаще всего радиусы сопряжений задаются, и решение задачи сводится к определению центров и точек сопряжения. В этом случае можно сформулировать общий план решения подобных задач.

Определить и провести на чертеже линию, предоставляющую собой множество точек плоскости, удаленную от одной заданной линии на расстояние, равное радиусу сопряжения.

Определить и провести на чертеже линию, представляющую собой множество точек плоскости, удаленную от другой заданной линии на расстояние, равное радиусу сопряжения.

Найти точку пересечения построенных линий, являющуюся центром сопряжения.

Построить точки сопряжения заданных линий с сопрягающей дугой окружности, т.е. точки касания заданной линии с окружностью.

 Провести сопрягающую дугу окружности в пределах найденных точек сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых линий

Пусть имеются прямые АВ (рис. 2) и CD, которые необходимо сопрячь окружностью радиусом Rс.

Точка О пересечения прямых, проходящих через точки F и H, удалена на расстояние Rс как от прямой АВ, так и от прямой CD. Таким образом, точка О – центр окружности, касательной к прямым АВ и CD (центр сопряжения). Для того чтобы определить точки касания сопрягающихся окружностей и заданных прямых, следует опустить на них перпендикуляры к точке О. Точки К1 и К2 пересечения этих перпендикуляров с прямыми АВ и CD являются точками касания окружности с центром в точке О с заданными прямыми (точками сопряжения). Располагая всеми параметрами сопряжения, можно провести дугу окружности радиусом Rс с центром в точке О от точки К1 до точки К2.

Если использовать полные множества точек, удаленных от прямых АВ и CD (рис. 3) на расстоянии Rс, и провести по две прямых, параллельных заданным, можно построить четыре центра сопряжений О1, О2, О3 и О4 и получить четыре варианта решения поставленной задачи.

Сопряжение прямой линии с окружностью

Если радиус Rс сопряжения прямой линии и окружности радиусом R задан, то при определении параметров сопряжений следует исходить из следующих положений:

Рис. 3

множество точек, удаленных от прямой на расстоянии Rс, есть две прямые, параллельные заданной прямой и отстоящие на расстоянии Rс от нее;

множество точек, удаленных от окружности на расстояние Rс, есть две концентрические окружности, радиусы которых ровны сумме или разности радиусов R и Rс;

точки пересечения множеств, указанных в пунктах «а» и «б», являются центрами сопряжений;

точки сопряжения в заданной прямой есть основание перпендикуляра, опущенного их центра сопряжения на прямую;

точка сопряжения с заданной окружностью расположена на прямой, соединяющей ее центр с центром сопряжения.

По положению центра заданной окружности и центра сопрягающей дуги относительно общей касательной различают внешнее и внутреннее сопряжения. Если центр окружности и центр сопряжения располагаются по разные стороны от касательной, то такое сопряжение считается внешним, а если центры располагаются по одну сторону от касательной, - внутренним.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть заданы окружность радиусом R1 (рис. 4) с центром в точке О и прямая АВ. Требуется выполнить внешнее сопряжение окружности и прямой дугой окружности радиусом Rс.

Выбрав на прямой АВ произвольную точку М, восстановим из нее перпендикуляр к прямой АВ и отложим на нем отрезок MN, ранее Rс. Через точку N проведем прямую, параллельную АВ (см. п. «а»).

Из точки О, как из центра, радиусом R2, равным сумме радиусов R1 и Rс, проведем дугу окружности (см. п. «б»).

Точка С пересечения прямой, проходящей через точку N, с дугой радиусом R2, является центром сопряжения (см. п. «в»).

Из точки С опустим перпендикуляр на прямую АВ. Основание К2 перпендикуляра и будет точкой сопряжения с прямой (см. п. «г»).

Соединим точки О и С прямой линией. Пересечение этой прямой с заданной окружностью определяет точку сопряжения К1 (см. п. «д»).

Завершая построение, следует из центра С радиусом Rс провести дугу окружности от точки К1 до точки К2.

Рис. 4. Рис. 5.

Пусть заданы окружность радиусом R1 (рис. 5) с центром в точке О и прямая АВ. Требуется выполнить внутреннее сопряжение окружности и прямой дугой окружности радиусом Rс.

Требуемые построения не отличаются существенно от рассмотренных в предыдущем примере и имеют лишь две особенности. Множество точек плоскости, удаленных от заданной окружности на расстояние Rс, представляет собой концентрическую окружность, радиус которой R2 равен разности радиусов R1 и Rс. Точка К1 сопряжения располагается на продолжении прямой, соединяющей центры заданной и сопрягающей окружностей.

Пусть заданы окружность радиусом R1 (рис. 6) с центром в точке О и пряма АВ. Требуется выполнить внутреннее сопряжение окружности и прямой дугой окружности радиусом Rс.

Особенностью данной задачи по сравнению с предыдущей является то, что радиус сопряжения Rс больше, чем радиус R1 заданной окружности. В этом случае радиус R2 тоже определяют как разность радиусов сопряжения и заданной окружности, однако уменьшаемое и вычитаемое должны быть выбраны такими, чтоб эта разность была положительной.

Рис. 5. Рис. 6.

Сопряжение двух заданных окружностей

При решение задач на сопряжение двух окружностей следует учитывать, что множество точек плоскости, удаленных от окружностей на равные расстояния, представляет собой концентрические окружности, радиусы которых равны сумме или разности радиусов заданной окружности и сопряжения. Точка пересечения этих окружностей является центром сопряжения. Точки сопряжения определяются как точки пересечения прямых, соединяющих центры заданных окружностей с центром сопряжения.

Пусть заданы окружности с центром в точках О1 и О2 (рис. 6), имеющие соответствующие радиусы R1 и R2. Требуется выполнить внутреннее сопряжение этих окружностей дугой окружности радиусом Rс.

Из центра О1 проведем дугу окружности радиусом R3, равным сумме радиусов R1 и Rс, а из центра О2 – дугу окружности радиусом R4, равным сумме радиусов R2 и Rс. Точка с пересечения этих дуг является центром сопряжения, а точки К1 и К2 пересечения прямых О1С и О2С с соответствующими окружностями – точками сопряжения. Определив основные параметры сопряжения, модно из центра С и точками К1 и К2 провести дугу окружности радиусом Rс.

Если необходимо выполнить внутренне сопряжение окружностей с радиусами R1 и R2 и центрами в точках О1 и О2 (рис. 7), то для определения центра их сопряжения С нужно провести дуги окружностей радиусами R3 и R4, равными разностями радиуса сопряжения Rс и соответственно радиусов R1 и R2 заданных окружностей. При этом точки К1 и К2 сопряжения будут находится на продолжении прямых, соединяющих центр С сопряжений с центрами окружностей О1 и О2.

Рис. 7. Рис. 8.

Если же радиус сопряжения Rс задан (рис. 8) и для одной из окружностей (с центром О1 и радиусом R1) следует выполнит внутреннее сопряжение, а для другой (с центром О2 и радиусом R2) – внешнее, то для определения центра сопряжения С нужно из точки О1 провести дугу окружности радиусом R3, равным сумме радиусов сопряжения Rс и окружности R1, а из точки О2 дугу окружности радиусом R4, равным разности радиуса сопряжения Rс и окружности R2. При этом точка сопряжения К1 будет находиться на пересечении прямой О1С с окружностью радиусом R1, а точка сопряжения К2 – на пересечении окружности с радиусом R2 с продолжением прямой О2С.