12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
Материал опубликовала
Дорофеева Лилия Ильинична408
Работаю учителем математики более 20 лет, работу свою люблю. Конечно, наша профессия очень тяжёлая, но так же и интересная.Профессия учителя названа самой благородной. И это на самом деле так.
Россия, Татарстан респ., Нижнекамск
Материал размещён в группе «Единый государственный экзамен (ЕГЭ)»

Авторская программа элективного курса

для учащихся 10 -11 классов

«Решение задач на смеси и сплавы

учителя математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «СОШ № 6» Дорофеевой Л.И.


 


 


 


 


 


 


 


 


 

Пояснительная записка

Умение решать текстовые задачи является высшим этапом в познании математики. С помощью текстовой задачи формируются важные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи обучающегося. В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить её условие на математический язык уравнений, неравенств, их систем, графических образов, т.е. составлять математическую модель. Решение задач способствует развитию логического и образного мышления, повышает эффективность обучения математики и смежным дисциплинам.

Среди различных текстовых задач, встречающихся в школе и предлагаемых на выпускных экзаменах за курс основной и средней школы, задачи на смеси, сплавы и растворы не пользуются популярностью, но в последнее время встречаются все чаще и чаще. Этот тип задач направлен на расширение, углубление и систематизацию знаний обучающихся по решению текстовых задач и позволяет реализовать межпредметные связи математики и химии.

За время обучения в школе решается огромное число задач. При этом решаются одни и те же задачи. И в итоге большая часть учеников овладевает общим умением решения задач, а встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

Программа курса «Решение задач на смеси, сплавы, концентрацию» адресована обучающимся 10 -11 классов, и рассчитана на 17 часов. Данный курс предназначен, в первую очередь, обучающимся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к государственной (итоговой) аттестации.
Разработка программы элективного курса обусловлена тем, что задачи с использованием таких понятий как концентрация, процентное содержание вещества в смеси, растворе, сплаве в школьном курсе математики практически отсутствуют. В школьном курсе математики рассматриваются простейшие задачи по данной теме, задачам же на сложные проценты, на смеси и сплавы не уделяется должного внимания. В предлагаемых заданиях на экзаменах в 9 и 11 классах присутствует целый блок задач данной тематики. Особенностью данного курса является его межпредметная связь с химией, так как большая часть задач, которые рассматриваются в данном курсе, напрямую связаны с химическими процессами.

Цель курса:

освоение и систематизация знаний, относящихся к понятию процента и его широкому практическому применению;

овладению умениями решать текстовые задачи, в частности задачи на проценты различных видов, уделяя особое внимание задачам на смеси и сплавы;

развитие логического мышления, возможностей использовать различные способы решения одной и той же задачи;

воспитание чувства ответственности за результаты своего труда; формирование установки на позитивную социальную деятельность в современном обществе; приобретение опыта работы с текстом, построения математических моделей, коллективной работы в поиске различных способов решения одной и той же задачи, применение математических методов для решения задач, относящихся к банковской сфере.

.
Задачи курса:

-познакомить учащихся с основными методами, идеями и способами решения текстовых задач на «концентрацию», «процентный раствор»;

- систематизировать и углубить знания учащихся при решении задач на «смеси», «растворы», «сплавы»;

-сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач;

-научить применять математические знания в решении повседневных жизненных задач бытового характера;

- восполнить теоретическую базу по данной теме в связи с отсутствием компактного и чёткого её изложения в школьных учебниках.

-укреплять межпредметные связи;

-развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

-развивать интерес школьников к изучаемому предмету через проведение занятий элективного курса;

-помочь учащимся осознать степень интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (выбор профиля обучения).

Актуализация темы:

-анализ результатов ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу составляет около 30%.

-в школьной программе почти не рассматриваются задачи на смеси, сплавы и растворы, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

Планируемые результаты.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны:
Знать:

-что такое концентрация, процентное содержание вещества в смеси, сплаве, растворе;

-формулы для расчета концентрации смесей, сплавов, т. е. массовой доли и объемной доли газообразного вещества в газовой смеси;

-алгоритмы составления условия и решения задач.

Уметь:

-применить общий подход к решению различных задач на «смеси», «сплавы»;

-работать с законом сохранения масс для составления уравнений к решению задач;

-применить знания для решения повседневных жизненных задач.

В ходе изучения курса обучающиеся повторяют:

-алгоритмы решения линейных уравнений;

-способы решения систем уравнений;

-виды текстовых задач и способы их решения.

И дополнительно закрепляют умения:

-решать линейные уравнения, а также системы уравнений различными методами: подстановкой, сложением, введением новой переменной;

-определять тип текстовой задачи;

-составлять и решать математическую модель реальной ситуации;

-работать с математической моделью, в которой содержится несколько переменных, а также с моделью (системой), в которой число переменных превосходит число уравнений;

-применять полученные математические знания решения задач в повседневной жизни;

-использовать дополнительную литературу.

Выявление эффективности данной программы реализовано на основе использования различных форм контроля: фронтальный опрос, самостоятельные работы, творческие и контрольные работы. Все формы контроля представлены в тематическом планировании

Курс по теме «Задачи на смеси, сплавы и концентрация» предполагает отработать целый блок текстовых задач, предлагаемых в рамках итоговой аттестации учащихся 9-х классов и в будущем сдачи ЕГЭ в 11-м классе и развитие умения учащихся самостоятельно решать текстовые задачи на смеси, сплавы и концентрацию.

Описание разделов

«Решение задач на проценты»

Назначение данного раздела – отработать навыки решения задач на проценты

Обучающиеся должны знать/понимать:

понятие процента;

нахождение части от числа;

формулы сложных процентов;

различать виды задач на проценты;

способы решения задач на проценты В1 открытого сегмента ЕГЭ.

Обучающиеся должны уметь:

решать задачи на проценты различных видов;

уметь применять формулы сложных процентов;

самостоятельно составлять и решать задачи на процентное содержание.

«Решение задач на смеси и сплавы»

Материал данного раздела знакомит обучающихся со способами решения задач на смеси и сплавы, выбором оптимального способа решения

Обучающиеся должны знать/понимать:

иметь представление о задачах на смеси и сплавы;

иметь представление о разнообразии способов решения таких задач;

понимать преимущество одного способа над другим.

Обучающиеся должны уметь:

выбрать оптимальный подход к решению;

решать задачи на смеси и сплавы универсальным табличным способом

3. «Обобщение и систематизация знаний»

Данный раздел программы курса вводит обучающихся в технологию решения текстовых задач на проценты из открытого сегмента ЕГЭ.

Обучающиеся должны знать/понимать:

общие принципы решения текстовых задач на проценты;

основные области применения полученных навыков.

Обучающиеся должны уметь:

решать всё многообразие текстовых задач на проценты;

уметь самостоятельно находить в различных источниках задачи на проценты, составлять похожие задачи и решать их.

Программа курса (17часов).

Решение задач на проценты (6 часов)

Понятие процента. Нахождение части числа. Формулы сложных процентов. Решение задач на процентное содержание, наценка (уценка) продукции, начисление процентов на банковские вклады и т.д.

Решение задач на смеси и сплавы (6ч.)

Задачи на смеси и сплавы и пять способов решения таких задач. Использование табличного способа решения задач на смеси и сплавы как универсального подхода к оформлению и решению данного типа задач различной сложности.

Обобщение и систематизация знаний (5 ч.)

Уметь применять полученные знания в решении текстовых задач на проценты из открытого сегмента ЕГЭ, уметь самостоятельно находить текстовые задачи на проценты в различных источниках и информационных ресурсах, а так же самим уметь составлять тексты задач практической направленности.

Практические работы:

Творческие работы на составление задач на проценты .

Самостоятельная работа по теме «Решение задач на сложные проценты»

Самостоятельная работа по теме «Задачи на смеси и сплавы»

Итоговая контрольная работа

Тематический план элективного курса

Название

раздела

урока

Название темы

Решение задач на сложные проценты

1

Повторение понятия процента

Решение задач на процентное содержание

2

Повторение понятия процента

Решение задач на процентное содержание.

3

Формула сложных процентов. Решение задач на сложные проценты

4

Формула сложных процентов. Решение задач на сложные проценты

5

Творческая работа. Составление текстовых задач на сложные проценты

6

Самостоятельная работа по теме «Решение задач на сложные проценты».

Решение задач на смеси и сплавы

7

Решение одной задачи на смеси и сплавы четырьмя разными способами

8

Решение задач на смеси и сплавы разными способами. Выбор оптимального способа решения.

9

Решение задач на понижение концентрации

10

Решение задач на «высушивание»

11

Решение задач на повышение концентрации

12

Самостоятельная работа по теме «Решение задач на смеси и сплавы»

Обобщение и систематизация знаний

13

Решение задач на проценты В11 открытого сегмента ЕГЭ

14

Решение задач на проценты В11 открытого сегмента ЕГЭ

15

Решение задач на проценты В11 открытого сегмента ЕГЭ

16-17

Итоговая контрольная работа

Занятие 1 (1-2 урок)

Повторение определения процента. Решение задач на применение данного определения из материалов КИМ ов ЕГЭ.

Опрос по теме «Проценты». Нахождение части от числа. Решение задач В1 из открытого сегмента ЕГЭ:

1. Же­лез­но­до­рож­ный билет для взрос­ло­го стоит 720 руб­лей. Сто­и­мость би­ле­та для школь­ни­ка со­став­ля­ет 50% от сто­и­мо­сти би­ле­та для взрос­ло­го. Груп­па со­сто­ит из 15 школь­ни­ков и 2 взрос­лых. Сколь­ко руб­лей стоят би­ле­ты на всю груп­пу?

2. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 16% и со­ста­ви­ла 3480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

3. Фут­бол­ка сто­и­ла 800 руб­лей. После сни­же­ния цены она стала сто­ить 680 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов была сни­же­на цена на фут­бол­ку?

4. В го­ро­де N живет 200 000 жи­те­лей. Среди них 15% детей и под­рост­ков. Среди взрос­лых жи­те­лей 45% не ра­бо­та­ет (пен­си­о­не­ры, сту­ден­ты, до­мо­хо­зяй­ки и т. п.). Сколь­ко взрос­лых жи­те­лей ра­бо­та­ет?

5. Кли­ент взял в банке кре­дит 12 000 руб­лей на год под 16%. Он дол­жен по­га­шать кре­дит, внося в банк еже­ме­сяч­но оди­на­ко­вую сумму денег, с тем чтобы через год вы­пла­тить всю сумму, взя­тую в кре­дит, вме­сте с про­цен­та­ми. Сколь­ко руб­лей он дол­жен вно­сить в банк еже­ме­сяч­но?

6. Налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% от за­ра­бот­ной платы. За­ра­бот­ная плата Ивана Кузь­ми­ча равна 12 500 руб­лей. Сколь­ко руб­лей он по­лу­чит после вы­че­та на­ло­га на до­хо­ды?

7. Налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% от за­ра­бот­ной платы. После удер­жа­ния на­ло­га на до­хо­ды Мария Кон­стан­ти­нов­на по­лу­чи­ла 9570 руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­став­ля­ет за­ра­бот­ная плата Марии Кон­стан­ти­нов­ны?

8. В школе фран­цуз­ский язык изу­ча­ют 124 уча­щих­ся, что со­став­ля­ет 25% от числа всех уча­щих­ся школы. Сколь­ко уча­щих­ся в школе?

9. Сту­ден­та­ми тех­ни­че­ских вузов со­би­ра­ют­ся стать 27 вы­пуск­ни­ков школы. Они со­став­ля­ют 30% от числа вы­пуск­ни­ков. Сколь­ко в школе вы­пуск­ни­ков?

10. Пачка сли­воч­но­го масла стоит 60 руб­лей. Пен­си­о­не­рам ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 5%. Сколь­ко руб­лей стоит пачка масла для пен­си­о­не­ра?

11. Тет­радь стоит 24 рубля. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит по­ку­па­тель за 60 тет­ра­дей, если при по­куп­ке боль­ше 50 тет­ра­дей ма­га­зин де­ла­ет скид­ку 10% от сто­и­мо­сти всей по­куп­ки?

12. Дер­жа­те­ли дис­конт­ной карты книж­но­го ма­га­зи­на по­лу­ча­ют при по­куп­ке скид­ку 5%. Книга стоит 200 руб­лей. Сколь­ко руб­лей за­пла­тит дер­жа­тель дис­конт­ной карты за эту книгу?

13. Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 20 мг и со­дер­жит 5% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,4 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 5 кг в те­че­ние суток?

14. В го­ро­де N живет 200 000 жи­те­лей, 15% из ко­то­рых ― дети и под­рост­ки. Среди взрос­лых жи­те­лей 45% не ра­бо­та­ет (пен­си­о­не­ры, сту­ден­ты, до­мо­хо­зяй­ки и т. п.). Сколь­ко взрос­лых жи­те­лей ра­бо­та­ет?

15. Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 70 мг и со­дер­жит 4% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,05 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте пяти ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

16. Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 20 мг и со­дер­жит 5% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 7 кг в те­че­ние суток?

Занятие 2 (3-4 уроки)

Решение задач с помощью формулы сложных процентов

В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

Проценты, начисленные на величины, полученные в результате начисления процентов, называются сложными.

Пусть некоторая переменная величина А в начальный момент имеет значение А0,когда она увеличилась на р%, то стала равна А1. Найдём это значение.

А0 - 100%, А0 : А1 = 100: (100 + р)

А1 - (100 + р)%

А1 = А0 (1+р/100)

Если же величина несколько раз изменилась на одно и тоже число %, то её значение вычисляется через n изменений по формуле “сложных процентов”6

Аn = А0 (1+р/100)n

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

An=A0 (1+p1/100)(1+p2/100)…(1+pn/100)

Примеры задач, решаемых по этой формуле:

1)Зарплату рабочему повысить сначала на 10% , а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата рабочего по сравнению с первоначальной?

Решение.

Т.к. здесь проценты находятся от величины , полученной от начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов:

Пусть A0=1, то

A2=1*(1+0,1)(1+0,2)=1,32

X=32%

Ответ : на 32%

2) Цену на товар снизили на 10%, а через месяц повысили на 10%.

Дороже или дешевле стал товар по сравнению с начальной ценой?

Решение:

Пусть х - цена начальная , то, применяя формулу сложных %,имеем:

А2=Х(1-0,1)(1+0,1)=0,9*1,1Х=0,99Х

0,99/х*100%=99%, т.е. дешевле на 1%.

3) Саша за весну похудел на 20%, за лето поправился на 30%, за осень похудел на 20%, за зиму поправился на 10%. Как изменился его вес?

Решение:

Если задачу решать обычным путем – с помощью уравнения, то решение будет очень длинным. Применяем формулу сложных %:

Пусть А 0=1, то

А4=1(1-0,2)(1+0,3)(1-0,2)(1+0,1)

А4=0,9152 =91,52%

Ответ: похудел на 8,48%.

4)Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5%, по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

Решение:

По формуле сложных процентов получаем уравнение :

(100-X)/100=1*(1-0,12)(1-0,05)

100-X=0,088*0,95*100

100-X=83,6

X=16,4

Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6%

5) В сберкассу решили положить в начале года а рублей под 3% годовых. Сколько рублей будет положено через N лет?

An=a*(1+0,03)N

6) Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 4 раза. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

Решение:

Пусть X-искомое число процентов, тогда

(1+(x/100))4=4

из уравнения x=41%

7). В автоинспекции города подсчитали, что число легковых автомобилей

увеличилось за последние годы на 15% ежегодно. Во сколько раз

увеличилось число автомобилей за 5 лет.

Решение

А 5 = 1*(1+0,15)5

А5 = 1,155

Т.е. примерно в два раза.

Ответ: в 2 раза.

Занятие 3 (5-6 уроки)

Умение составлять и решать задачи на сложные проценты.

Ученик, ознакомившись с задачей или решив ее, должен самостоятельно составить другие задачи:

а) Аналогичную данной с измененными числовыми данными;

б) Задача другого предметного содержания, и с другими числовыми показателями;

в) Задача другого предметного содержания, представленная в общем виде.

Проверяется, сможет ли ученик произвести самостоятельное обобщение ряда объектов в результате анализа лишь одного объекта данного рода.

Самостоятельная работа.

Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет?

Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?

Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. выросло до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40% ?

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Занятие 4 (7-8 уроки)

Решение задач на смеси и сплавы.

Решение одной задачи несколькими способами

Задачи на смеси и сплавы имеют практическую направленность. Прежде чем объяснять методы решения этих задач, сначала, необходимо побеседовать с детьми. Например, мы пьем чай и кладем в чашку столько сахару, чтобы не пересластить, а если пересластили, то добавляем воды. Летом мы ходим за грибами, затем их сушим. И мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, при этом масса вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази, микстуры с определенной концентрацией лекарственных веществ.

Решая задачи данного типа, нам нужно будет выделить компоненты, которые изменяются, и те, что остаются неизменными. Измерять количество компонентов смеси будем в единицах массы, а не объема, так как изменения массы происходит линейно, а изменения объема – по более сложной зависимости.

Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная).Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

Долей ( а ) основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества (m) в смеси к общей массе смеси (М): а = (* 100%).

Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах.

Задача 1. Сколько нужно взять 10 %-го и 30% го растворов марганцовки , чтобы получить 200 г 16%-го раствора марганцовки?

1 способ (с помощью уравнения):

Пусть масса первого раствора –х г.Заполним таблицу по условию задачи:

 

а

М(г)

m(г)

1 раствор

10%, или 0,1

х

0,1х

2 раствор

30%,или 0,3

200-х

0,3(200-х)

3 раствор

16%, или 0,16

200

0,16*200

 

Составим и решим уравнение:

0,1х+0,3(200-х)=0,16*200

0,2х=28,

х=140

Ответ: 140 г 10%-го, и 60г 30%-го.

2 способ ( с помощью системы уравнения):

Пусть масса первого раствора-х г, а масса второго раствора-у г.Заполним таблицу по условию задачи:

 

а

М(г)

m(г)

1 раствор

10%, или 0,1

х

0,1х

2 раствор

30%,или 0,3

у

0,3у

3 раствор

16%, или 0,16

200

0,16*200


 

Составим и решим систему уравнений:

х+у=200, х=200-у х=140

0,1х+0,3у=32; 0,1(200-у)+0,3у=32; у=60

Ответ: 140 г 10%-го, и 60г 30%-го

3 способ (метод « креста»):

10 30-16=14


 

16

30

16-10=6


 

В левой колонке схемы записаны процентные содержания марганцовки в имеющихся растворах. Посередине –процентное содержание марганцовки в полученной смеси. В правой- разности процентных содержаний имеющихся растворов и полученной смеси ( вычитаем из большего меньшее и записываем на ту диагональ, где находятся уменьшаемое и вычитаемое).

Исходя из схемы делаем вывод: в 200 г смеси содержится 14 частей 10% -го раствора и 6 частей 30%-го раствора. Найдем их массы:

200:(14+6)*14=140 г

200:(14+6)*6=60 г

Ответ: 140 г 10%-го, и 60г 30%-го


 

4 способ («метод стаканчиков»)


 


 

 

Х г


 

10%

(200-х)г


 

30%

200 г


 

16%

+ =

 


 


 


 

Составим и решим уравнение:

0,1х+0,3(200-х)=0,16*200

0,2х=28,

х=140

Ответ: 140 г 10%-го, и 60г 30%-го.

Задачи для самостоятельного решения:

Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г 70% -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?

Смешали 8 кг 18% раствора вещества с 12 кг 8% этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора

Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов 30 % -ного раствора было взято?

Первый сплав содержит 5% меди, а второй 12% меди. Масса второго сплава на 6 кг больше первого. Из этих двух сплавов получили третий , который содержит 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.

В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в растворе?

Занятие 5-6 ( 9-12 уроки)

Решение задач на смеси и сплавы

Задачи на понижение концентрации

Сироп содержит 18% сахара .Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%?

Решение .Пусть надо добавить х кг воды. Заполним таблицу по условию задачи

 

а

М(г)

m(г)

Было

18%, или 0,18

40

0,18*40

Стало

15%,или 0,15

40+х

0,15(40+х)

Так как масса сахара не изменилась , то составим и решим уравнение:

0,15(40+х)=7,2

0,15х=1,2

Х=8

Ответ: 8 кг.

2.Сколько г 35%-го раствора марганцовки надо добавит к 325 г воды , чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

3.Сколько кг воды нужно добавить к 60 кг 16% -ной соляной кислоты, чтобы получить 10 % -ный раствор этой кислоты? (36 кг)

4. В 5 %-ный раствор соли добавили 55 г соли и получили 10%-ный раствор.Сколько г 5% - го раствора было?

5.Имеется сплав меди с оловом массой 12 кг , содержащей 45 % меди. Сколько чистого олова надо добавить , чтобы получить сплав , в котором содержится 40 % меди? (1, 5 кг)


 

Задачи на «высушивание»

При решении этих задач надо объяснить учащимся , что все тела , вещества содержат в себе воду, которая частично испаряется. Поэтому при решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.

Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12 % воды. Каков % воды в свежих грибах? (90%)

Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушеные 10%. Сколько надо взять свежих яблок , чтобы получить 6 кг сушеных?(27кг)

Если из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги, содержащей 42 % воды, то сколько % воды содержат свежие абрикосы? (53, 6%)

В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%.Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30 кг сушеных?

(90 кг)

5.Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?

6.Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды. А полученный из него мед -20%.Сколько кг нектара приходится перерабатывать пчелам для получения одного кг меда? (5 кг)

Задачи на смешивание растворов разных концентраций

При смешивании 5 %-го и 40%-го растворов кислоты получили 140 г 30% -го раствора кислоты. Сколько г каждого раствора было взято?

Решение: Пусть взяли х г 5 % -го раствора кислоты. Заполним таблицу по условию задачи:

 

а

М(г)

m(г)

5%

0,05

х

0,05х

40%

0,4

140-х

0,4(140-х)

смесь

0,3

140

0,3*140


 

Составим и решим уравнение :

0,05х+0,4(140-х)=0,3*140

0,35х=14

х=40

Ответ: 40 г 5 %-го и 100 г 40%-го

Смешали 30% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600 г 15 % раствора. Сколько г каждого раствора было взято?

Решение : Пусть взяли х г 30 % -го раствора, у г-10% -го раствора. Заполним таблицу по условию задачи:

 

а

М(г)

m(г)

30%

0,3

х

03х

10%

0,1

у

0,1у

смесь

0,15

600

0,15*600

Составим и решим систему уравнений:

х+у=600 х=150

0,3х+0,1у=0,15*600 у=450

Ответ: 150 г 30%-го и 450 г 10 %-го

Задачи на повышение концентрации

Сплав массой 36 кг содержит 45 % меди. Сколько меди нужно добавить , чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Решение: 36*0,45=16,2 кг меди содержится в сплаве.

Пусть масса меди , которую надо добавить в сплав , равна х кг, тогда (36+х) кг –масса сплава после добавления мели , а масса меди в новом сплаве (16,2+х) кг. Зная, что медь в новом сплаве составила 60%, составим и решим уравнение :

16,2+х=(36+х)*0,6

0,4х=5,4

Х=13,5

Ответ: 13,5 кг.

Слили два раствора серной кислоты и получили смесь массой 19 кг. Определите массу каждого раствора, вошедшего в смесь, если в первом растворе содержалось 800 г серной кислоты , а во втором -600 г , концентрация первого раствора на 10 % больше , чем концентрация второго раствора.

Решение: заполним таблицу по условию задачи:


 


 

 

а

М(кг)

m(кг)

1 раствор

*100%

х

0,8

2 раствор

*100%

у

0,6

смесь

 

10

1,4


 

Составим и решим систему уравнений:

х+у=10 .

-=10

Ответ: 4 кг и 6 кг


 

3.Имеется два сплава меди .Содержание меди в первом сплаве на 40% меньше , чем во втором. Из них получили сплав, содержащий 36 % меди. Определите содержание меди в исходных сплавах, если известно, что в первом было 6 кг меди, а во втором- 12 кг.

Решение: Заполним таблицу по условию задачи:


 

 

а

М(кг)

m(кг)

1 сплав

х %, или 0,01х

6

2 сплав

(х+40)%, или 0,01(х+40)

12

смесь

36%, или 0,36

18

Составим и решим уравнение:

=+
х1 = 20, х2 = -24 ( не удовлетворяет условию задачи)

Значит, в первом сплаве было 20% меди, а во втором -60%

Ответ:20%, 60%

4.В сплаве олова и меди содержалось 11 кг меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, концентрация олова повысилось на 33 %.Какова первоначальная масса сплава?

Решение: Пусть первоначальная масса сплава х кг , в нем содержалось 11 кг меди и (х-11) кг олова. Заполним таблицу по условию задачи:

 

а

М(кг)

m(кг)

Было

*100

х

х-11

Стало

*100

х+7,5

х-11+7,5=х-3,5

Составим и решим уравнение:

- = 33

: 12,5 кг

5.Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60 % цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса исходного сплава?

Решение: Пусть в сплаве было х г цинка и (х+640) г меди. Зная, что в сплаве осталась 1/7 часть содержащейся в нем меди и 40% , или 2/5 части цинка, составим и решим уравнение:

1/7(х+640) + 2/5 х=200

х=200

Значит, цинка было 200г, а меди (200+640)=840 г, и масса сплава 200+840=1040 г

Ответ: 1 кг 40г


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 

Занятие 7-8 (13-16 уроки) Обобщение и систематизация знаний

Решение задач В11 из открытого сегмента ЕГЭ

1. В 2008 году в го­род­ском квар­та­ле про­жи­ва­ло  че­ло­век. В 2009 году, в ре­зуль­та­те стро­и­тель­ства новых домов, число жи­те­лей вы­рос­ло на , а в 2010 году на  по срав­не­нию с 2009 годом. Сколь­ко че­ло­век стало про­жи­вать в квар­та­ле в 2010 году?

2. В по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на не­ко­то­рое ко­ли­че­ство про­цен­тов, а во втор­ник по­де­ше­ве­ли на то же самое ко­ли­че­ство про­цен­тов. В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на  де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник. На сколь­ко про­цен­тов по­до­ро­жа­ли акции ком­па­нии в по­не­дель­ник?

3. Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

Решение: куртка -100%

4 рубашки-92%

1 рубашка- 23%

5 рубашек- 115%

115-100=15%

Ответ: 15 %

4. Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

5. Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 000 руб­лей, через два года был про­дан за 15 842 руб­лей.

6. Митя, Антон, Гоша и Борис учре­ди­ли ком­па­нию с устав­ным ка­пи­та­лом 200000 руб­лей. Митя внес 14% устав­но­го ка­пи­та­ла, Антон — 42000 руб­лей, Гоша — 0,12 устав­но­го ка­пи­та­ла, а остав­шу­ю­ся часть ка­пи­та­ла внес Борис. Учре­ди­те­ли до­го­во­ри­лись де­лить еже­год­ную при­быль про­пор­ци­о­наль­но вне­сен­но­му в устав­ной ка­пи­тал вкла­ду. Какая сумма от при­бы­ли 1000000 руб­лей при­чи­та­ет­ся Бо­ри­су? Ответ дайте в руб­лях.

7. В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

8. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

9. Сме­ша­ли 4 литра 15–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 6 лит­ра­ми 25–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

10. Изюм по­лу­ча­ет­ся в про­цес­се сушки ви­но­гра­да. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да по­тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма, если ви­но­град со­дер­жит 90% воды, а изюм со­дер­жит 5% воды?

11. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой — 30% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва была мень­ше массы вто­ро­го?

12. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой — 40% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 30% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

13. Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

14. Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой – 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

15. Кли­ент А. сде­лал вклад в банке в раз­ме­ре 7700 руб­лей. Про­цен­ты по вкла­ду на­чис­ля­ют­ся раз в год и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. Ровно через год на тех же усло­ви­ях такой же вклад в том же банке сде­лал кли­ент Б. Еще ровно через год кли­ен­ты А. и Б. за­кры­ли вкла­ды и за­бра­ли все на­ко­пив­ши­е­ся день­ги. При этом кли­ент А. по­лу­чил на 847 руб­лей боль­ше кли­ен­та Б. Какой про­цент го­до­вых на­чис­лял банк по этим вкла­дам?

Занятие 9 (17 урок)

Итоговая контрольная работа

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12.5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?

Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Какое количество воды нужно добавить в 1 литр 9% - ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?

К 40% раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальный вес раствора.

Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 20%. После начисления процентов. Некоторую сумму он изъял. А остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 2% больше исходной суммы вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

Приобретя пакет акций, банк рассчитывал получить после их продажи некоторый процент прибыли. Однако так как при установленной банком цене покупателей не нашлось, банк снизил цену на 10%, и поэтому прибыль, полученная банком, составила 17% . какой процент прибыли рассчитывал получить банк?

Литература:

1.Городнова О.А. Статья «Учимся решать задачи на«смеси и сплавы»,

газета «Математика»№36 за 2004 г.

2.Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы. - М. :Чистые пруды, 2010-(Библиотечка «Первого сентября». Серия «Математика». Вып.31)

3.https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=88

Опубликовано в группе «Единый государственный экзамен (ЕГЭ)»


Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.