Рабочая программа элективного курса «Решение нестандартных задач по математике»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Любовшанская средняя общеобразовательная школа

 

Рассмотрен на     Согласован            Принят            Рекомендован                Утверждаю

заседании МО      с зам.директора     на заседании  к утверждению             Директор ОУ

и рекомендован   по УВР                   педсовета       Члены экспертной        _____________

к утверждению    ____________       Протокол №_   группы:                     Подвойская В.А.

Протокол №___                                от «__»___2017 г __________           Приказ №___

от «___»____2017 г                                                       __________

 

Элективный курс

для 9 класса

на 2017-2018 учебный год

 

«Решение нестандартных задач

по математике»

 

Составитель: Бычкова Светлана Петровна

учитель первой квалификационной категории

2017 г.

 

Пояснительная записка

Элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся 9 класса посвящен следующим важным темам: «Уравнения, неравенства, системы с параметром», «Уравнения и неравенства с модулем» и рассчитан на 17 часов.

Значительная часть данного курса включает вопрос о решении уравнений и неравенств с параметрами. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как они мало представлены в школьном курсе математики. Для их решения не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач. Задача с параметром предполагает не только умение производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. Для успешного решения таких задач необходимо рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть), что приучает к внимательности и аккуратности. Даже при записи ответа нужно быть предельно сосредоточенным, чтобы не упустить ни одной из частей его, полученных в ходе решения. Подчас задачи с параметрами требуют довольно тонких логических рассуждений. Данный курс позволит сформировать у учащихся отчетливое представление о параметрических задачах и основных принципах их решения.

В нем также большое внимание уделено различным методам решения уравнений и неравенств с модулем, основанным на его определении, свойствах и графической интерпретации. Тема «Абсолютная величина» является одной из самых трудных тем школьной математики. «Приоткрыть завесу» тайны, увлечь учащихся эффективными методами решения задач по данной теме – вот одна из основных целей данного курса.

Предлагаемый курс является развитием программных знаний.

Его цель:

-помочь учащимся осознать степень своего интереса к предмету;

-помочь учащимся оценить свои способности к математике на повышенном уровне и сделать осознанный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики;

-повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике;

-развить интуицию и логическое мышление учащихся.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения ставятся следующие задачи:

-приобщить учащихся к работе с математической литературой;

-формировать навык решения линейных, дробно-линейных, квадратных уравнений и неравенств с параметрами;

-формировать навык решения уравнений и неравенств с модулем различными методами.

 

Содержание тем элективного курса

Тема 1. Линейные уравнения с параметрами

Цель:

-познакомить с понятиями параметра, параметрического уравнения, решения уравнения, содержащего параметр, линейного уравнения с параметром;

-формировать навык решения линейного уравнения с параметром.

Тема 2. Системы линейных уравнений с параметрами

Цель:

- познакомить с понятием системы линейных уравнений с параметрами и методами их решения;

- формировать навык решения систем линейных уравнений с параметром.

Тема 3. Линейные неравенства с параметрами

Цель:

- познакомить с понятием линейного неравенства с параметром, решения линейного неравенства с параметром;

-формировать навык решения линейного неравенства с параметром.

Тема 4. Дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами

Цель:

-познакомить с понятием дробно-линейного уравнения (неравенства) с параметрами, методом решения дробно-линейного уравнения (неравенства) с параметрами;

- формировать навык решения дробно-линейного уравнения (неравенства) с параметрами.

Тема 5. Уравнения второй степени с параметром

Цель:

-познакомить с понятием уравнения второй степени с параметром, с примерами применения теоремы Виета при решении данных уравнений, с примерами определения знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра, с теоремой о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка;

-формировать навык решения уравнений второй степени с параметром, определения знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра, применения теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка;

Тема 6. Уравнения с переменной под знаком модуля

Цель:

-рассмотреть более сложные примеры уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (по сравнению с примерами, содержащимися в учебнике А.Г.Мордковича «Алгебра. 8 класс. Часть 1.-М.: Мнемозина, 2015»), например, уравнения вида │f(х)+g(х)│=│f(х)│+│g(х)│ и │f(х)+g(х)│=f(х)+g(х);

-познакомить с различными методами решения уравнений с переменной под знаком модуля (метод замены переменных, метод разбиения на промежутки, с использованием свойств модуля и др.);

-формировать навык решения уравнений с переменной под знаком модуля.

Тема 7. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Цель:

-рассмотреть примеры неравенств, содержащих переменную под знаком модуля вида: │f(х)│ g(х), │f(х)+g(х)│>│f(х)│+│g(х)│, │f(х)+g(х)│≥│f(х)│+│g(х)│, │f(х)+g(х)│<│f(х)│+│g(х)│, │f(х)+g(х)│≤│f(х)│+│g(х)│;(х),>

-познакомить с различными методами решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля (методом интервалов, посредством равносильных переходов, применяя свойства модуля, с помощью координатной прямой);

-формировать навык решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля различными методами.

 

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

 

-решать линейные уравнения с параметром и их системы;

-решать линейные неравенства с параметром;

-решать дробно-линейные уравнения и неравенства с параметром;

-решать квадратные уравнения с параметром;

-определять знаки корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра;

-находить значение параметра, от которого зависит расположение корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка;

-решать различными методами (используя определение модуля, свойства модуля, методом замены переменной и др.) уравнения с модулем (линейные, квадратные, рациональные);

-решать различными методами неравенства с модулем.

 

Учебно-тематический план
 

 

Календарно-тематическое планирование

 

Литература:

Голубев В.И. «Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина» (библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып.3 2006г.)

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. «Задачи с параметрами», 2002г.

Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. «Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике: общие положения, структура портфолио, программы курсов, сценарии занятий», 2006г.

Дорофеев Г.В. и др. «Курс по выбору для 9кл. «Избранные вопросы математики» //журнал «Математика в школе» №10 2003г. с.2.

Смоляков А. «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля» //газета «Математика» №18, 2005.

6. Л. Солуковцева «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами» (библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып.1 2007г.)

7. Сычева Г.В. «Алгебра. Нестандартные задачи: экспресс-репетитор для подготовки к ГИА: 9 класс», 2010г.

 

Материал для занятий

Занятие 1-2

Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами. Уравнение или неравенство называется параметрическим.

Примеры параметрических уравнений и неравенств: ах=3, 2х-5р=8, (2а+3)х2-ах+1=0, ≤0, │х-1│+│х-а│<3.

Здесь х- неизвестное, а и р- параметры.

Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр,- это значит для каждого значения параметра найти множество всех корней (решений) данного уравнения (неравенства).

Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения с параметрами- это уравнения, которые после преобразований приводятся к линейным уравнениям вида ах=в, где а и в – параметры. При решении таких уравнений необходимо рассмотреть два случая:1)а=0, 2)а≠0.

Пример 1. Решить уравнение ах=8.

Пример 2. Решить уравнение (m-2)х=4m.

Пример 3. Решить уравнение а2х-а2-х+а+2=0.

Пример 4. Определить количество корней в зависимости от значений параметра m: m2х+4m+4=4х+3m2.

Пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения (а-5)х+а=3 лежит в промежутке [0;5]?

Пример 6. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ах-3=4х+а не меньше корня уравнения 5х-а(х+1)=0?

Упражнения для домашней и самостоятельной работы:

Решите уравнение:

1.(а+1)х=а-1. 7.(а-3)х=3-а

2.(а-2)х=5-а. 8.m2х-3=9х+m.

3.ах=а2+2а. 9.(а+6)(а-5)х=а2-36.

4.2ах=а3-а. 10.а2х-а2-х=3а+2.

5.(а2+а)х=а2-4а. 11.mх+2х+3=1-х.

6.(а2-а)х=а2+а. 12. m2х=m(х+2)-2.

13.При каком значении параметра в уравнение вх=в+х+1 не имеет корней?

14.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение а(а+2)х=1-х не имеет решений.

15. Найдите все значения р, при каждом из которых решение уравнения

а)6-3р+4рх=4р+12х меньше 1;

б)5х-18р=21-5рх-р больше 3;

в)15х-7р=2+6р-3рх меньше 2.

16. При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х=а+4 имеет корень, не равный 3?

17. При каких значениях параметра а корень уравнения (1-а)х=а+3 лежит:

а) в промежутке [-1;3]; б) в промежутке [1;4]?

Занятие 3-5

Системы линейных уравнений с параметрами

Система вида , где а2+в2≠0 и а12+в12≠0, называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы,- методом подстановки или методом сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.

Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Это позволяет наглядно продемонстрировать число решений системы. Две прямые могут либо пересекаться в одной точке (одно решение), либо совпадать (бесконечно много решений), либо не иметь общих точек (решений нет).

Предположим, что коэффициенты уравнений системы отличны от нуля. Тогда:

чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно выполнение условия ;

чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнение условия;

чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение условия .

Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать особо.

Пример 1.Для каждого значения параметра а решить систему уравнений

Решение. Из второго уравнения системы найдем х и подставим его в первое уравнение

Решим первое уравнение системы: а(-(а-1)у+а)+а2у=1,

-а2у+ау+а2+а2у=1,

ау=1-а2.

При а=0 это уравнение, а значит, и система решений не имеет. Если а≠0, то у=. Подставляя это значение во второе уравнение системы, получим, что х=.

Ответ: если а≠0, то ; если а=0, решений нет.

Пример 2. Для каждого значения параметра а решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения выразим у и подставим во второе уравнение системы:

Преобразуем второе уравнение к виду х(1-а3)=1-а3.

Если а≠1, то х=1. Подставим найденное значение в первое уравнение системы и найдем, что у=0.

Если а=1,то из полученного уравнения следует, что х- любое число. Положим х=t, t. Первое уравнение системы даст в этом случае у=1-t.

Ответ: если а≠1, то х=1,у=0; если а=1,то х=t, у=1-t, t.

 

 

 

Занятие 6-7

Линейные неравенства с параметрами

Неравенства вида ах›в, где а и в- параметры. При решении таких неравенств необходимо рассматривать случаи а=0, а›0, а<0.

Пример 1. Решить неравенство -1+3ах≤6х+10а.

Решение. -1+3ах≤6х+10а.

3ах-6х≤10а+1,

(3а-6)х≤10а+1.

Если а=2, то неравенство примет вид: 0∙х≤21, ему удовлетворяет любое х.

Если а›2, то х≤ .

Если а<2, то х≥.

Ответ: если а=2, то х-любое число;

если а›2, то х≤;

если а<2, то х≥.

Пример 2. Решить неравенство 2mх-10х≥m-5.

Решение. 2mх-10х≥m-5,

2х(m-5)≥m-5,

Если m=5,то неравенство примет вид: 0∙х≥0, ему удовлетворяет любое действительное число. Если m›5, тох≥0,5; если m<5,то х≤0,5.

Ответ: если m=5,то х- любое число; если m›5, тох≥0,5; если m<5,то х≤0,5.

Пример 3. Решить неравенство х-2∙(х+1).

Решение. х-2∙(х+1).

3х-6∙(х+1),

.

Если а=0, то неравенство решений не имеет.

Если а›0, то умножим обе части на а и решим полученное неравенство:

3ах-6а+6≤2х+2,

3ах-2х≤6а-4,

х(3а-2)≤2(3а-2).

Если а=, то х-любое число.

Если а›, то х≤2; если 0<а<, то х≥2.

Если а<0, то умножив обе части неравенства на а, получим: х(3а-2)≥2(3а-2). Поскольку а<0<, то х≤2.

Ответ: если а<0 и а›, то х≤2; если а=0, то решений нет; если 0<а<, то х≥2; если а=, то х-любое число.

Пример 4. Решить неравенство а2х-а2+9<х-4(а-3).

Решение. а2х-а2+9<х-4(а-3),

а2х-х<а2-4а+3,

х(а2-1)< а2-4а+3,

х(а-1)(а+1)<(а-1)(а-3).

При а=-1 будем иметь неравенство 0∙х<8, которое выполняется при всех х.

При а=1 неравенство примет вид: 0∙х<0, которое не имеет решений.

При │а│<1 х›, при │а│›1 х<.

Ответ: если │а│<1, то х›; если │а│›1, то х<; если а=-1, то х-любое число; если а=1 , то решений нет.

Пример 5. При каких значениях параметра р неравенство

(р2-р-2)х≤р5-4р4+4р3 не имеет решений?

Решение. Разложим на множители многочлены в левой и правой частях неравенства: (р+1)(р-2)х≤р3(р-2)2.

Из этого неравенства заключаем, что при р=-1 оно примет вид 0∙х≤-9. Это неравенство решений не имеет. Легко проверить, что при других р неравенство будет иметь решения.

Ответ: р=-1.

Пример 6. При каких значениях параметра а все решения неравенства

(а-3)х›5 являются решениями неравенства ах›2?

Решение. При а=3 первое неравенство решений не имеет, а второе имеет; при а=0, наоборот, первое неравенство имеет решения, а у второго их нет. Поэтому значения а=0 и а=3 исключим из рассмотрения. Чтобы найти решения неравенств, нужно разделить обе части первого неравенства на выражение а-3, а обе части второго- на а. в зависимости от знаков этих выражений получатся разные неравенства. Достаточно рассмотреть три случая: 1)а›3; 2)0<а<3; 3)а<0.

Если а›3, то из первого неравенства следует х›, из второго х›. это означает. Что решения первого неравенства- луч (;+∞), решения второго- луч (;+∞). Требование задачи будет выполнено, если луч

(;+∞) будет являться частью луча (;+∞) (или совпадать с ним). Очевидно, для этого достаточно выполнение неравенства ≤. Решим его: -≤0,

≤0,

≥0,

≥0,

а. Вспоминая,что мы рассматривали случай а›3, получим:

а.

Если 0<а<3, то х›, х<. Среди решений второго неравенства есть сколь угодно малые (меньшие нуля), решения же первого неравенства ограничены снизу. Поэтому все решения неравенства х< не могут быть решениями неравенства х›.

Если а<0, то х<, х<. Рассуждая как и в первом случае, придем к тому, что искомые значения параметра находятся из неравенства ≥:

≤0, а. поскольку а<0, то а. с учетом результатов первой части решения запишем ответ.

Ответ: а.

Упражнения для с/р и д/р:

Решите неравенство:

1.ах-а2 ≥х-1. 2.ах+16≤4х+а2.

3.mх›1+3х. 4.mх<4-2х.

5.х-5›nх-1. 6.5+kх≤5+k.

7.3(2а-х)<ах+1. 8. .

9.. 10..

 

Итоговое занятие

Задания для самостоятельного решения

1.Решите уравнение 3. Решите уравнение

1.││х-2│+4│= 5. 21. 4+bх=3х+1.

2. ││х+3│-7 = 2. 22. mх+1=х+m2.

3. │х2+х-3│=х. 23. 9(3х-1)а2-(21х-19)а+2(х-1)=0.

4. х2+х-3=│х│. 24. х2-2ах+х+а=5.

5. х2- 4│х+1│- 41=0. 25. х2-(3а+6)х+2а2+11а+5=0.

6. │2х2+5х-10│=2х-5. 26. х2+2х-8-а(х-4)=0.

7.│х-7│+│х-5│=2. 27. х2-2(а-1)х+2а+1=0.

8.│х+4│-│х-9│=7. 28. (а+1) х2+2(а+1)х+а-2=0.

9. │х2-3х-5│=│х+1│. 29. (а-1) х2+2(а+1)х+а-2=0.

10. х2-6х-3│х-3│+5=0. 30. а х2+(2а-3)х+а+1=0.

2.Решите неравенство

11. │3х2-1│<5-х.

12. х2 -│3х-7│-7 ≥ 0.

13. │2х-3│≥х+1.

14. │х-8│+│х-3│≤ 5.

15. ││х-2│-5│›3.

16. ││х+2│+х│<1.

17. х2-9│х│-10 ≤ 0.

18. 4 х2+5│х│-9›0.

19. │5х-7│≥│х-1│.

20. │ х2-2│<│2х+1│.